苏教版高中数学选择性必修一第4章4.3.3第1课时《等比数列的前n项和》课件

1、苏教版高中数学课件等比数列的前n项和在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗？其实这其中的缘由可由我们之前所学的指数函数来解释，还记得我们之前构造向家长索要零花钱的函数吗，原来我们想知道具体某一天你会得到多少钱，而现在我们想知道的是，经过一段时间，你一共获得了多少零花钱.导语一、等比数列前n项和公式的推导问题1若等比数列 的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？提示思路一：因为Sna1a2a3an1an，所以Sna1a1qa1q2a1qn2a1q

2、n1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSna1qa1q2a1q3a1qn1a1qn，发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得SnqSna1a1qn，即(1q)Sna1(1qn)，而当q1时，Snna1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”.利用该公式，我们很容易解决一周能向家长要多少零花钱，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用ana1qn1相互转化.思路三：Sna1a2a3ana1q(a1a2an1)，所以有Sna1qSn1Sna1q(Snan)(1

3、q)Sna1anq，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决.问题2同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？18 446 744 073 709 551 615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧.大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5 800亿年.同学们，看来学好数学是多么的重要.等比数列的前n项和公式知识梳理已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求

4、和公式公式一Sn_公式二Sn_注意点：(1)用等比数列前n和公式求和，一定要对该数列的公比q1和q1进行分类讨论；(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数；(例如12222n )；(3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项；(例如12222n ).(4)等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数.即SnAqnA.例1求下列等比数列前8项的和：反思感悟求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q1是否成立.跟踪训练1在14与 之间插入n个数，组成所有项的和为 的等比数列，求此数列的项数.解设此数列的公比为q(易知q1)，故此数列共有5项.二

5、、等比数列中与前n项和有关的基本运算例2在等比数列an中，(1)S230，S3155，求Sn；方法二由(a1a3)q3a4a6，又a1a3a1(1q2)10，所以a18，(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求公比q.解因为a2an1a1an128，所以a1，an是方程x266x1280的两个根.反思感悟等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答.(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如

6、qn， 都可看作一个整体.(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 跟踪训练2在等比数列an中.q2，(2)已知S41，S817，求an.解若q1，则S82S4，不符合题意，q1，三、分组求和法例3已知数列an的前n项和为Sn，a1t，点(Sn，an1)在直线y3x1上.(1)当实数t为何值时，数列an是等比数列？解因为点(Sn，an1)在直线y3x1上，所以an13Sn1，当n2时，an3Sn11.于是an1an3(SnSn1)an1an3anan14an.又当n1时，a23S11a23a113t1，所以当t1时，a24a1，此时

7、，数列an是等比数列.(2)在(1)的结论下，设bnlog4an1，cnanbn，Tn是数列cn的前n项和，求Tn.解由(1)，可得an4n1，an14n，所以bnlog4an1n，cn4n1n，那么Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(40414n1)(12n)反思感悟分组求和的适用题型一般情况下形如cnanbn，其中数列 一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列 的前n项和，分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和即可.1.知识清单：(1)等比数列前n项和公式的推导.(2)等比数列中与前n项和有关的基本运算.(3)分组求和法.2.方法归纳：公式法、分组求和法.3.常见误区：等

8、比数列前n项和公式中项数的判断易出错.课堂小结随堂演练1.在数列an中，已知an12an，且a11，则数列an的前5项的和等于A.25 B.25 C.31 D.31解析因为an12an，且a11，所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，12342.等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn等于解析当x1时，Snn；123412343.设Sn为数列 的前n项和，an12222n1，则Sn的值为A.2n1 B.2n11C.2nn1 D.2n1n2123412341234所以a1a23，课时对点练基础巩固123456789101112131415161.在等比数列an中，a12，a21，则S10

9、0等于A.42100 B.42100C.4298 D.42100123456789101112131415162.设数列(1)n的前n项和为Sn，则Sn等于123456789101112131415163.若等比数列an的前n项和Sn2n1a，则a3a5等于A.4 B.8 C.16 D.32解析等比数列an的前n项和Sn2n1a，n2时，anSnSn12n1a(2n2a)，化简得an2n2.则a3a522316.1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415165.已知an是首项为1的等比数列，Sn是其前n

10、项和，且9S3S6，则数列 的前5项和等于12345678910111213141516解析设数列an的公比为q，显然q1，解得q2，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415167.若等比数列an的前n项和Sn23nr，则r_.解析Sn23nr，由等比数列前n项和的性质得r2.28.设数列 是以2为首项，1为公差的等差数列， 是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1ab2ab3ab10_.bn12n12n1，abn2n11，1 0331234567891

11、011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516解由(1)得bn 13n1，12345678910111213141516综合运用11.等比数列an的公比为q(q1)，则数列a3，a6，a9，a3n，的前n项和为12345678910111213141516解析依题意得等比数列an的通项ana1qn1，所以a3na1q3n1，所以数列a3n是首项为a3，公比为q3的等比数列，因为q1，所以q31，1234567891011121314

12、151612345678910111213141516所以有a11，所以an2n1(nN*)，令 2annbn，所以bn2nn，12345678910111213141516因此有Sn(21)(222)(233)(2nn)(222232n)(123n)解析易知1,3,5,7，是首项为1，公差为2的等差数列，令2m12n7，mn4，f(n)是以2为首项，224为公比的等比数列的前n4项的和，1234567891011121314151614.已知数列an的前n项和为Sn，a11,2Snan11，则Sn_.解析当n1时，则有2S1a21，a22S112a113；当n2时，由2Snan11得出2Sn1an1，上述两式相减得2anan1an，an13an，数列an是以1为首项，以3为公比的等比数列，12345678910111213141516拓广探究123456789101112131415166012345678910111213141516共2n1项的和；解得n6，123456