计算方法及答案

1、计算方法练习题一一、填空题兀=3.14159的近似值3.1428，准确数位是()。2 .满足 f (a) = c, f (b) = d 的插值余项 R(x)=()。设P (x)为勒让德多项式，则(P (x),P2(x)=()。乘幂法是求实方阵()特征值与特征向量的迭代法。欧拉法的绝对稳定实区间是()。e = 2.71828具有3位有效数字的近似值是()。用辛卜生公式计算积分j】=俐()。01 + x8.设Asd = (a俄T)第k列主元为a俄-D，则a(d =()。ijpkpk59.已知A =，则 A =()。4 2110.已知迭代法：x=9 (x ),(n = 0,1,)收敛，则中(x)满足

2、条件()。 n+1n、单选题1.已知近似数a,b,的误差限s(a),8(b)，则e (ab)=()。A. 8 (a)8 (b)B. 8 (a) + 8 (b)C. |a|s (a) + |b|s (b)D. |a|s(b) + |b|s (a)2.设 f (x) = x 2 + x，则 f 1,2,3=()。A.lB.2C.3D.4313.设A =13，则化A为对角阵的平面旋转。=().兀A. 2兀兀B C.34兀D. 64.若双点弦法收敛，则双点弦法具有()敛速.A.线性B.超线性C.平方D.三次5.改进欧拉法的局部截断误差阶是().D. o(h4)A. o(h)B. o(h2)C. o(h

3、3)6.近似数a = 0.47820 x 102的误差限是()。A.7.1 X 10 -52矩阵A满足(1B.X10 - 4.2)，则存在三角分解A=LR。C.10 -3D.1 X10-22A. det A。0B. det A.。0(1 k 0 D. det A 08.已知1 =（一1，3，5）t，则 I1A.9B.5(1C.3）。D.59.设P （i）为勒让德多项式25A.B.则(P (i), P (i)=()。3 一29c.2D.11计算题1.求矛盾方程组：i +1i + 21二4的最小二乘解。i 一 i = 2122.3.用n = 4的复化梯形公式计算积分2 di，并估计误差。 i i2

4、1 + 51 + 31 = 621 + 41 + 31 = 5。41 + 61 +21 = 4123用列主元消元法解方程组：4.用雅可比迭代法解方程组：（求出id）。一 4一10 一i 1T-14-112=30一14i315.用切线法求i3 - 4i +1 = 0最小正根（求出11）。6.已知f （i）数表:求抛物插值多项式，并求f （0.5）近似值。7.已知数表:求最小二乘一次式。 一 1.8.已知求积公式：f (x)dx牝A f (- ) + A f (0) + A f ()。求A , A , A，使其具 T02 i22012有尽可能高代数精度，并指出代数精度。一4 1 0一9.用乘幂法求

5、A= 1 3 1的按模最大特征值与特征向量。0 1 4I y = 2 x - y10.用予估一校正法求初值问题： 在x = 0(0.2)0.4处的解。y (0) = 1四、证明题1.证明：若f(x)存在，则线性插值余项为：R (x) = f ( (x - x )(x - x ), x 6 x。 2!0101I y = -10 y2.对初值问题： 小、；，当0 h 0.2时，欧拉法绝对稳定。I y(0) = 13.设P (A)是实方阵A的谱半径，证明：P (A) 0)的单点弦法迭代公式为：x=竺上，n = 0,1, TOC o 1-5 h z n+1c + xn计算方法练习题二一、填空题近似数a

6、 = 0.63500 x 103的误差限是()。设Ixl1,则变形*-3），则用乘幂法计算人-（）。二、选择题）。D. 40/01.已知近似数a的 (a) = 10/0，则 (a3)=( rrA. 10/0B. 20/0C. 30/02.设T（X ）为切比雪夫多项式，则曾）.T 2（X）二（）。A.0D.兀3.对 A =直接作三角分解则r22）。A. 5B. 4C.3D. 24.已知A=D-L-U，则雅可比迭代矩阵B=（）。A. D-1(L + U)B. D-1(L-U)C, (D - L)-1UD. (D - U)-1 L6. 12A.F = 1.4142410-110，则近似值3的精确数位

7、是（）。D. 10-4B.10-2C. 10-37.若-4224=/L 210r r01卢22，则有 r22 =（）。A.2B. 3C.4D. 08.若 A =-4_14，则化A为对角阵的平面旋转角。=（）。A.兀2兀兀兀CD.465.设双点弦法收敛，则它具有（）敛速。A,线性B.超线性C.平方D.三次9.改进欧拉法的绝对稳定实区间是（B. -2.78，0)。A.-3，0C. 2.51，0D. -2，0三、计算题x0121.已知f (x)数表y-4-22用插值法求f (x) = 0在0, 2的根。已知数表x0123y2.89.215.220.8求最小二乘一次式。 dx用n=4的复化辛卜生公式计

8、算积分2后，并估计误差。-3 1 0_用雅可比法求A= 1 3 0的全部特征值与特征向量。0 0 3(y = 2 x + y 用欧拉法求初值问题小、1在x=0(0.l)0.2处的解。I y (0) T6已知函数表:x12y-10y02求埃尔米特差值多项式H (x)及其余项。7.求f (x) = x3在-1, l上的最佳平方逼近一次式。求积公式J 1 f (x)dx总Af (0) + Bf (x1),试求x1, A, B,使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。用双点弦法求x3 - 5 x + 2 = 0的最小正根(求出)。10.用欧拉法求初值问题：y小:在x=0(0.1)0.2处的解。y(0

9、) = 1四、证明题1.证明 dll All-I Ml 申II。证明：计算如的切线法迭代公式为：%h= 5(4七+ ),n = 0,1,.n设l(x),.,ln(x)为插值基函数，证明：乎 l (x) = 1。k=04.若网 L证明迭代法:收敛。1八 ，x (m+1) =x (m) + Bx (m) + b, m = 0,1,.3计算方法练习题一答案.填空题1. 10 -22. f 2；)(x 一 a)(x 一 b)3. 54 .按模最大6 .- x 10-227.1：1 + x + wx8.5. -2,0 x = 1,19.a一 a x (m+1) 一 ax (m+1) 一 a31 132

10、234 410 f (x0) 033二.单选题l.C 2.A6. C7. D 8. B3.C4.B9. B5.C二.计算题1.中(x , x ) = (x + x 3)2 + (x + 2x 4)2 + (x x 2)2,121212128平8平|3x + 2 x由 一=, 一 = 0 得： H 128x8x2 x + 6 x解得x = 18,x 9 172 142. j2 臣牝 i1 + 8 + - + - + -1牝 0.697，1 x 85 6 7 2RM 0,f (0.5) = -0.8 750 ,所以 E 0,0.5,在0,0.5上，fx) = 3x2 - 4 0 o 由 f(%)f

11、3)Z0,选 =。，由迭代公式:X3 -4x +1_ .x = x - 7, n = 0,1, +13%2 4n计算得：气 = 0.25。6.利用反插值法得1 1f (0) = % (0) = _ x (0 + 4) x (0 + 4)(0 + 2) = 1.752227.8.9.+6a = 48.01 5C，解得：a =3,0 =6,所以g*(x) = 3 + 6x。 6a +14。=102011011 dx 1 r 1 8881- + + + + 0.4062 ,02 + x 8 2 9 10 11 3M 1l/?(f)l= 0.00132。12x16 768因为由方程组:a = a =

12、3,a = 1,0 =_2211124v2202典2000笠2笠202空20003002七=4,气=(，g，0) t所以：七 3,X2 = (0,1,0)t气=2, X 3 = (_驾,驾,0) t10.应用欧拉法计算公式：H = 0-2x + 1.1y, n = 0,1, y0 =1。计算得 y1 = 1.1, y2 = 1.23。四.证明题1.设 R(x) = k(x)(x - x )(x - x ), g(t) = f (t) - L (t) - k(x)(t - x )(t - x )，有 01101x0,x1,x为三个零点。应用罗尔定理，g”(t)至少有一个零点&,g (&) = f

13、 (&) - 2!k (x) = 0, k (x) = f )2.由欧拉法公式得:yn - yn=1 一 oh当0 v h 0.2时，则有|y |y0 一 0。欧拉法绝对稳定。3.因为 a=(a-b)+b,| a 1AB+|B|,所以 I |A|-| B | A - B，又因为 B=(B-A)+A, IBI IB A| + |A所以 I Bl-1| A| 1 B-A|=1 |A - BIIBII-IA 1A-B4.因为计算5云等价求妇 a = 0的实根，_x5 axn+1 一气5x 4n将f (x) = x5 a, f x) = 5x4代入切线法迭代公式得: -(4 x +a), n = 0,

14、1,.。5 n x 4n计算方法练习题二答案一、填空题1. 10 -2,2. P (G) 13.xn+14. 1.2,6. I b I e (a) +1 a I e (b),7.73180r8.工，9.严格对角占优rkk10.x(k+2)TI x (k),i单选题1. C2. B6. A7. B3.8.4.9.5. A三、计算题r m 嘉 .582 x10-2。 TOC o 1-5 h z 2.中(x, y) = (x + y 4)2 + (x y 3)2 + (2x y 6)2，由 k =。，=。dxdy16 x 2 y = 19474得 1 2x 3y = 5，解得：x =商,y = 71

15、1 _-3由而亏X102解得心3,取n=3,dx 116 6 1复化梯形公式计算得：.sin: R 宇 R0.5828, + + + 牝0.4067。0 2 + x 6 2 7 8 34.0-1210 0 11-1 1 05.因为。=a =2,a = 1,0 =一3311124042史To_V22所以入=3,xiiTX =3, jt = (0,1,0) t22 TOC o 1-5 h z H(x) = (1+2(x-1)(x-2)2 x(-1)+ (x-2)(x-1)2 x2 =-2xRM =岬旦 3 _ 1)2 3 _ 2)2 ,(1 g 0, /(0.5) = -0.375 0,故 x* c 0,0.5,在0 , 0.5上，m1= min|尸(x)| = 4.25,M2 = maxf (x)| = 3 , KR M x0.5 =奇 1,应用双点弦法 1迭代公式：x = x (i_七 i)(X_5% + 2), n = 1,2,.计算得： x = 0.421。n+1n (X3 5 x + 2) (X3 5 X + 2)210. J = 0.1x + 0.9)，n = 0,1,n nn1n1由 J0=1，计算得:J1 = 0.9, J2= 0.82。四、证明题1.设 IIlxll =3则有1 8x： i=1x 2i = 1所以有土|x|2 |x