2020高考-立体几何(解答+答案)

1、 # 2020年高考立体几何(20全国I文19)(12分)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，ZAPC=90.证明：平面PAB丄平面PAC；设DO=2，圆锥的侧面积为3n，求三棱锥P-ABC的体积.（20全国I理18）（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD.ABC是6底面的内接正三角形，P为DO上一点，PODO.6 #证明：PA丄平面PBC；求二面角B-PC-E的余弦值.3.(20全国II文20)(12分)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BBGC是矩形，M,N分别为BC,B1C1的

2、中点，P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.证明：AA1/MN,且平面AAMN丄平面EBff；n设0为A1B1C1的中心，若AO=AB=6,AO/平面EBC/，且ZMPN=3，求四棱锥B-EBCF的体积. 4.（20全国II理20）（12分）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BBCC是矩形，M,N分别为BC,B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F./1|证明：AAMN,且平面AAMN丄EBgf；设0为A1B1C1的中心，若AO平面EBCF，且AO=AB，求直线B】E与平面AAMN所成角的正弦值.5.(20全国II

3、I文19)(12分)如图，在长方体ABCD-A1BC1D1中，点E，F分别在棱DDBBy上,且2DE=EDBF=2FB.证明：（1）当ABBC时，EF丄AC；(2)点C1在平面AEF内.6.（20全国III理19）（12分）DE如图，在长方体ABCD-ABCD中,1111点E,F分别在棱DD,BB上，且2DE=ED，111BF2FB.1证明：点C在平面AEF内；1若AB2，AD1，AA=3，求二面角A-EF-A的正弦值.11 #a7.(20新高考120)(12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD丄底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为I.证明：I丄平面PDC；已知PD=AD

4、=1,Q为止的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. &(20天津17)(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABCABC中，CC丄平面ABC,AC丄BC,AC，BC，2,1111CC，3，点D,E分别在棱AA和棱CC上,且AD，1,CE，2,M为棱AB的中11111占八、ft求证：CM丄BD；11求二面角BBED的正弦值；1求直线AB与平面DBE所成角的正弦值.19.(20浙江19)(本题满分15分)如图，在三棱台ABCDEF中，平面ACFD丄平面ABC,ZACB=ZACD=45,DC=2BC.证明：EF丄DB；求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.10.(20江苏15)(本小题满分14

5、分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，ABLAC,B1C丄平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.求证：EF平面AB；求证：平面ABC丄平面ABB. #11.(20江苏22)(本小题满分10分)在三棱锥ABCD中，已知CB=CD=5,BD=2,O为BD的中点，AO丄平面BCD,AO=2,E为AC的中点.求直线AB与DE所成角的余弦值；1若点F在BC上，满足BF=ABC,设二面角FDEC的大小为为求sin涉的值.412.(20北京16)(本小题13分)如图，在正方体ABCD-ABCD中，E为BB的中点.11111求证：BC/平面ADE；11求直线AA与平面ADE所成角的正弦值.11 参考答案：

6、解：(1)由题设可知，PA=PB=PC.由于AABC是正三角形，故可得厶PACPAB.PAC今APBC.又乙APC=90，故ZAPB=90,ZBPC=90.从而PB丄PA,PB丄PC,故PB丄平面PAC,所以平面PAB丄平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为1.由题设可得r1=3,12r2=2.解得r=1,1=3,从而AB=3.由（1）可得PA2,PB2=AB2,故PA=PB=PC=所以三棱锥P-ABC的体积为3X2XPAXPBXPC=1X2X（26）3=解：设DO=a，由题设可得PO=6a,AO=3a,AB=a,PAPBPC2a.2因此PA2+PB2AB2,从而PA丄PB.又PA2

7、+PC2AC2,故PA丄PC.所以PA丄平面PBC.(2)以O为坐标原点，OE的方向为y轴正方向，丨OEI为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.31由题设可得E(0,1,0),A(0,-1,0),C(-,0),P(0,0,22)-3所以EC(-2212-0),EP(0,-1,2.22设m(x，y,z)是平面PCE的法向量，则mEP0mEC0即2z02，10 x-y023可取m(-3丄2)-2由(1)知AP(0,1,)是平面PCB的一个法向量，记nAP,nm25则cosn,mnIIml5 所以二面角B-PC-E的余弦值为解：(1)因为M,N分别为BC,B1C1的中点，所以MNCq.又

8、由已知得AAJCJ故AAJMN.因为A1B1C1是正三角形，所以B1C1丄A”.又B1C1丄MN,故B丄平面AMN.所以平面A/MN丄平面EB1C1F.(2)AO平面EBCF，AOu平面人/MN，平面人/MN,平面EBCF=PN,故AO/PN,又AP/ON，故四边形APN0是平行四边形，才121所以PN=A0=6,AP=0N=3AM=3，PM=3AM=23,EF=3BC=2.因为BC平面EBjCjF,所以四棱锥B-EB1C1F的顶点B到底面EBC/的距离等于点M到底面EB1C1F的距离.作MT丄PN,垂足为几则由(1)知，MT丄平面EB1C1F,故MT=PMsinZMPN=3.11底面EBCF

9、的面积为cx(BCEF)XPNc(62)x624.1sin(一n,BE)=cosn,BE2112所以四棱锥B-EBCF的体积为3x24X324.解：(1)因为M,N分别为BC,B1C1的中点，所以MN/CC.又由已知得AA/CC】，故AA】/MN.因为A1B1C1是正三角形，所以B1C1丄A”.又B1C1丄MN,故B1C1丄平面A】AMN.所以平面AAMN丄平面EBF.(2)由己知得AM丄BC.以M为坐标原点，MA的方向为x轴正方向，MB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz,贝yAB=2,AM=3.TOC o 1-5 h z3231连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM3,

10、E(3,0).由(1)知平面33A1AMN丄平面ABC,作NQ丄AM,垂足为Q,则NQ丄平面ABC.设Q(a,0,0),则NQ=4-(23a)2,B(a,1,4-(23a)2),313故BiE=(233-a，-2,-4-(233-a)2)呼|2310n,BEiIni，IBEIi10io所以直线BE与平面AAMN所成角的正弦值为10io又n（0,-1，0）是平面A1AM的法向量，故n*ii解：（1）如图，连结BD,BD.因为AB=BC,所以四边形ABCD为正方形，故AC丄BD.11又因为BB丄平面ABCD，于是AC丄BB.所以AC丄平面BBDD.1111由于EF平面BBDD,所以EF丄AC.11

11、(2)如图，在棱AA上取点G，使得AG=2GA,连结GD,FC,FG,111122因为DEDD,AGAA,DDAA,所以EDAG,于是四边形EDGA为i3i3i111i平行四边形，故AEGD.1因为BF1BB,AG1AA,BBAA,所以FGAB,FGCD,四边形i3ii3i111111FGDC为平行四边形，故GDFC.1111于是AEFC1.所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内.6解：设ABaADb,AAc,1如图，以C1为坐标原点，C1D1的方向为x轴正方向, # # # # # #建立空间直角坐标系C-xyz1(1)连结CF,则C(0,0,0),11c),F(0,b,：c)

12、,EA(0,b，3c), # # # # # #CF(0,b,1c),得EACF.131因此EACF,即A,E,F,C四点共面，所以点C在平面AEF内.(2)由已知得A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A(2,1,0),AE=(O,-l,-l), # # # # #AF(-2,0,-2),AE(0,-1,2),AF=(2,0,1).11设n(x,y,z)为平面AEF的法向量，则nAE0,1即nAF0,11yz0,-2x-2z0可取n1(-1,-)设n为平面aff的法向量，贝yTOC o 1-5 h zrnAE0,121同理可取n(2,1).nAF0,22J21因为cosn,n

13、12所以二面角A-EF-A的正弦值为i4277.解：(1)因为PD丄底面ABCD,所以PD丄AD.又底面ABCD为正方形，所以AD丄DC,因此AD丄底面PDC.因为ADBC,AD匸平面PBC，所以AD平面PBC.由已知得lAD.因此l丄平面PDC.(2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. # # # # # #贝yD(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1)，DC=(0,1,0)，PB=(1,1,-1).由(1)可设Q(a,0,1)，则DQ=(a,0,l).nDQ=0,faxz=0设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量，

14、则n妙c=0,即|y=0.可取n=(-1,0,a).所以cosn,PB,=nPBInIIPBI-1-a31a2设PB与平面QCD所成角为e，则冒=33普二2=3312aa21 # # # # # #因为331a?：16，当且仅当a=1时等号成立所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为8依题意，以C为原点，分别以CA,CB,CC的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空1间直角坐标系(如图)，可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)，1 #113 A(2,0,3),B(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).1111 #113 #CM

15、，BD22+00,所以CM丄BD.1111(II)解：依题意，CA(2,0,0)是平面BBE的个法向AEB1(0,2,1),.设,y,z)为平面DBE的法向量，贝yv1n-EB0,1即n，ED=0, #113 #zr，于是sinCA,n6306所以,面角B-芒E-D的正弦值为3062y*Z0不妨设x1，可得n=(1,1,2).因此有COSCA,n=CAnICAIInI #113 #(III)解：依题意，AB(2,2,0).由(II)知n=(1,1,2)为平面DBE的一个法1向量,于是cosAB,nAB，nIABIInI #113 # 113 #所以，直线AB与平面DBE所成角的正弦值为(I)如

16、图，过点D作DO丄AC，交直线AC于点O，连结0B.由ACD=45，,DO丄AC得CD=2CO，由平面ACFD丄平面ABC得DO丄平面ABC,所以DO丄BC.12由ACB=45，,BC=1CD=CO得BO丄BC.22所以BC丄平面BDO,故BC丄DB.由三棱台ABC-DEF得BCEF，所以EF丄DB.(II)方法一：过点O作OH丄BD，交直线BD于点H，连结CH.由三棱台ABC-DEF得DFCO,所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.由BC丄平面BDO得OH丄BC，故OH丄平面BCD,所以OCH为直线CO与平面DBC所成角.设CD=222由DO=OC=2,BO=BC=2

17、，得BD=6,OH=3，所以sinOCH=OH=因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为.3方法二：由三棱台ABC-DEF得DFCO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为.如图，以O为原点，分别以射线OC,OD为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.，OC3 #113 #A #113 # #113 #设CD22-由题意知各点坐标如下：O(0,0,0),B(1,1,O),C(0,2,0),D(0,0,2).因此OC(0,2,0),BC(1,1,0),CD(0,2,2).设平面BCD的法向量n(x,y,z). #113 # #113 #可取n(1丄1).n

18、-BC0,n-CD0,-x卑y02y+2z0 #113 # #113 #所以sinU=|cosOC,nH=IOC-nlIOCI-1nl #113 # 113 #因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为证明：因为E,F分别是AC,BC的中点，所以EF/AB.11又EF岸平面ABC,ABu平面ABC,11111所以EF平面ABC.11(2)因为BC丄平面ABC,ABu平面ABC,所以BCAB.i又AB丄AC,BCu平面ABC,ACu平面ABC,BCAC，C,所以AB平面ABC.1iiiii又因为ABu平面ABB，所以平面ABCX.平面ABB.|iii解：(1)连结0C,因为CB=CD,0为BD中点，所以CO丄BD.又A0丄平面BCD,所以A0丄OB,A0丄0C.以OBQCQA丿为基底，建立空间直角坐标系O-xyz.因为BD=2,cb，CD，呂,A0=2,所以B(1,0,0)fD(-1,0,0),C(0,2,0),A?0,0,2). #113 # 113 #因为E为AC的中点，所以E(0,1,1).则ab=(1,0,-2),de=(1,1,1),所以Icos1，-1AB-DE1，巫.IABI-1DEIxV315因