《高等代数（下）》教学大纲

1、 高等代数（下）教学大纲前 言高等代数（下）是数学科学学院各专业的一门专业基础课程它是现代数学的一个重要分支，也是离散类数学的主要基础课，因而又是计算机专业以及大部分工科类必修课作为专业基础课，本课程是向学生介绍代数学最基本的概念、理论和方法及高等代数中经典理论的思想和常见的解题方法与技巧设置本课程的目的是：作为专业基础课，本课程是向学生介绍代数学最基本的概念、理论和方法系统地介绍行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间及线性变换、欧氏空间等知识，它不仅是代数学的基础，也是整个数学的基础，要求学生能熟练掌握其原理及方法学习本课程的要求是：学习者应理解与掌握高等代数的主要思想与方法，尤其是高等

2、代数课程中的经典理论与常用解题方法先修课程要求：高等代数（上）本课程计划：90学时，5学分选用教材：王萼芳石生明修订，高等代数（第三版），（北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编）高等教育出版社，2003年教学手段：课堂讲授为主，习题课与课堂练习为辅考核方法：考试教学进程安排表周次教学内容授课形式备注1二次型及其矩阵表示，二次型的标准形理论课补充矩阵在合同意义下的标准形2二次型的秩及复数域和实数域上的规范形理论课3正定二次型，小结及习题课理论课4集合与映射，线性空间的定义及简性质，线性空间的维数，基与坐标，基变换与坐标变换理论课举例，理解线性空间，掌握线性空间及子空间等抽象概念5线性子空间，

3、子空间的交与和，理论课6子空间的直和，线性空间的同构，小结及习题课理论课7线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵理论课多举例子，增加对线性变换的理解，会计算特征值与特征向量8特征值与特征向量，对角矩阵理论课9线性变换的核与值域，不变子空间理论课10介绍若当标准形，小结及习题课理论课11欧几里得空间的定义与基本性质，标准正交基理论课12欧氏空间的同构，正交变换理论课13欧氏空间中子空间的正交关系，实对称矩阵的标准形理论课14向量到子空间的距离，小结及习题课理论课15矩阵，不变因子理论课会求不变因子和初等因子、若当标准形16矩阵相似的条件，初等因子理论课17若当标准形的理论推导，矩阵的有理

4、标准形18总复习集中答疑第五章二次型一、学习目的通过本章的学习，要求熟练掌握化二次型为标准形的方法，矩阵的正（负）定性、半正（负）定性的判别与相关应用本章计划15学时二、课程内容51二次型及其矩阵表示二次型的定义、二次型的矩阵表示52二次型的标准形、规范形化二次型为标准形的方法：配方法，合同变换法二次型在复数域与实数域上的规范形53二次型的（半）正、负定性二次型正定的充分必要条件及其应用二次型半正定的充分必要条件及其应用三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1化二次型为标准形的两种方法2二次型（半）正定性的判定（二）教学手段课堂讲授，习题课与课堂练习相结合四、思考与练习第六章线性空间一、

5、学习目的通过本章的学习，要求理解线性空间理论的思想与方法熟练掌握几种常见特殊线性空间的维数与基的求法，以及有关坐标的求法与直和问题的证明方法本章计划15学时二、课程内容61线性空间的定义与简单性质集合与映射、线性空间的定义、性质62维数、基与坐标线性空间的基和维数、基变换与坐标变换63线性子空间子空间的定义、子空间的交与和64子空间的直和、线性空间的同构直和的充分必要条件及其应用有关直和问题的证明方法两个线性空间同构的定义、性质及判别定理三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1子空间的基与维数的求法2有关直和问题的证明（二）教学手段课堂讲授，习题课与课堂练习相结合四、思考与练习第七章线性

6、变换一、学习目的通过本章的学习，要求理解线性变换理论的思想与方法熟练掌握线性变换矩阵的求法，有关特征值与特征向量问题的求法与计算，不变子空间的证明方法，有关矩阵相似问题的证明方法本章计划20学时二、课程内容71线性变换的定义及其运算线性变换定义及相关性质线性变换的运算72线性变换与矩阵线性变换矩阵的求法73特征值与特征向量特征值与特征向量的求法矩阵特征值与特征向量问题的证明方法74对角矩阵线性变换在某一组基下的矩阵为对角阵的条件矩阵相似于对角阵的证明方法75线性变换的值域与核线性变换的值域与核的定义及求法76不变子空间不变子空间的定义、性质及求法有关不变子空间问题的证明77若当标准形的介绍三、

7、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1特征值与特征向量的求法2有关不变子空间问题的证明3两矩阵相似的证明矩阵相似于对角阵的证明方法（二）教学手段课堂讲授，习题课与课堂练习相结合四、思考与练习*第八章矩阵一、学习目的通过本章的学习，要求了解矩阵的概念，矩阵不变因子，行列式因子和初等因子的定义与求法，掌握矩阵相似的充要条件，以及矩阵的Jordan标准形的求法本章计划15学时二、课程内容81矩阵矩阵，矩阵的秩，矩阵可逆的充要条件及其逆矩阵82矩阵在初等变换下的标准形矩阵的初等变换，矩阵的等价关系，矩阵的标准形83不变因子行列式因子的概念及其应用，不变因子，不变因子与行列式因子之间的关系84矩阵相

8、似的条件矩阵相似的充要条件及其证明85初等因子初等因子的概念及其与不变因子之间的关系，初等因子的求法86Jordan标准形的理论推导矩阵Jordan标准形的理论推导及求法，Jordan标准形的应用三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1行列式因子，不变因子，初等因子的定义与求法2矩阵相似的充分必要条件3矩阵Jordan标准形的求法（二）教学手段课堂讲授，习题课与课堂练习相结合*注本章视每学期实际教学时间选讲第九章欧氏空间一、学习目的通过本章的学习，要求理解欧氏空间理论的思想与方法熟练掌握有关标准正交基、正交变换与对称变换问题本章计划20学时二、课程内容91欧氏空间、内积与标准正交基欧氏空间的定义与性质，常见欧氏空间中的内积与标准正交基一般欧氏空间的标准正交基求法92同构 、正交变换欧氏空间同构的定义、性质正交变换的定义、性质及应用93子空间，对称变换欧氏空间的子空间，子空间的正交补对称变换的定义、性质及应用相关问题的证明三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1常见欧氏空间中的内积与标准正交基2有关正交变换问题的证明3有关对称变换问题的证明（二）教学手段课堂讲授，习题课与课堂练习相结合四、思考与练习阅读书目1姚