不等式的证明（二）

1、PAGE 第六章不等式第七课时6.3.2不等式的证明（二）教学目标（一）教学知识点1公式法证明不等式.2两正数和为定值或积为定值求最值.（二）能力训练要求1掌握用公式法证明不等式.2理解并掌握用两正数和为定值或积为定值求最值.（三）德育渗透目标利用公式法证明不等式，既培养学生观察应变的逻辑思维能力，又培养学生实事求是的科学态度，进一步加强对学生辩证唯物主义观念的教育.教学重点公式法证明不等式.1a，bR，a2b22ab，当且仅当ab时，取等号.2a0，b0，当且仅当ab时取等号.（1）若ab为定值P，则当ab时，ab有最小值.（2）若ab为定值S，则当ab时，ab有最大值S2.3利用求最大值最

2、小值是解决最值问题常用的方法，在具体解题过程中应注意三点：（1）两数均为正数；（2）两正数之和或之积为定值；（3）在两正数的取值范围内，两正数可以相等.教学难点1对一些条件不等式中条件的合理利用.2求最值时，找和为定值或积为定值，如何凑和或积为定值.教学方法读、议、练、讲单元教学法.教具准备幻灯片两张第一张：记作6. 3.2 A公式法证明不等式一、基本公式（1）若a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时取“”号.（2）若a，bR，则，当且仅当ab时取“”号.若ab为定值P，则当ab时，ab有最小值2.若ab为定值S，则当ab时，ab有最大值S2.二、基本公式的等价形式及推广（1）ab（a，b

3、R），当且仅当ab时取“”号.（2）ab，当且仅当ab时取“”号.（3）2(ab0)，当且仅当ab时取“”号.第二张：记作6. 3. 2B基本公式及其推广的应用：例1已知a0，b0，且ab1，求证：（1）；（3）（5）（7）（8）（9）教学过程课题导入今天，我和同学们来共同探索“公式法”证明不等式.这节课并不难，而涉及的题目变形灵活，只要我们理解并掌握了“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式）”，这一重要定理，在此基础上，灵活利用它的推广及其变形（几个重要的不等式），就能学会并把握好“公式法”证明不等式这一重要方法.相信同学们能获得成功.（打出幻灯片6. 3. 2 A，引导学

4、生阅读基本公式及基本公式的变形及推广）我们要重点掌握下面的基本公式及变形：（1）若a，bR，a2b22ab，当且仅当ab时取“”号.（2）若a0，b0，当且仅当ab时取“”号.若ab为定值P，则当ab时，ab有最小值.若ab为定值S，则当ab时，ab有最大值S2.（3）a，bR，则ab，当且仅当ab时取“”号.（4）a0，b0，则ab，当且仅当ab时取“”号.（通过阅读幻灯片6. 3. 2A，疏理出重点知识，引导同学们完成下面例1的证明过程）讲授新课（打出幻灯片6.3. 2B，引导学生阅读例1）例1已知a0，b0，且ab1，求证：（1）4；（2）（6）（9）师解题时，正确、迅速地把握解题的“切

5、入点”是很重要的，而“切入点”的选择，一方面要依靠对题设的分析，另一方面来自解题的“经验”.本题中由目标不等式发现含有形如ab，ab，a2b2等式子，故由“经验”马上联想公式a2b22ab(a，bR)及（a0，b0），即可很快得证.在不等式证明中，两个正数a，b的和为1（即ab1），作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.生（1）a0，b0，（2）a0，b0，且ab1，a2b2(ab)22ab12ab12（故a2b2.（3）a0，b0，且ab1，8，故（4）a0，b0，且ab1，a3b3(ab)33ab(ab)，13ab13，或a3b3(ab)(a2abb2)a2b2ab(a

6、b)23ab13ab13，故a3b3.（5）a0，b0，且ab1，（6）a0，b0，且ab1，9.（7）a0，b0，且ab1，故（1）（8）a0，b0，且ab1，（a）2，故（9）a0，b0，且ab1，故注：以上各题中均当且仅当ab时取等号.师生共析运用“公式法”证明不等式的难点在于如何通过对所证命题进行变形，使其反应出某种形式的“和”与“积”之间的关系（不妨简记为“和”不小于“积”）.那么，我们在解题时，就可以充分利用这一特征，来选择公式及其等价形式求得证明.例2（必要时此题可打在幻灯片上）小强家住在农村，十月一日，国庆节放假回家，正赶上父亲收割庄稼，由于今年大丰收粮食太多，自家的谷仓已全部

7、装满，还剩下很多.这时爸爸想出了一个主意，决定用一个长方形木板，借助两面墙，在西屋的墙角处围了一个直三棱柱的谷仓，木板可立，可横.小强心想，这么多的粮食，怎样围才能装最多的粮食呢？经过测量和运算，小强得到了满意的方案，向父亲提供了建议.请你叙述小强的作法.如果换成任意的两面墙，如何处理？（引导学生认真审题，寻求数量关系，找准“切入点”，求得解答）师显然，围成直三棱柱的底面为直角三角形，若两直角边分别为x和y，则x2y2是长方形木板的长或宽（定值）的平方.这样，本例的问题主要体现在均值不等式的应用上.生小强用直尺测出木板的长为a，宽为b，依题可知：ab0，且两墙夹角（即二面角）为90.（1）a作

8、底边，设S底为底面直角三角形的面积，两直角边一个是x，一个是y，则有：S底b，且x2y2a2，x2y22xy，xy，V1，当且仅当xy时取“”号.（2）b作底边，同（1）可得V2，当且仅当xy时取“”号.又ab0，ab0，ab0，V1V2故把长方形木板的长边放在底面，且围成的直三棱柱的底面是等腰直角三角形时，容积最大.若两面夹角（即二面角）换成时，解答如下：设用矩形木板长a作直三棱柱的侧棱，宽b作为底面的一条边，底面三角形的另两边的长分别是x，y，体积为V1，则有x2y2b2，整理，得当xy时取“”号.设矩形木板的宽b作侧棱，则当xy时，V2ab0，ab0，ab0，a2bab2，即V2V1.故

9、把矩形木板的长边放在底面，且围成的直三棱柱的底面是等腰三角形（顶角为）时，容积最大，且最大值Vmax师生共析均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：（1）建模（即函数关系式）；（2）构造定值（构造“积”或“和”为定值）；（3）验证“”号成立.课堂练习1已知a0，b0，ab4，求证：分析：公式：若a0，b0，则（当且仅当22222222222ab时取等号）的应用.证明：a0，b0，ab4，故2已知a，b，c为不等的正数，且abc1，求证：分析：根据已知条件，对abc1作适当变形，即，然后利用公式得证.证明：a，b，c是不等的正数，且abc1，故3求证：分析：考虑分子、分母的关系可知：x

10、25(x24)1，所以用基本公式即可得证.证明：xR，x20，x250，x240，时有x230，这不可能，上述均值不等式中等号不成立.故4设abc，求证：分析：我们通常在不等式两边均为正值时，才能考虑公式ab的应用.证明：abc，ab0，bc0，ac0，故课时小结本节课，我们学习了用“公式法（均值不等式）”证明不等式，其核心是灵活变形.关键在于认清公式（均值不等式）的结构特点和取“”条件，要在证明不等式的具体问题中寻求运用公式（均值不等式）的适当形式和具体方式，自觉提高解决遇到不同题型的应变能力.课后作业（一）练习1已知lg（x21）lg(y24)lg8lgxlgy，求x，y的值.分析：应用对

11、数的运算法则将原方程转化为解：x212x0（依题知x0，y0），同理可知：对于两非负数，当且仅当它们都为零时，其和才为零，即所以，x212x，y244y.故x1，y2.2已知a0，b0，求证：ab分析：本题采用公式法.题中含有形如：ab，ab等式子，多次运用公式，（a0，b0）即可得证.直接使用公式时，要从式子的形式和条件两个方面进行观察.证明：a0，b0，ab0，ab0.ab，故ab（二）1预习内容：课本P14“综合法”证明不等式.2预习提纲：（1）什么是综合法？它的基本思想是什么？（2）它适合证明哪类不等式？板书设计6. 3. 2不等式的证明（二）一、基本公式例题若a0，b0，则课堂练习二

12、、基本公式的变形课时小结若a0，b0，则ab.课后作业备课资料一、参考例题例若a，b，c均为正数，且满足abc1，求证：分析：把握题的结构，找准“切入点”，构造均值不等式同正）是解决问题的关键.例如：证明：a0，4a10，同理可得：由不等式基本性质，三式相加，得其中等号成立的充分必要条件是：此时有abc0，因而abc0，这与abc1相矛盾.所以不等式中的等号不成立.故评述：此题的证明有两点值得重视：一是已知条件abc1在证明中的作用和由此而引发的思考；另一点是均值不等式的运用问题.显然，在证明过程中，由不等式的性质，三式相加而产生小于5的结论.试想如果abct(t是一个正的实常数)，那么就可以

13、导致小于2t3的结论，由此我们可以构造不同的题目.另外，在运用均值不等式时，根据需要，我们可以把某一个正数或几个正数的和作为一个数看待，而另一个数可以取“1”，这是灵活运用均值不等式的一个技巧.二、参考练习题1选择题（1）已知x0，y0，且x2y21，则xy的最大值为（）AB1CD答案：A（2）已知正数a，b满足ab1，则的最小值为（）A2B4CD答案：B（3）已知a1，algb，则lg（ab）的最小值是（）A1BClog210D答案：D（4）下列各函数中，最小值为2的是（）ABC且D3x3x(x0)答案：B（5）若实数m，n，x，y满足m2n2a，x2y2b(ab)，则mxny的最大值是（）ABCD答案：B（6）设a0，b0，且ab，则下列各式中最小值是（）ABCD答案：A2填空题（1）若a0，b0，c0，d0，则答案：264（2）若a1，b1，则logablogba.答案：2（3）当0 x1时，函数y的最大值是，最小值是；当1x1时，函数y的最大值是，最小值是.答案：（4）不等式成立的充要条件是.答案：ab0且ab（5）设a0，b0，c0，abc1，则的最大值是.答案：3设a0，b0，c0，求证：证明：a0，b0，c