(完整word版)和式的恒等变换

1、和式的恒等变换在不等式的证明过程中，我们时常要对和式进行处理，对和式作一些恒等变形.因此，有必要了解一下一些重要的恒等变换式以及变换法：证明 Lagrange 恒等式：（1）（2）aa bb ab a b( )( )a b a b ； nnn( a )( b )( ab ) (ab ab)2 .ijijijjiiijj222iiiiijj ii1i1i11 i jn n( a )na22aai；2iiji1i11 i jn 2nn（3）（4）（5）（6）；2(a a )2 n a ( a )ijii1 i jni1i1 n( a )( b)nnnnnabia bj i；iiji1i1i1 j1

2、i1 j1 j1( aa )nnn(aa )j；aaijiij1 i jni1 ji1j2 i1， ，a 满足以下条件：12实数集aa1nnnn；(ab a b )abi0njijj ii1 j1i1 j11n1（1）0； （2）对1 k n 1 a ， a (a a ).a0anc求证：c4nkikii1n1（7） .a )kaa(aikn1k1k1Abel分部求和公式： nnn1ka b ba ( a b b )kknkikk1k1k1k1 i1Abel不等式：t设0 m ，M t 1 2 n.则有：， ， ，b1b2bnakk1nbm1a bkbM1kk11 / 4kjnn例 5.设0，

3、 12 ， ，求的最大值和最小值.xixiin，且 x22x x 1kiji11 ki1jnnn例 3.已知 ， 12 ， ，2 ，x 0.ix R in n，满足 | x | 1iii1i1xii11n求证：|2 2n（1989年全国高中数学联赛）|i112000k例 6. 实 数 ， xx x| x x | 2001， 令x k 1 2 2001 . 求， ， ，i满 足y122001kk1kkk1i1RnNn2000ix例 4.设 x.求证：nxx表示不超过x10届美国数学奥林匹克）| y y |的最大可能值.（2001 年上海市高中数学竞赛）ik1ki1k12 / 4例 7.已知 ，

4、，a a， b 是实数.证明：使得对任何满足 xa 和b bnx2x n1212n1 nnkknn恒成立的充要条件是， ， ， .（第 27 届 IMOa xbxiab k 1 2in 1，且abiiiiii1.设n是给定的正整数，n 3，对于n个给定的实数 ， ，a a a ，记m 为|a a |(1 i j n)的最i1i1i1i1i1i112nij国家集训队选拔考试）n小值.求在1 的条件下m 的最大值.a2ii12.已知 ， ，a aa 为任意两两各不相同的正整数.求证：对任意正整数n，下列不等式成立：n12 nakkn1nak1n111（第 20 届 IMO）（提示：由阿贝尔变换得，

5、其中SSkkn2k22n2(k2kk1k1k1k1 kkS a.）ikii1i13.（钟开莱不等式）设， ， ， ，R(k 1 2 n) a0，对 k 1 2 ， ，akbaan ，恒有k12n kknnnn.则必有2b2 .（提示：先用阿贝尔变换证明i2，再用柯西）abi iabiaa2n14n 31iiinn1. .不等式两边等号成立当且仅当例 8.证明：对每个正整数n，有nini1i1i1i1i1i1366i14.已知 ， ， a aa a i j 1 2 ).证明：， ， ， a是实数列，满足anijij12n2（1）， Na (n 2 n )；iann1i1a22a33ann（2） aa （2002 年全国高中数学联赛四川省、重庆市初赛）n12k1，再对求证式左边用阿贝尔变换）aiakk 1i1 nn5.设0 b a bb， ，bb1 2a a a .求证：a1a2ana