《数学物理方法》课程二

1、主讲教师:冉扬强数学物理方法第二章 解析函数主要内容(1)、复变函数导数的概念(2)、哥西黎曼条件及复变函数可微的充要条件(3)、解析函数的定义，已知解析函数的实部(或虚部)求该解析函数的方法(4)、共轭调和函数的概念，解析函数的几何意义(5)、初等函数的定义和基本性质重点：哥西黎曼条件；解析函数的定义； 已知解析函数的实部(或虚部)求该解析函数的方法；共轭调和函数的概念及其几何意义；初等函数的定义和基本性质 难点：初等多值函数及其支点，支割线的概念；已知解析函数的实部(或虚部)求该解析函数的方法 重点和难点2.1 解析函数一、导数的定义设函数 在区域D上有定义， 且 ，如果极限存在，则称此极

2、限为函数 在z 点的导 数，记为： 或 ，这时称函数 在z 点可微 (或可导）. 显然，函数 必须在点z 连续，才有可能在 z 点可导.讨论： 1) 复变函数导数的定义，在形式上跟实变函数的导数定义一样，因而实变函数论中的关于导数的规则和公式可用于复变函数。例如： 2)复变函数和实变函数的导数的定义，虽然形式上相同，实质上却有很大的区别，这是因为实变函数 只沿实轴逼近零，而复变函数 却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多. 二、哥西-黎曼条件 下面讨论复变函数可微的充分必要条件1、必要条件：若 在 处可微，即若记 , 其中, 则前式可变为 由于

3、无论按何方式趋于零，上式总成立。先看 沿实轴趋于零的情况。此时 再让 沿虚轴趋于零。此时 比较两式得 哥西-黎曼条件(CR条件) 讨论： 1) C-R条件为复变函数可微的必要条件，凡不满足C-R条件的函数，它在该点一定不可微. 例如 ，所以： 由于 由于偏导数虽然存在，但不满足C-R条件，因而 在复平面上处处不可微. 2) C-R条件不是复变函数可微的充分条件.例如：函数 在z = 0点满足C-R条件，但不可微。由于 ， ，于是 显然满足C-R条件，但在z=0点并不可微，因为 当 沿射线 趋于零时， 与k 有关，沿不同的射线，k 值不同，所以该极限不存在，从而函数在z = 0点不可微.2、充分

4、必要条件如果C-R条件加上一附加条件，就可得到可微的充分条件。 定理： 在 可微 ， 在点（x , y）处可微，并满足C-R条件. 由上述定理可得：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实部与虚部通过C-R条件联系起来。 在极坐标系中， ， 哥西-黎曼条件为 三、解析函数的定义定义：如果函数 在区域D上处处可微，则称 是区域D上的解析函数，或称 在D上解析讨论：1)有时说：“函数 在某点解析”，是指 在该点的某一邻域内处处可微. 2)“函数 在闭区域 上解析”，是指它在包含 的某个区域上解析. 3)如果 在 点不解析，则称为 的奇点

5、. 4)解析函数的实部和虚部通过C-R方程相互联系，并不独立，只要知道解析函数的虚部(或实部)，就可求出相应的实部(或虚部). 下面举例说明:例1：已知解析函数的实部 ， 求该解析函数.解：先计算 的偏导数由哥西-黎曼条件得求v 的另一种求法：由 得即 故：2.2 解析函数与调和函数的关系 1、调和函数的定义 定义：如果实变函数 在某区域D上有二阶连续偏导数，并且满足方程 则称 为区域D上的调和函数，方程称为拉普拉斯方程. 2、解析函数的实部和虚部是调和函数 设 在区域D上解析，则C-R条件成立 ， . 下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数 , 两式相加可得 同理可得 即 , 都满足拉普拉斯方程，是调和函数。注意：反过来定理不一定成立，如果 是调和函数， 不一定解析，因为解析函数必须满足C-R条件. 由C-R条件联系着的调和函数 u 与 v 称为 共轭调和函数，这样上述定理可表述为： 定理：任何一个在区域D上的解析函数，其实部与虚部在该区域上互为共轭调和函数。 3、共轭调和函数的几何意义设 是区域D上的解析函数，则 ， 两式相乘得