线性代数和解析几何矩阵

1、关于线性代数与解析几何矩阵第一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2.1 矩阵与矩阵的运算一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵的运算第二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月其中 表示有航班始发地ABCD目的地 A B C D例 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示:一、矩阵概念的引入第三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月为了便于计算，把表中的改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：ABCD A B C D这个数表反映了四个城市之间交通联

2、接的情况.第四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月其中aij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量 例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，bi 2 表示第 i 种货物的单件重量 第五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月数域定义：对于一个至少含有0，1的复数集合的子集合F，如 果其中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0） 仍在F中，那么F称为一个数域 所有的有理数、实数、复数都分别形成一个数域（有理数域、实数域、复数域），分别记为所有的奇数（偶数）都不能构成

3、数域.第六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月构成一个数域. 通常用 表示这个数域.例 集合证 显然 包含0,1并且对于加减法是封闭的. 另外因为a,b,c,d都是有理数，所以ac+2bd,ad+bc也是有理数.从而说明对乘法也是封闭的. 设 ，则知对除法也封闭.第七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月 由 mn 个数 排成的 m 行 n 列的数表称为 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵 记作 二、矩阵的定义（定义在数域F上）第八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这 mn 个数称为矩阵A的元素，简称为元.

4、第九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月行数不一定等于列数共有mn个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式第十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月同型矩阵与矩阵相等的概念 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵. 两个矩阵 与 为同型矩阵，并且对应元素相等，即则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .第十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月注意：不同型的零矩阵是不相等的.例如 第十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) .只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量) .2. 元素全

5、是零的矩阵称为零距阵可记作 O .例如： 三、特殊的矩阵第十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月3. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵可记作 . 称 为方阵的主对角线元素，所有主对角线 元素的和称为方阵的迹，记为第十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月形如 的方阵称为对角阵特别的，方阵 称为单位矩阵记作记作 第十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定义 设 ，称 是A的负矩阵，其中第十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量

6、其中aij 表示上半年工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量其中cij 表示工厂下半年向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量第十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量第十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月1、矩阵的加法定义：设有两个 mn 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 AB，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.第十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月知识点比较第二十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设 A

7、、B、C 是同型矩阵设矩阵 A = (aij) ，记A = (aij)（A 的负矩阵）显然第二十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月设工厂向某家商店发送四种货物各 l 件，试求：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，bi 2 表示第 i 种货物的单件重量 第二十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月解：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，bi 2 表示第 i 种货物的单件重量 第二十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2、

8、数与矩阵相乘定义：数 k是复数域中的一个数，它与矩阵 A 的乘积记作 k A 或 A k ，规定为第二十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设 A、B是同型矩阵，l , m 是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.第二十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月知识点比较第二十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月其中aij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量 例（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，

9、bi 2 表示第 i 种货物的单件重量 试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量 第二十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月解：以 ci1， ci2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及总重量，其中 i = 1, 2, 3于是其中aij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，bi 2 表示第 i 种货物的单件重量 第二十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月可用矩阵表示为一般地，第二十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月4、矩阵与矩阵相乘定义：设 ， ，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 mn 矩

10、阵 ，其中并把此乘积记作 C = AB 第三十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：设则第三十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.第三十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例 P.34例1.2 结论：矩阵乘法不一定满足交换律.矩阵 ，却有 ，从而不能由 得出 或 的结论第三十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月矩阵乘法的运算规律(1) 乘法结合律 证明？ (3) 乘法对加法的分配律(2) 数乘和乘法的结合律 （其中 l 是数）(4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似

11、于数1，即矩阵乘法不一定满足交换律!第三十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月(5) 设A是一个n阶方阵，f(x),g(x)为复系数的多项式，则矩阵A的多项式f(A)和g(A)的乘法满足交换律,即 f(A)g(A)= g(A)f(A).第三十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：如果AB=BA,我们就称矩阵A，B可交换. 证明和对角矩阵可交换的只能是对角矩阵. 其中证 设矩阵B可以和A可交换. 其中第三十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月则第三十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月即依次比较两边矩阵的第一行，第二行，.,可以得到故结论成立第三十八张，

12、PPT共一百七十页，创作于2022年6月(5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义显然 , 定义思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立第三十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月5、矩阵的转置定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作AT .例第四十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月转置矩阵的运算性质第四十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：已知解法1第四十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月解法2第四十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 ，即那么 A 称为对

13、称阵.如果满足 A = AT，那么 A 称为反对称阵. 对称阵 反对称阵 第四十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：设列矩阵 X = ( x1, x2, , xn )T 满足 X T X = 1，E 为 n 阶单位阵，H = E2XXT，试证明 H 是对称阵，且 HHT = E.证明：从而 H 是对称阵 第四十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月6、共轭矩阵当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记， 称为 的共轭矩阵. 显然 ，复矩阵A是实矩阵当且仅当 . 第四十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例第四十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月（设A，

14、B 为复矩阵，l 为复数，且运算都是可行的）：性质第四十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月作业习题二1(3)(4)，5, 7, 11第四十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2.2 矩阵的分块第五十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月前言由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传.家具的拆卸与装配问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？第五十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月问题一：什么是矩阵分块法？定义：用一些水平线和垂直线将矩阵分成若干个小块，这种操

15、作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.这是2阶方阵吗？第五十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例分块矩阵第五十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月把 矩阵A用水平线和垂直线分割成若干个小矩阵.如下图第五十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月问题二：为什么提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了化整为零的思想.第五十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月分块矩阵的加法第五十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月若矩阵A

16、、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即则有形式上看成是普通矩阵的加法！第五十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月分块矩阵的数乘第五十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月若l 是数，且 则有形式上看成是普通的数乘运算！第五十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月分块矩阵的乘法一般地，设 A为ml 矩阵，B为l n矩阵 ，把 A、B 分块如下：第六十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月分块矩阵的转置若 ，则例如：分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置第六十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月分块对角矩阵（补充）定义：设 A 是 n 阶矩阵

17、，若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，对角线上的子块都是方阵，那么称 A 为分块对角矩阵例如：第六十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月方阵的行列式定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA.运算性质第六十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月证明：要使得 |AB| = |A| |B| 有意义，A、B 必为同阶方阵，假设 A = (aij)nn，B = (bij)nn .我们以 n= 3 为例，构造一个6阶行列式第六十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第六十五张，PPT共一百七十页，创作于20

18、22年6月第六十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月令 ，则 C = (cij)= AB 第六十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月从而 第六十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2.3 矩阵的秩一、矩阵的初等变换二、矩阵的秩第六十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月引例：求解线性方程组一、矩阵的初等变换第七十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2第七十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月23 第七十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月 253第七十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2 第七十四张，PPT共一百七十

19、页，创作于2022年6月取 x3 为自由变量，则 令 x3 = c ，则 恒等式第七十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月三种变换： 交换方程的次序，记作 ； 以非零常数 k 乘某个方程，记作 ； 一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 . 其逆变换是：结论：由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算iji k ik jiji k i+k jijik ik j第七十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：交换矩阵中的两行，记作 ；以非零常数

20、k 乘某一行的所有元素，记作 ； 某一行加上另一行的 k 倍，记作 .其逆变换是：把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换 初等变换初等行变换初等列变换第七十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月有限次初等变换矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性 ；对称性 若 ，则 ；传递性 若 ，则 第七十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.阶梯形矩阵若某行中每个元素都为0，则位于该行下面各行

21、元素也全为0.若有非零元素且非零元素出现于前r行，而对于i=1,2,r,第i行中左起第1个非零元素为 , 则 .第七十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例是阶梯形矩阵，而不是阶梯形矩阵.第八十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月证 设mn 矩阵 A 若所有的 均为0，则显然A是阶梯形矩阵.定理 任意一个矩阵都可经过一系列初等行变换化为阶梯 形矩阵.第八十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月否则，设A的第 列的元素均为0，而第 列有非零元素.利用矩阵的初等变换其中 .依次类推. 第八十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例 把化成阶梯形矩阵. 第八十三张，

22、PPT共一百七十页，创作于2022年6月解 第八十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月（续）考虑列初等变换 第八十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定理 任意一个mn 矩阵A都可与一个形如的矩阵等价. 为A的等价标准形.第八十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月任何矩阵阶梯形矩阵等价标准形矩阵一系列初等行变换 一系列初等列变换 一系列初等变换 结论第八十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月二、矩阵的秩的概念定义：在 mn 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素按原来的顺序组成的k 阶行列式，称为矩阵 A

23、 的 k 阶子式显然，mn 矩阵 A 的 k 阶子式共有 个概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式第八十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵 A 的一个 2 阶子块矩阵 A 的一个 2 阶子式第八十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月矩阵 A 的一个 3 阶子式矩阵 A 的 2 阶子式 如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也等于零 第九十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么

24、数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 r(A)根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表示如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有 r +2阶子式也都等于零 事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都等于零 因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数规定：零矩阵的秩等于零第九十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数 显然，若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零，则 r(A) s ；若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零，则 r(A) t

25、 若 A 为 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即|A| 当|A|0 时， r(A) = n ; （非奇异矩阵）又称为满秩矩阵当|A| = 0 时， r(A) r)阶子式 D全为零，为此对A 按列分块， 设经过初等变换后变为 取B的任意一个k(kr)阶子式D,记 是D中分别对应于 的列. 则D有三种情形.第九十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月(1) D中不含B的第i列，这时D就是A的子式. 则D=0.(2) D中含B的第i列，但不含B的第j列,这时(3) D同时含B的第i列和第j列,第九十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月B中高于r阶的子式都为0，所以 ，同

26、理可得 . 结论成立.第一百张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月分析 比较矩阵A、B的等价标准形.性质1 两个矩阵A、B等价的条件是当且仅当它们有相同的 秩.性质2 阶梯形矩阵的秩等于它非零行的数目.第一百零一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：求矩阵 A 的秩，其中 分析：在 A 中，2 阶子式 A 的 3 阶子式共有 (个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的第一百零二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的 .阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为阶梯形矩阵.两个等

27、价的矩阵的秩是否相等？第一百零三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：求矩阵 的秩。第一百零四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月解：第一步先用初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵阶梯形矩阵有 3 个非零行，故r(A) = 3 第一百零五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月分析：对 B 作初等行变换变为阶梯形矩阵，设 B 的阶梯形矩阵为 ，则 就是 A 的阶梯形矩阵，因此可从中同时看出r(A)及 r(B) 例：设 ，求矩阵 A 及矩阵B = (A, b) 的秩解：r(A) = 2r(B) = 3第一百零六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2.4 矩阵的逆第一百零七

28、张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题.这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵. 从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类似于 1 在复数中的地位 一个复数 a 0的倒数 a1可以用等式 a a1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有第一百零八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得这里 E 是 n 阶单位矩阵.根据矩阵的乘法法则，只有方

29、阵才能满足上述等式. 对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯一的（如果有的话）.定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵，记作 A1 .第一百零九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例： 已知 , 则例： 已知 , 求其逆矩阵.第一百一十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月性质： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 、 、 与AB也可逆，且第一百一十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月下面要解决的问题是：在什么条件下，方阵 A 是可逆的？如果 A 可逆，怎样求 A1 ？第一百一十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例

30、： 已知 , 则A不存在逆矩阵.假设存在逆矩阵 则而 ,矛盾.第一百一十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定义 设矩阵 称矩阵为矩阵A的伴随矩阵。元素 的代数余子式 位于第 i行第 j 列第一百一十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定理 矩阵可逆的充要条件是 ，且当可逆时，有： 证明若 可逆，第一百一十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月由定义得第一百一十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：求二阶矩阵 的逆矩阵.第一百一十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例：求3阶方阵 的逆矩阵.解：| A | = 52，则第一百一十八张，PPT共一

31、百七十页，创作于2022年6月例：设方阵A满足 ,证明A,A+2E都可逆. 第一百一十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月方阵A可逆 此时，称矩阵A为非奇异矩阵容易看出：对于n 阶方阵A、B，如果 那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.第一百二十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例 的系数矩阵是一个n 阶方阵 A ，若A可逆, 则线性方程组有唯一的解. 第一百二十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月证明：记则上述线性变换可记作 AX =b存在性: 由于A可逆, 则 ，于是唯一性: 假设有另一解 ,则 第一百二十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例

32、 设其中 为 可逆矩阵, 为 可逆矩阵，求A的逆.第一百二十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月2.5 初等矩阵第一百二十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵.互换单位矩阵的两行（列）；(2)以常数 k0 乘单位矩阵的某一 行（列）；(3)以 k 乘单位矩阵的某一 行（列）加到另一 行（列） 一、初等变换与矩阵乘法的关系第一百二十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月(第I种类型的初等矩阵)n阶单位矩阵的第 i, j 行（ij） 互换，记为P(i,j). 第i行第行第一百二十

33、六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月记作 P(3, 5)第一百二十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第一百二十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第一百二十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月(2)(第II种类型的初等矩阵)以常数 k0 乘单位矩阵第 i 行, 记为P(i(k).第i行第一百三十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月记作 P(3(k) 第一百三十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第一百三十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月(3)(第III种类型的初等矩阵)以 k 乘单位矩阵第 j 行加到第 i 行,记作 P

34、(i,j(k)第i行第行第一百三十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月记作 P(3,5(k) 第一百三十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第一百三十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月结论把矩阵A的第 i 行与第 j 行对换，即 .把矩阵A的第 i 列与第 j 列对换，即 .以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 行，即 .以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 列，即 .把矩阵A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .把矩阵A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .第一百三十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定理 (定理5.1) 设A是一个 mn 矩阵，对

35、 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.口诀：左行右列.第一百三十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例 已知求P(3,1(2)A, AP(2,3). P(3(3)A.第一百三十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月初等变换 初等变换的逆变换 初等矩阵 ?第一百三十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月所以 一般地， 第一百四十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月所以 一般地， ?第一百四十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月所以 一般地，

36、?第一百四十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月初等变换 初等变换的逆变换 初等矩阵 初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵是：?第一百四十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月定理 任意一个矩阵A都和一形如 的矩阵等价。（P45）第一百四十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月由上述定理可得定理 对任意矩阵,r(A)=r, 存在一系列和n阶初等矩阵使得第一百四十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月推论1 若矩阵A为n阶可逆矩阵，则存在n阶初等阵 ，使从而推论2 若矩阵A为n阶可逆矩阵，则存在n阶初等矩阵Q1, Q2, , Ql，使 AQ1 Q2 , Ql =E从

37、而第一百四十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月初等变换的应用若矩阵A为n阶可逆矩阵，则存在n阶初矩阵 使 ，从而即对 矩阵(A E)执行初等行变换,当把A变成E时，原来的E变成 .第一百四十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月 解例第一百四十八张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第一百四十九张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月即初等行变换第一百五十张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月例解第一百五十一张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第一百五十二张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月第一百五十三张，PPT共一百七十页，创作于2022年

38、6月列变换行变换第一百五十四张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月作业习题二16, 20, 24第一百五十五张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月概念特殊矩阵 mn个数aij (i = 1,2,m ; j =1,2,n) 构成的数表.单位距阵:主对角线元素都是1,其余元素都是零的n阶方阵.对角矩阵:主对角元素是 其余元素都是零的n阶方阵.对称矩阵: 矩阵主要知识网络图AT = A.反对称矩阵: AT = A.矩阵2第一百五十六张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月运算A+B = ( aij + bij)kA= ( kaij ).AB = C 其中A与B同型.的第i行是A的第i列.|A|= detA,A必须是方阵.伴随矩阵 n 阶行列式的 |A|所有元素的代数余子式构成的矩阵.AT: AT第一百五十七张，PPT共一百七十页，创作于2022年6月逆矩阵概念求法证法如果AB=BA=E,则A可逆， B是