2021-2022学年江苏省淮安市高一下学期期末数学试题【含答案】

1、2021-2022学年江苏省淮安市高一下学期期末数学试题一、单选题1设i为虚数单位，若复数是实数，则实数a的值为（）A1B0C1D2C【分析】由复数乘法法则化复数为代数形式，再由复数的分类求解【详解】，它是实数，则，故选：C2在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的形状（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定B【分析】根据余弦定理边角互化并整理即可得答案.【详解】因为，所以，整理得，所以三角形的形状是直角三角形.故选：B3用半径为2的半圆形铁皮围成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（）A1BC2D6B【分析】根据圆锥的展开图可知底面圆周长与弧长的关系，进而可求底面圆半径以及母线，

2、由勾股定理即可求高.【详解】半圆的的弧长等于圆锥的底面圆周长，故底面圆的半径为1，圆锥母线为2，故高为：故选：B4“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（也称为素数，是一个大于1的自然数，除了1和它自身之外，不能被其它自然数整除的数叫做质数）之和，也就是我们所谓的“”问题它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等曾在哥德巴赫猜想的证明中做出过相当好的成绩若将6拆成两个正整数的和，则加数全部为质数的概率是（）ABCDA【分析】利用列举法求解，先列出把6拆成两个正整数的和的所有情况，再找出两个加数全为质数的情况，然后利用古典

3、概型的概率公式求解即可【详解】6拆成两个正整数的和的所有情况有：，3种情况，其中两个加数全为质数的有，1种情况，所以所求概率为,故选：A5在中，点D是边上一点，则边的长是（）ABCDC【分析】由余弦定理求得，由正弦定理求得【详解】中，所以，中，由正弦定理得故选：C6已知，是平面内的一组基底，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（）AB0C1D2A【分析】A，B，C三点共线可转化为，结合向量的运算与向量相等即可求解【详解】因为，所以，又因为A，B，C三点共线，所以，即，所以，解得，故选：A7甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲：12，15，20，25，31，31，36，

4、36，37，39，44，49；乙：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51则运动员甲得分的25百分位数与运动员乙得分的80百分位数的和为（）A22.5B38C60.5D39C【分析】根据百分位数的计算规则计算可得.【详解】因为，故运动员甲得分的25百分位数为从小到大排列的第3和4个数的平均数，为；又，所以运动员乙得分的80百分位数为从小到大排列的第10个数，为，所以故选：C8已知，则a，b，c的大小关系为（）ABCDD【分析】由二倍角公式，诱导公式，正弦函数的性质比较大小，再利用三角函数线证明为锐角时，从而可比较大小，得出结论【详解】，又，所以， 即，利用三角函数线

5、可以证明为锐角时，如图，在单位圆中，以为始边，为顶点作出角，其终边与单位圆交于点，过单位圆与轴正半轴交点作轴的垂线，角的终边与这条垂线交于点，则，劣弧的长为， 扇形的面积为，面积为，由图形，易知，即，所以， 所以，所以故选：D二、多选题9某商家为了了解顾客的消费规律，提高服务质量，收集并整理了2019年1月至2021年12月期间月销售商品（单位：万件）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列说法正确的是（）A月销售商品数量逐月增加B各年的月销售商品数量高峰期大致在8月C2020年1月至12月月销售数量的众数为30D各年1月至6月的月销售数量相对于7月至12月，波动性大，平移性低BC【分析】

6、由折线图，结合数字特征及曲线的分布特征可以看出AD选项错误；BC选项正确.【详解】月销售商品数量从8月到9月，是减少的，故A错误；各年的月销售商品数量高峰期大致在8月，B正确；2020年1月至12月月销售数量为30的有1月,3月,6月,9月，有4个，其他均低于4个，故众数为30，C正确；各年1月至6月的月销售数量相对平稳，波动性小，D错误；故选：BC10一只袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白球和个黑球，从袋中不放回地依次随机摸出个球甲表示事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“至少有一次摸到黑球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”，丁表示事件“至少有一次摸到白球”，则下列说法正确的是

7、（）A甲与丁互斥B乙与丙对立C甲与丙互斥D丙与丁独立AC【分析】利用互斥事件的定义可判断AC选项；利用对立事件的定义可判断B选项；利用独立事件的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，丁事件包含：一白一黑、两白，甲与丁互斥，A对；对于B选项，乙事件包含：一白一黑、两黑，乙与丙不对立，B错；对于C选项，甲与丙互斥，C对；对于D选项，分别记事件丙、丁为、，将个白球分别记为、，个黑球记为、，从上述个球中任意摸出个，所有的基本事件为：、，共种，其中事件包含的基本事件为：、，共种，事件包含的基本事件为：、，共种，所以，故丙与丁不独立，D错.故选：AC.11如图，在边长为2的正方形中，E，F分别为，的中点，

8、H为的中点，沿，将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（）A四面体的体积为B平面CD四面体外接球的半径为ABD【分析】根据翻折前后图形之间的关系可得，再由直线与平面垂直的判定可得平面，进而判断A,B,C,根据四面体的外接球与为长宽高的长方体的外接球相同，即可求解.【详解】翻折前，故翻折后，又，平面，故B正确；则，故A正确；平面，平面,故,故不可能成立，故C错误；由于,故该四面体的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同，故外接球半径为，D正确；故选：ABD12我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注

9、时给出的，被后人称为赵爽弦图赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为，则下列说法正确的是（）ABCDACD【分析】根据各边长的关系直接可判断A；根据正方形对角线互相垂直，然后观察可判断B；利用投影表示数量积可判断C；作，求出FI、BI长，然后由向量加法可判断D.【详解】记，则所以，即，故A正确；由正方形性质可知，显然不平行，所以不垂直，B错误；因为，所以，故C正确；过F作，垂足为I，即所以，所以则，所以，故D正确.故选：ACD三、填空题13若复数满足，则的

10、最大值为_2【详解】分析：首先根据题中的条件，结合复数的几何意义，可以明确复数对应点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，取最大值时，就是圆上的点到原点的距离的最大值，结合圆的性质，其为圆心到原点的距离加半径求得结果.详解：依题意，设复数，因为，所以有，由复数的几何意义，可知对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，因为表示圆周上的点到原点的距离，所以的最大值为，所以答案为2.14如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作若元件A，B，C正常工作的概率均为0.7，则系统能正常工作的概率为_0.637【

11、分析】求出正常的概率，然后由独立事件的概率公式计算【详解】故15已知，且，则的值为_【分析】由诱导公式与二倍角公式求解即可【详解】，故四、双空题16在正四面体中，点E，F分别在棱，上，满足，面，则棱长为_，以点A为球心，为半径作一个球，则该球球面与正四面体的表交所得到的曲线长度之和为_ 3 【分析】根据平面可得，进而也为等边三角形，即可求，将球面与正四面体的四个面所得的交线分为两类，一类与侧面的交线，一类与底面的交线，结合球的截面性质即可求解.【详解】因为平面，平面,平面平面，所以,由于四面体每个面都是等边三角形，故也为等边三角形，所以;球面与正四面体的四个面都相交，所得的交线分为两类：一类与

12、三个侧面的交线，与侧面交线为弧,弧在过球心的大圆上，由于,所以弧的长度为：,与侧面的交线与弧一样长，另一类交线是与底面的交线，过作平面,所以,故与底面刚好相交于底面各边的中点处，形成的交线此时是底面的内切圆，内切圆半径为,故弧长为：，因此所有的交线长为故交线之和为五、解答题17已知平面向量，(1)求的值；(2)若向量与夹角为，求实数的值(1)(2)或【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得；（2）首先求出的坐标，即可得到，再根据数量积的坐标表示求出，最后根据数量积的定义得到方程，解得即可；【详解】(1)解：因为，所以， 所以；(2)解：，所以，又向量与夹角为，所以，即，即，

13、解得或.18如图，在正方体中.（1）求证：平面；（2）求直线和平面所成的角.（1）见解析；（2）30【分析】（1）由即可证得平面；（2）连接交于，连接，证明平面，可得为直线和平面所成的角，设正方体棱长为1，在中求出.【详解】解：（1）证明：，平面，平面，平面；（2）解：连接交于O，连接，四边形是正方形，平面，又，平面，为直线和平面所成的角，设正方体棱长为1，则，直线和平面所成的角为30.本题考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题.19新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高

14、二年级的学生进行了测试现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，技照成绩为，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）(1)求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率(1)，平均分为；(2)【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可计算出值，然后用每组区间的中点值乘以相应频率再相加可得平均值；（2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数，并编号，

15、用列举法写出随机抽取的2人的所有基本事件，由概率公式计算概率【详解】(1)由频率分布直方图，平均分为；(2)由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为，抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4，位于上的有2人，编号为，从这6人中任取2人的基本事件有：共15个，其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有共9个，所以所求概率为20如图，扇形的半径为2，圆心角为点P在扇形的弧上，点C在半径上，且，且，D为垂足，设(1)若，求的长；(2)试用表示出梯形的面积S，并求S的最大值(1)(2)其中，【分析】（1）首先求出，再利用正弦定理计算可得；（2）利用正弦定理表示出，再由锐角三角函数表示出，再由

16、梯形面积公式、三角恒等变换公式及辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质计算可得；【详解】(1)解：依题意，则，又，由正弦定理，即，解得；(2)解：，在中，由正弦定理得，即，又，所以，其中 的最大值为21如图，在正三棱柱中，点D为中点(1)若，证明：平面平面；(2)若，且二面角的正切值为，求三棱柱的体积(1)见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直的性质即可证明线面垂直，进而可证明线面垂直；（2）根据几何法找二面角的平面角，求出三棱锥的高，进而可求体积.【详解】(1)为等边三角形,点D为中点,故,因为平面平面,其交线为,故平面，平面,故平面平面；(2)过D作平面交于故是的四等分点靠近的位置，过作交于所以即为二面角的平面角，,在中,，在中，,故三棱锥的体积为：22在；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知_(1)求角A的大小；(2)若为锐角三角形，且其面积为，点G为重心，点M为线段的中点，点N在线段上，且，线段与线段相交于点P，求的取值范围注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分(1)(2)【分析】（1）若选利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得；若选利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）用、作为平面内的一组基底表