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文档简介
1、本节将以一维定态为例,求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量E,从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。已知粒子所处的势场为:2.5一维方势阱2.5.1一维无限深方势阱粒子在势阱内势能为零。在阱外势能为无穷大,在阱壁上受极大的斥力, 称为一维无限深方势阱。xx = -ax = aU0(x)01其定态薛定谔方程为:2.5一维方势阱令:当 时,根据波函数的连续性和有限性条件得:22.5一维方势阱则薛定谔方程可简写为:它的解是:利用边界条件 及 ,得32.5一维方势阱解是:带入(2.5.1)得体系的能级:xOaE42.5一维方势阱显然,一维无限深方势阱的能谱是分立谱,这个分离的能谱就
2、是量子化了的能级。52.5一维方势阱由图可以看出,在不同能级上粒子出现的概率密度是不同的。在基态,粒子出现的概率在阱区中部为最大,而越靠近阱壁概率越小,阱壁上概率为零。在激发态,粒子在阱内出现的概率是起伏变化的,随着量子数 的增大,起伏变化越来频繁。而在经典物理中,粒子在阱内各处出现的概率是相等的。由图可以推断,只有当量子数 很大时,粒子在阱内各处的概率才趋于均匀。6 粒子的最低能量状态称为基态,就是 的状态,基态能量为此本征值能量称为零点能,是束缚在无限深方势阱内粒子所具有的最低能量。2.5一维方势阱7归一化以后的波函数为:2.5一维方势阱我们把粒子只能束缚在空间的有限区域,在无穷远处波函数
3、为零的状态称为束缚态82.5一维方势阱2.5.2一维有限深方势阱求解势场 为的薛定谔方程。讨论 的情况:在 区,相应的薛定谔方程是:00-a/2a/2x92.5一维方势阱在 时, 有界的解是:在 区,薛定谔方程是:102.5一维方势阱其解为一、在 区,取 ,解取有偶宇称的情况利用 处波函数对数微商的连续条件都可得引入112.5一维方势阱可将(2.5.3)是改写为另外,又(2.5.1)和(2.5.2)有可得联立(2.5.5)-(2.5.6)式,解出 ,再由(2.5.4)可给出能谱。122.5一维方势阱二、在 区,取 ,解取有奇宇称的情况 同样,利用波函数对数微商在 连续条件得:同样,联立(2.5
4、.6)-(2.5.7)式,解出 ,再由(2.5.4)可给出能谱。(2.5.5)-(2.5.7)都是超越方程,可用图解法求出能谱。132.5一维方势阱在 平面中分别就(2.5.5)与(2.5.6)式作相应的曲线,曲线的交点表示具有偶宇称是相应的能谱。如右图。由以上图可见,对于偶宇称态,由于曲线 经过原点,因此无论 多么小,两条曲线总有交点,这意味着至少有一个束缚态,且相应的宇称为偶。142.5一维方势阱同样,作(2.5.6)和(2.5.7)式相应曲线,他们的交点表示波函数其宇称时相应的能谱。所得结果见右图。由以上图可见,对于奇宇称态,当且仅当 时,即当 时,曲线才有交点,才出现奇宇称态解。152
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