2.传感与检测技术

1、第2章 测量误差及其分析 2.1 测量误差的基本概念 2.2 测量误差的分类 2.3 系统误差 2.4 随机误差 2.5 粗差的判别与剔除 2.6 测量数据处理 2.1 测量误差的基本概念 误差存在于一切测量中，而且贯穿测量过程的始终。因此，只有通过正确的误差分析，知道测量中哪些量对测量结果影响大，那些量对测量结果影响小，从而努力测准那些对结果影响大的关键量，而不必花大功夫在那些不太准而且对结果影响很小的量上。 测量误差按其表示方式可分为绝对误差和相对误差。 任何测量过程都存在误差，即测量误差。所以在使用仪表测量工艺参数时，不仅需要知道仪表的指示值，还需要了解测量值的误差范围由于所选用的仪表精

2、确度的限制、实验手段的不完善、环境中各种干扰的存在以及检测技术水平有限，在检测过程中仪表测量值与真实值之间总会存在一定的差值,这个差值就是误差在实际应用中，被测量的真值是无法真正得到的。因此，在一台仪表的量程范围内，各点读数的绝对误差是指用标准仪表（精度较高）和该表对同一被测量测量时得到的那个读数的差值。被测量真值A用标准仪表的读数来替代。 绝对误差不能确切地反映测量结果的准确程度，为此实际测量中引入相对误差。虽然绝对误差一般只适用于标准器具的标准，但它是相对误差表述的基础。 绝对误差是指测量值与被测量真值之间的差值，即绝对误差测量值，被测量的真值。1.绝对误差2）示值相对误差 示值相对误差是

3、用绝对误差x与被测量的示值x的百分比值表示的相对误差。即 2.相对误差实际相对误差、示值相对误差和满度百分误差。1) 实际相对误差 实际相对误差是用绝对误差x与被测量的实际值A的百分比值来表示的相对误差。即实际相对误差和示值相对误差都是用来衡量测量值的准确程度。引用相对误差m是用绝对误差x与量程范围的百分比值表示的相对误差。即 3）引用相对误差在测量实践中，测量结果准确度的评价常常使用相对误差，方便直观。相对误差愈小，准确度愈高。2.2 测量误差的分类 系统误差是指测量仪表本身或其他原因（如零点没有调整好、测量方法不当等）引起的有规律的误差。这种误差的绝对值和符号保持不变，当测量条件改变时误差

4、服从某种函数关系。系统误差的来源主要有:由仪表引入的系统误差、 理论误差和人为误差。 在掌握了误差产生原因之后，系统误差可以通过对仪表加以校对、改变测量环境、计算系统误差的大小将测量结果加修正值（系统误差的负值）加以补偿。这种补偿方法只能减小系统误差，而不能使系统误差为零。2.2.1按误差的性质分类按其性质的不同还可分为系统误差、随机误差和粗大误差1系统误差随机误差的存在，表现为每次测量值偏大或偏小是不定的，但它服从一定的统计规律。测量结果与真值偏差大的测量值出现的几率较小，偏差小的测量值出现的几率大，正方向误差和负方向误差出现的几率相等。并且绝对值很大的误差出现的几率趋近于零。这就是在实验中

5、采用多次重复测量减小随机误差的依据。随机误差是由一些实验中的偶然因素、人的感官灵敏度和仪表的精密度有限性以及周围环境的干扰等引起的。用实验方法完全消除测量中的偶然误差是不可能的，但是用概率统计方法可以减少偶然误差对最后结果的影响，并且可以估计误差的大小。 2随机误差 随机误差是指在测量时，即使消除了系统误差，在相同条件下进行多次重复测量同一待测量时，发现各测量值之间也有差异，由此而产生的误差的绝对值与符号是不确定的，这种误差为随机误差，又叫偶然误差。3粗大误差 粗大误差（Thick error）是指由于仪表产生故障、操作者疏忽大意或重大外界干扰而引起的显著偏离实际值的误差。这种误差对测量结果影

6、响很大，应该尽量避免出现；多次测量中出现的粗大误差，应作为异常值除掉。 由于仪器本身及其附件的电气、机械等特性不完善造成的误差。如内部噪声引起的误差、刻度不准或调节机构不完善引起的读数误差、元件老化或环境改变引起的稳定性误差等。在测量中仪表误差往往是主要的。2.2.2 按误差的来源分类按照误差产生的原因可将误差分为仪表误差、环境误差、理论误差与方法误差以及人为误差。 由于各种环境因素与条件不一致所造成的误差。环境误差一般是由环境的温度、湿度、电磁场、电源电压、振动等因素造成的。在测量时一般要采取相应的抗干扰措施。1.仪表误差2.环境误差人为误差是由于测量人员受分辨力、视觉、反应速度等生理因素的

7、影响，以及固有习惯和精神上的因素而产生的一时疏忽等心理因素的影响而引起的误差。如操作不当、读数错误等。在测量中，必须对误差的来源认真分析，并采取相应的措施，尽量减少误差对测量结果的影响。理论误差是指由于测量时所依据的理论不严密、使用了不当的简化或用近似公式、近似计算测量结果所引起的误差。方法误差是由于测量方法不合理引起的误差。二者有时合称为理论误差和方法误差3.理论误差与方法误差4.人为误差 系统误差是产生测量误差的主要原因，消除或减小系统误差是提高测量精度的主要途径。目前，对系统误差的研究，虽已引起人们的重视，但它涉及到对测量设备和测量对象的全面分析，并和测量者的测量知识、实际经验和测量技术

8、的发展密切相关。2.3系统误差 系统误差产生的原因十分复杂，通常单个因素引起的系统误差容易发现和消除，但多个因素综合引起的系统误差往往难以判断。尤其是随机误差与系统误差同时存在的情况下，在测试过程是否发生随机误差对系统误差的影响，也是很难估计的。因此研究系统误差的特征和规律，采用新的有效的方法去发现、减少或消除系统误差，已成为误差理论的重要课题之一。 实验对比法是通过改变产生系统误差的条件，在不同的条件下测量，从而发现系统误差。如当一台仪表进行多次重复测量某一被测量时，不能有效发现系统误差，可以采用高一级精度的仪表进行同样的测量，通过对比可以发现系统误差是否存在。2.3.1 系统误差的判别 为

9、了消除或削弱系统误差，首先要判断系统误差是否存在，然后再设法消除。在测量过程中产生系统误差的原因很复杂，发现和判断系统误差的方法也有很多种，但目前还没有适用于发现各种系统误差的普遍方法。1.实验对比法图（a）中残差大体正负相同，且无显著变化规律，因此不存在系统误差。图（b）中残差有规律的增加或减少，因此可以认为存在线性变化的系统误差。图（c）中残差有规律的由正变负，又由负变正，且周期性变化，因此认为存在周期性的系统误差。图(d)中根据残差变化规律，可以认为既存在线性系统误差，也存在周期性系统误差。图2.1 残差曲线图2.残差观察法当测量次数较多时，可采用马利科夫判据来判断是否存在系统误差。设对

10、某一被测量进行n次测量，依次得到一组测量值x1,x2，xn，相应的残差为v1,v2，vn。将前面一半以及后一半数据的残差分别求和，然后取其差值。3.马利科夫判据当M趋近于零时，则测量值中不存在系统误差；当M与vi值相当或更大，则测量值中存在系统误差；当n为偶数时当n为奇数时则不能肯定测量值中是否存在系统误差。如果，用来判断测量数据中是否存在周期性的系统误差。当随机误差很显著，周期性系统误差很难从测量数据或残差的变化规律中发现。阿卑赫梅特准则将残差按测量顺序排列，并依次两两相乘，然后取和的绝对值，如果 3.阿卑赫梅特准则则可以判断测量数据中存在周期性系统误差。为标准误差 从产生系统误差的来源上消

11、除系统误差是最基本的方法。这种方法要求实验人员对整个测量过程有一个全面仔细的分析，弄清楚可能产生系统误差的各种因素，然后在测量过程中予以消除。如选择精度等级高的仪器设备来消除仪器的基本误差；在规定的工作条件下，使用正确调零、预热来消除仪器设备的附加误差；选择合理的测量方法，设计正确的测量步骤来消除方法误差和理论误差；提高测量人员的测量素质，改善测量条件如选择智能化、数字化的仪器仪表来消除人为误差等。 2.3.2 系统误差的消除1.从系统误差的来源上消除。 2.引入修正值法 由于系统误差服从于某一确定的规律，可引入修正值来减小系统误差，尤其采用智能仪表或智能测试系统时，引入修正值法是很容易实施的

12、。引入修正值法就是在测量前或测量过程中，求取某类系统误差的修正值，在测量数据处理时手动或自动地将测量值和修正值相加，这样就可以从测量数据或结果中消除或减弱该类系统误差设系统误差为C，x为测量值，则不含该类系统误差的测量值A1为修正值可以通过三种途径求取，即从有关资料中查取 如从仪器仪表的检定证书中获取。通过理论推导求取通过实验的方法求取对影响测量结果的各种因素如温度、湿度、电源电压变化等引起的系统误差，可通过实验作出相应的修正曲线或表格，供测量时使用。对不断变化的系统误差，如仪表的零点误差、增益误差等可采用现测现修正的方法。智能仪表中采用的三步测量、实时校准就是采用这种方法。图2.2 线性系统

13、误差3对称法图2.2为某线性系统误差，若选定某一时刻（如图中t3）为中心，则对应此中点的两对称时刻的系统误差算术平均值都相等，即对称法是消除测量结果随某影响量线性变化的系统误差的有效方法。这种方法就是在测量过程中，合理设计测量步骤以获取对称数据，配以相应的数据处理程序，以得到与该影响无关的测量结果，从而消除系统误差。利用这一特点，在实施测量时，取各对称点两次测量值的算术平均值作为这一时间段的实际值，就可消除线性系统误差。即使是一个比较复杂规律变化的系统误差，也可以将其分段作线性系统误差处理，因而对称法是消除系统误差的有效方法。 在相同的测量条件下，先将被测量接入测量装置中，调节测量装置使之处于

14、某一状态，然后用与被测量相同的同类标准量代替被测量介入测量装置中，调节标准量，使测量装置的指示值与被测量接入时相同，此时标准器具的读数就等于被测量。4.替代法图2.3 替代测量法开关K换接至端点“2”，调标准器具RN（电位器不变）至使电桥平衡，此时标准器具读，首先开关K接端点“1”，调电位器至使电桥平衡，即使被测量;图2.3 替代测量法由替代法引起的测量误差与检测系统电路无关，仅与标准器具Rw的准确度有关。显然，标准器具准确度越高，被测量误差就越小，从而减小检测系统引起的系统误差。即Rx=RN。 半周期法主要是用来消除周期性系统误差的。在测量中，每隔半个周期进行一次测量，取两次读数的平均值作为

15、测量值，便可以消除周期性系统误差。这是由于如果误差是周期性变化的，经过半个周期后，误差符号会改变，取两次测量值求平均便可消除周期性误差。 5.半周期法 随机误差是由一些未知的偶尔因素影响造成的，如电磁场的干扰、空气的扰动或湿度的变化、零部件的摩损或老化等，因而单次测量出现的随机误差是不确定或没有规律的，但在相同条件下重复测量某一被测量时，大量的测量数据所得到的随机误差分布是服从大数统计规律的。2.4 随机误差大量的实际测量统计表明，随机误差具有如下四条特征： (1)对称性 绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。即当重复测量次数n相当大时，绝对值相等符号相反的随机误差出现的机会相同。 (2)有界

16、性 绝对值很大的误差几乎不出现。即在一定的检测条件下，随机误差的绝对值不会超过某一界限。 (3)单峰性 绝对值小的误差出现的概率大于绝对值大的误差出现的概率。即绝对值小的误差出现的次数多，绝对值大的误差出现的次数少。 (4)抵偿性 随着测量次数n的增加，随机误差i的代数和超于零。或者说正、负随机误差相互抵消。2.4.1 随机误差的统计特性 就单次测量而言，随机误差无规律可循，其大小和方向也不可预知。但当测量次数足够大时，随即误差的总体服从统计规律。随机误差的概率分布有多种类型，在计量和测量过程中经常遇到的分布是正态分布、均匀分布和、t分布。随机误差是随机变量，由大量的、相互独立的、微弱的因素组

17、成的。在大多数情况下，随机误差的概率都服从或接近正态分布。在根据随机误差的这些特征，早在1809年高斯（ C. F. Gauss）就以统计学的理论推导出它的数学表达式。即2.4.2 随机误差的概率分布1 正态分布为随机误差；为方均根误差，亦称标准误差。随机误差正态分布曲线，方均根误差越小，正态分布曲线越陡，即误差的概率密度越大；相对于误差而言，小误差出现的概率也越大，测量值越集中，其精密度越高。图2.4随机误差正态分布曲线-a 0 a（）1/2a图2.5 均匀分布的随机误差其概率分布密度曲线 均匀分布是一种常见的误差分布，如仪表盘刻度差所引起的误差，仪器最小分辨率限制引起的误差，数字仪表的量化

18、误差，数字计算中的舍入误差等都属于均匀误差分布的范畴。此外，对于一些只知道误差出现的大致范围，而不知其分布规律的误差，在处理时经常按均匀分布的误差对待。2 均匀分布均匀分布的概率密度函数a为随机误差的极限值3 t分布 t分布是英国统计学家W.S.Gosset从实验中发现的，并以笔名“学生”发表，所以又称学生分布。t分布的概率密度函数为t分布的概率分布密度曲线和标准正态分布的图形相似，其特点是分布与标准差的估计值无关，但与自由度（n-1）有关，当n 较大时（n30），t分布与正态分布的差异就很小，当n时，二者完全相同。正态分布理论只适合于大样本的测量数据，而对于小样本的测量数据必须采用t分布理论

19、来处理。因此，t分布是处理小样本的重要理论基础。 2.4.3 随机误差的统计特征参数1数学期望 对一个被测量在等精度情况下进行多次重复独立测量，如果已知消除了系统误差，则所测得的一组测量数据是一个随机变量x,其数学期望为又根据随机误差的抵偿特性，随机误差的数学期望为零，则在等精度重复测量中，当测量次数为无穷大时，测量数据的数学期望就是被测量的真值。 但在实际测量中，测量次数为无穷大这个条件不可能满足，为了评价测量的准确度高低，必须根据有限的测量数据计算数学期望的估计值或近似值。算术平均值是被测量数学期望的最佳估计值。 算术平均值的数学表达式为标准差是测量数据离散程度的表征，值愈小，测量数据愈集

20、中，概率密度曲线愈陡峭；反之愈大，测量数据愈分散，概率密度曲线愈分散。也就是说，在一定的置信概率下，所对应的误差极限范围愈小，则测量数据的可靠性就愈大。 2 方差和标准差服从正态分布的随机变量，其方差的定义为方差的量纲是测量数据量纲的平方，所以在测量结果的表示中不很方便，因而经常使用标准偏差，简称标准差。即根据随机变量的概率统计特性，可以证明当测量次数n趋于无穷大时，其算术平均值就等于该随机变量数学期望的真值。但任何测量都只能是有限测量，此时算术平均值仍然接近真值，可以用来代替本次被测量的真值A0；相应地，可以用剩余误差代替测量值与被测量真值之差.贝塞尔（Bessel）公式 置信度时表征测量数

21、据或测量结果可信赖程度的一个参数，可用置信区间和置信概率来表示。置信区间是一个给定的数据空间，通常用x-k,x+k来表示,k为整数，称之为置信因子。置信概率就是指在置信区间下的概率，即在同一分布下，置信区间愈大，置信概率就愈大。在不同分布下，当置信区间确定时，标准差愈小，置信因子和相应的置信概率就愈大，测量数据的可信度就愈高。当置信概率给定时，标准差愈小，置信区间愈窄，测量数据的可靠度就愈高。2.4.4 测量结果的置信度1.正态分布下置信因子与置信概率的关系假设测量数据在从正态分布下，其概率密度函数为，随机误差的绝对值大于3的概率只有0.0027，几乎为零。可以近似认为随机误差的绝对值大于3属

22、于不可能发生的随机事件。通常以3作为正态分布下测量数据的极限误差，并以此来判断随即误差中是否含有粗大误差。 对应区间x-k,x+k的置信概率为68.3%95.55%99.72. t分布下置信因子与置信概率的关系在有限次测量中，测量数据服从t分布。t分布下给定区间的概率为 Kt:t分布的置信因子。 概率为1，即全概率，也就是说均匀分布得测量数据得误差不可能超过a，所以a为极限误差。在实际应用中，通常取 给定区间在测量数据在均匀分布，时(3)均匀分布时置信度的确定在进行测量数据处理时，若多次测量结果中含有粗大误差，就会严重地影响和歪曲对测量结果的正确评价。因此在对测量结果进行精度分析时，必须剔除粗

23、大误差（亦称坏值），若没有从测量数据中去掉这些坏值，将会使测量结果的精度分析失去可靠性，严重时甚至会得出错误的结论。 25 粗差的判别与剔除设一组等精度独立测量结果中，其一测得值xb所对应的残差vb大于三倍的标准偏差时，该测得值xb可确认含有粗大误差，应予以剔除。判别式 1.拉依达准则拉依达准则是最常用的判别粗大误差的准则，亦称3准则。 在一组等精等独立测量结果中，若某一测得值xb的残差vb。满足下式 则认为xb为坏值，应该剔除。式中g(n,a)为格罗布斯判别系数，它与测量次数n和置信水平（一般取0.05或0.01）有关，如表2.3所示2.格罗布斯准则表2.3格罗布斯判别系数ng(n,)ng(

24、n,)=0.05=0.01=0.05=0.0131.1531.155172.4752.78541.4631.492182.5042.82151.6721.749192.5322.85461.8221.944202.5572.88471.9382.097212.5802.91282.0322.221222.6032.93992.1102.323232.6242.963102.1762.410242.6442.987112.2342.485252.6633.009122.2852.550302.7453.103132.3312.607352.8110.178142.3712.659402.8663

25、.240152.4092.705452.9143.292162.4432.747502.9563.336例2.1 利用格罗布斯准则判别表判断表数据是否含有粗大误差。n12345678xi 10.4010.4110.4310.3110.3910.4210.4410.40n9101112131415xi 10.4010.4310.4410.4110.3910.4210.43解：个数据的标准偏差相应的格罗布斯系数为g(n=15, =0.05)=2.409可确认x4为坏值，应予以剔除显然表中除x4外，剩下的14个测得值都不满足式格罗布斯准则，故可认为这些测得值不再含有粗大误差。相对而言，拉依达准则无需

26、查表，使用较方便，但当测量数据较少时，其判别的可靠性不如格罗布斯准则，其主要原因是格罗布斯准则引入了格罗布斯判别系数，该系数的确定已考虑了测量次数n及标准偏差计算时带来的误差，因而理论上严格，可靠性较高。26 测量数据处理最小二乘法是处理实验数据的重要方法。设对某被测变量进行了n次重复测量，测量值分别为x1,x2，,xn，则被测量的最佳估计值应使残差的平方和为最小，即 在一些实际问题中，某个变量与其他几个变量之间存在密切的关系，但又无法通过机理的分析方法来建立这种相关关系。回归分析是建立这种目标变量和自变量之间函数关系的数理统计方法，它通过对大量测量数据的处理，得出目标变量与各相关自变量间比较

27、符合事物内部规律的数学表达式。最小二乘法原理2.6.1 最小二乘法原理与应用 设有一组实验数据：（x1,y1）,(x2,y2)，（xn,yn），利用最小二乘法建立变量y和x之间的最佳函数关系y=f(x)时，首先将测量结果标在坐标上，连接坐标点并观察曲线的趋势，建立合适的数学模型根据最小二乘法原理，参数的最佳估计应使残差平方和为最小当y=f(x)为一次函数时，y与x之间为线性关系该式为一元线性回归方程。从事研究工作、新产品开发、仪器仪表或电子产品的生产愈检测过程中,常常要利用仪器设备进行直接测量，不仅在某一点获取多个数据，且往往还要在不同的点进行测量，以便求得准确而有代表性的特征函数或特性曲线，进而求得数学模型。测量数据处理分为等精度测量数据处理和非等精度数据处理。这里主要介绍前一种。等精度数据处理内容包括：计算被测量的平均值、剩余误差、方差、标准偏差，消除数据中的系统误差和坏值，求得最后测量结果以及获得经验统计公式，描绘特性曲线等。2.6.2 测量数据处理举例下面通过一个实