自动控制原理第三章

1、自 动 控 制 原 理制作人：蔡建羡第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法引言一阶系统时域分析二阶系统时域分析线性系统的稳定性分析线性系统的稳态误差计算自动控制系统好？差?系统分析典型的输入信号时域性能指标动态性能指标稳态性能指标稳定性时域分析复域分析频域分析单位脉冲阶跃斜坡正余弦 3-1 引 言时域分析定义：指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。时域分析作用：时域法是最基本的分析方法，是学习复域法、频域法的基础 时域分析特点： (1) 直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确； (2) 可以提供系统时间响应的全部信息； (3) 基于

2、求解系统输出的解析解，比较烦琐。时域法典型控制过程 1. 典型外作用 (t 0) （1）单位脉冲信号 (t) （2）单位阶跃信号 1(t) （3）单位斜坡（速度）信号 t （4）单位加速度信号 ()t2 四者之间互为导数关系用以测试系统的抗干扰能力跟踪恒值信号的能力跟踪随动信号的能力时域法典型控制过程 2. 典型时域响应 （1）单位脉冲响应 （2）单位阶跃响应 （3）单位斜坡（速度）响应 （4）单位加速度响应 四者之间互为导数关系单位脉冲函数响应单位阶跃函数响应单位斜坡函数响应单位抛物线函数响应积分积分积分微分微分微分 单位正弦信号时域法典型控制过程 3. 动态过程与稳态过程 （1）动态过程（

3、过渡过程、瞬态过程）： 系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程；用动态性能指标描述。（2）稳态过程： 系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现方式；用稳态性能指标描述。 3-2 控制系统的性能指标(Performance Index)性能指标：是在分析一个控制系统的时候，评价 统性能好坏标准的定量指标。性能指标暂（动）态性能指标稳态性能指标稳：( 基本要求 ) 系统受扰动影响后能回到原来的平衡位置准: ( 稳态要求 ）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差) 要小0快: ( 动态要求 ) 阶跃响应的过渡过程要平稳，迅速二阶系统的单位阶跃响应0t

4、超调量允许误差 trtptsh(t)0.02或0.05)( h动态性能指标 上升时间t r （Rising Time ）: 定义为由零开始，首次达到稳态值所需的时间。tr0th(t)( h动态性能指标 峰值时间t p （Peak Time）： 响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。tp0th(t)( htr动态性能指标 超调量 （Maximum Overshoot） ：指响应的最大偏离量h ( tp )与终值之差的百分比，即 超调量tp0th(t)( htr动态性能指标 调节时间 t s（Settling Time） ： 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。误差范围：用稳

5、态值的百分数（取 5%或 2%）tptr0t超调量允许误差 h(t)0.02或0.05)( hts动态性能指标 振荡次数N 在调整时间内，完成的全振荡的次数。 稳态性能指标 稳态误差ess ： 期望值与实际值之差。暂态性能指标上升时间 tr峰值时间tp超调量 调节时间 ts稳态性能指标稳态误差ess或评价系统的响应速度；（快） 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标，从整体上反映系统的快速性。（快）评价系统的阻尼程度。（稳）稳定性能指标和抗干扰能力。越小，系统精度越高。（准）ess3.3 典型一阶系统时域分析 一、典型一阶系统的数学模型R ( s ) C ( s )-极点二. 一阶系统的阶跃响

6、应及性能指标输入信号 阶跃响应性能指标性能指标 2. 稳态误差ess 系统的实际输出h(t)在时间t趋于无穷大时，接近于输入值，即超调量 一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，故系统无振荡、无超调， =0。 1. 调整（过渡过程）时间： 5% 2%例1 一阶系统如图所示，K=1，计算调节时 ts 。如果要实现ts1秒，确定前置放大器增益K 。解：ts1秒K=4例2 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原来 的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数Ko和KH 的取值。 3. 一阶系统的脉冲响应R (s)=1对于脉冲扰动信号，具有自动调节能力可以有差跟踪斜坡信号，减小T 可减小

7、差值，但是不能消除跟踪误差。 4. 一阶系统的斜坡响应例3 已知单位反馈系统的单位阶跃响应 试求 F(s) , k(t) , G(s) 解作业 3-2 (1) 3-3 (1)3-4 二阶系统时域分析 一. 二阶系统的数学模型-闭环传递函数为:其中： 系统的阻尼比 n 系统的无阻尼自然振荡角频率 系统振荡周期二阶系统的单位阶跃响应 系统的特征方程为 特征根为，欠阻尼系统， 闭环极点为共扼复根，位于左半S平面。，临界阻尼，两个相等的负实根，无阻尼，虚轴上一对纯虚根, 过阻尼，两个不相等的负实根, 负阻尼，两个正实部的特征根，系统发散总结：二阶系统传递函数标准形式及分类二阶系统的阶跃响应 1. 过阻

8、尼运动 1令： 1. 过阻尼运动 12. 临界阻尼运动 =12. 临界阻尼运动 =13. 欠阻尼运动 01阻尼角有阻尼振荡角频率时间响应输出4. 无阻尼运动 =0时间响应二阶系统单位阶跃响应小结讨论 只要系统特征根有虚部，则响应一定有振荡。2. 如果特征根的实部为正，则响应一定发散；反之，响应收敛。3. 随着阻尼比的逐渐减小，系统的阶跃响应的速度逐渐加快，但振荡加剧。所以系统的平稳性主要有阻尼比决定。据实部的正负判发散或收敛；据有无虚部判振荡或单调。上升时间 tr三、二阶系统单位阶跃响应性能指标计算峰值时间 tp 超调量超调量只与阻尼比有关，且与阻尼比成 比。反调节时间 ts包络线性能指标的讨

9、论 由超调量确定阻尼比，再由其它条件确定无阻泥振荡角频率。例1：已知 T=0.25, K =16。试求(1) (2)若 要求解: (1)(2)0t(s)11.30.1h(t)例2：已知单位反馈系统的阶跃响应曲线如图所示，试确定系统的开环传递函数。解：例3：如图(a)为系统框图，图(b)为单位阶跃响应，确定k1 , k2和a的值。 -)(SR)(2aSSk+)(SYk1四、二阶系统的其它响应单位脉冲响应当 0 1系统具有良好的复位特性单位斜坡响应系统以有差方式跟踪等速率信号五. 二阶系统的性能改善目的：改善系统的性能指标手段1：调整系统参数举例：结论调整系统参数可以在一定程度上改善系统性能，但程

10、度有限手段2：加入控制环节前馈控制速度反馈增加阻尼 测速反馈控制比例+微分控制提前控制举例：动态性能改变很多误差信号的比例微分控制（PD控制）开环传函闭环传函改善系统性能的机理分析误差信号的比例微分控制（PD控制）附加项增大阻尼比，减小超调量，改善了平稳性闭环特征方程误差信号的比例微分控制（PD控制）零点误差信号的比例微分控制（PD控制）增加系统零点，使系统响应加速输出量的反馈控制闭环传函等效阻尼比附加项加入速度反馈增大了原系统阻尼比，但是无附加零点影响。增加阻尼 测速反馈控制比例+微分控制提前控制附加开环零点对系统性能的影响改变：闭环传函分母(特征方程、特征根)阶跃响应性能附加闭环零点对系统

11、性能的影响改变：部分分式系数模态的加权值阶跃响应性能0 x 1（欠阻尼，零阻尼）时系统 动态性能指标的计算（2）单位阶跃响应h(t) 表达示（1） 0 x 1时系统极点的两种表示方法（3）动态指标计算公式（4）“最佳阻尼比”概念定性分析高阶系统的时间响应掌握主导极点的概念及作用3-5 高阶系统时域分析1.高阶系统时间响应的分量结构 系统闭环特征方程为时间响应 系统的单位阶跃响应稳态项指数衰减项指数衰减正弦项结论(性能分析)：1、高阶系统的时间响应，由一阶惯性子系统和二阶振荡子系统的时间响应函数项组成；2、如果高阶系统所有闭环极点都具有负实部，随着t的增长，上式的第二项和第三项都趋于0，系统的稳

12、态输出为a。按照一阶和二阶暂态响应指数的衰减系数的正负值，将暂态响应的运动形式分为5个模态： pj0 一阶发散模态二阶收敛模态二阶等幅振荡模态二阶发散模态运动的模态一阶模态零极点分布图：传递函数：-pj0运动模态1零极点分布图：传递函数：运动模态2pj0零极点分布图：传递函数：运动模态3-ajb0零极点分布图：传递函数：运动模态4jb0零极点分布图：传递函数：运动模态5ajb0运动模态总结 j0j0j0j0j0结论3：响应曲线的类型由闭环极点决定 如果有一个闭环极点位于s右半平面，则由它决定的模态是发散的，在其他模态(位于s左半平面的极点决定)随t的推移最终趋于其对应的稳定值的时候，它的作用就

13、会显现出来，导致整个系统对外显示是发散的。结论4：响应曲线的形状和闭环极点和零点有关。 对于稳定的系统，闭环极点负实部的绝对值越大(极点距虚轴愈远)，则其对应的响应分量(模态)衰减的越迅速，否则，衰减的越慢。(和极点有关) 在留数的计算过程中，要用到C(s),而C(s)中包含有闭环的零点，因此不可避免地要影响到留数的值，而留数的数值实际上就是指数项的系数。(和零点有关)主导极点 高阶系统中，对时间响应起到主导作用的闭环极点称为主导极点，它必须满足：(1) 在s平面上，距离虚轴比较近，且附近没有其它的零点与极点；(2) 其实部的长度与其它的极点实部长度相差五倍以上； 系统的性能主要由该主导极点决

14、定，可将系统近似为一阶或二阶系统a.零极点相互靠近，对h(t)影响越小；b.零极点很靠近，对c(t)几乎没影响；c.零极点重合偶极子，对c(t)无任何影响；进一步理解偶极子： 将一对靠得很近的闭环零、极点称为偶极子。 因此，工程上通常把高阶系统采用主导极点和偶极子的概念适当地近似成低阶系统（如二阶或三阶）进行分析。原因：1、高阶系统的计算比较困难；2、在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。3-6 线性控制系统的稳定性一、稳定的基本概念： 稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。定义：设系统处于

15、某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。否则为不稳定的系统。 二. 系统稳定的充要条件 稳态解暂态解 系统稳定的充分必要条件是： 系统的所有特征根(闭环极点) 均具有负实部； 或 系统的特征根均在S平面的左半平面。 或 微分方程的暂态解趋于0。稳定区不稳定区临界稳定S平面系统稳定性的讨论2) 系统稳定性是系统的固有特性，与输入信号无关1) 如果特征方程中根在虚轴上，称为临界稳定状态。 从控制工程的角度认为临界稳定状态不稳定。问题：高阶系统如何判断稳定性？三、Routh（劳斯）判据优点

16、：不必求解闭环特征方程的根.思路：根据特征方程的各项系数来确定 特征根实部的正负。1、Routh表设n阶系统的特征方程为 劳斯表计算数据原始数据注：劳斯表的前两行由特征方程的系数组成2. 列写Routh表五阶Routh表的列写方法举例则Routh表为劳斯判据内容（Routh) (1) 劳斯表中，若第一列元素全部大于零，系统是稳定的(充要条件)；否则系统是不稳定的。 (2) 如果劳斯表中第一列元素的符号有变化，其改变的次数就是特征方程中正实部根的个数。系统稳定的必要条件例1不稳定不稳定可能稳定系统稳定的必要条件系数为正数不缺项 首先检查系统特征方程的系数是否都大于零，若有任何系数是负数或等于零，

17、则系统是不稳定的。如果满足稳定的必要条件时，再使用劳斯判据判别系统是否稳定。分析稳定性，首先分析必要条件3. 利用劳斯表判别系统的稳定性(三种情况)（1）劳斯表第一列所有系数均不为零s4s3s2 s1 s0解. 列劳斯表 1 7 10 5 2劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。 1010 例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0 Routh表特性：S1和S0：有一列可能不为零。 S3和S2 ：有两列可能不为零。Routh表形状为阶梯状。 且梯子拐角处值相同。注：用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论s4s3s2 s1 s0 1 7 10 5 21010

18、2例3：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。 解 列劳斯表劳斯表第一列的系数符号全为正，故系统稳定。 本例中，为简化运算，可把劳斯表的某一行同乘以以一个正数后，再继续运算。 1 14 10 6 17 2 67 58 (同乘以6，实质是不除6) 791 134 （同乘以67，不除67） 36900 （同乘以791，不除791） 134例4：已知系统的特征方程，试用劳斯判据判断系统的稳定性。 s4+2s3+s2+s+1=0解 列劳斯表如下 S4 1 1 1 S3 2 1 0 S2 (2*1-1*1)/2=1/2 (2*11*0)/2=1 S1 (1*1-2*2)/1=-3 S0

19、(-3*2-1*0)/-3=2 由于劳斯表第一列的系数变号两次，一次由1/2变为3 ，另一次由3变为2，特征方程有两个根在S平面右半部分，系统是不稳定的。例5：已知系统的闭环特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：系统临界稳定(2) 某行第一列元素为0，而该行元素不全为0时处理方法：用一个很小的正数代替第一列的零项，然后按照通常方法计算劳斯表中的其余项。注：如果第一列中的元素除了出现的零值外，其余全部大于零，则说明系统是不稳定的。s3s2 s1 s0解. 列劳斯表 1 -3 e 2劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。 0 例6：D(s)=s3-3s+2=0 判定在右半s平面

20、的极点数。 例7：已知系统特征方程，判断系统的稳定性。s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳 斯 表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=22710(6-14)/1= -8-82+87-8(2+8) -77 劳斯表第一列的系数变号两次，特征方程有两个根在S平面右半部分，系统不稳定。2处理方法：出现零行时，可用零行的前一行作辅助多项式P(s)由 的系数行代替零行， 完成劳斯表的计算 例如 ， ， 等等。显然，系统是不稳定的。劳斯表何时会出现零行? 特征方程中出现一些绝对值相同但符号相异的特征根：两个大小相等但符号相反的实根或一对纯虚根，或两对

21、共轭复根。(以原点为对称的特征根)注：劳斯表出现零行系统一定不稳定(3)劳斯表某行所有系数均为零解. 列劳斯表1 12 353 20 25s5s4s3s2s1s05 25 0 0 1025 0列辅助方程： 例8 D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25=01680系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。解. 列劳斯表1 0 -12 0 -2s5s4s3s2s1s00 -2 16 /e8-2 0列辅助方程： 例5 D(s)=s5+ 2s4-s-2=0e第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j)(s-j)1、确定系统是否满足稳定的必

22、要条件。当特征方程的系数不满足ai0(i=0,1,2,n)时，系统是不稳定的。2、当特征方程的系数满足ai0 (i=0,1,2,n)时，计算劳斯表。当劳斯表的第一列系数都大于零时，系统是稳定的。如果第一列出现小于零的系数，则系统是不稳定的。3、若计算劳斯表时出现情况(2)和(3)，此时为确定系数极点的分布情况，可按情况(2)和(3)的方法处理。判断系统稳定性的步骤： 运用劳斯判据，不仅可以判定系统是否稳定，还可以用来分析系统参数的变化对稳定性产生的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。 例 7 已知系统的结构图如图所示。当时, 试确定K为何值时，系统稳定。R(s)-E(s)1+C(s)解 图示系

23、统的开环传递函数为四、劳斯判据的应用2特征方程为 其闭环传递函数为由特征方程列劳斯表s3 1 7500s2 34.6 7500Ks1s0 7500K将代入特征方程得要使系统稳定，必须满足解不等式得 K 0， K 34.6因此，要使系统稳定，参数K的取值范围是 0 K 34.6例7 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(Ka,x) 的范围; (2)当x=2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。解.(1)(2)当 x=2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的Ka值范围。当 x=2 时，进行平移变换：本节小结 1 稳定性的概念 2 稳定的充要条件 3 稳定判据（1）判定稳定的必要

24、条件 （2）劳斯判据（3）劳斯判据特殊情况的处理（4）劳斯判据的应用（判定稳定性，使系统稳定的参数范围） 系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部或所有闭环特征根均位于左半s平面 作 业：3-113-12(1) (3)3-133-14 稳定性、动态性能和稳态性能是我们分析系统、评价系统和改善系统时所用的三类重要衡量标准。控制系统的性能 动态性能 稳态性能 稳态误差 3.7 系统的稳态误差稳态误差是系统的稳态性能指标，是对系统控制精度或扰动能力的度量。对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算稳态误差以系统稳定为前提。 1 稳态误差的分类原理性稳态误差和结构性稳态误差原理性稳态误差：控制系统由于系

25、统结构、输入的作用类型和形式所产生的稳态误差。结构性稳态误差：控制系统由于非线性因素所引起的系统稳态误差，称为结构性稳态误差(附加稳态误差)。给定信号或扰动信号三种典型外作用元件的不灵敏、零点漂移、老化及机械间隙、摩擦一 误差和稳态误差本讲只讨论系统的原理性误差，不考虑由于非线性因素引起的误差。 给定稳态误差(由给定输入引起的稳态误差)和 扰动稳态误差(由扰动输入引起的稳态误差)系统的性质不同两种误差在稳态性能分析的地位不同 随动系统要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。 恒值系统需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统

26、的稳态性能。1 稳态误差的分类2 误差的两种定义 输入端定义：输入信号与反馈信号之差为作用误差。输出量的理想值： 输出端定义：理想输出值与实际输 出值的差值为系统误差两种误差之间的关系 两种误差的比较 从输入端定义的误差在实际的物理系统中可以测量，便于实施控制，具有一定的物理意义； 从输出端定义的误差在实际的物理系统中有时无法测量(主要指理想输出)，因此只具有数学意义。3 误差传函系统误差传函4 稳态误差essr动态误差静态误差由终值定理：5. 稳态误差的计算方法1：终值定理例1 r(t)=t 求essr (t)解：由终值定理，得注：如果系统承受的输入信号是多种典型信号的组合则由叠加原理求总稳

27、态误差例 2 系统结构图如图所示，求 r(t)=A1(t)+ At+ At2/2时系统的稳态误差。解由叠加原理，当r(t)作用时，系统的稳态误差为：当：5. 稳态误差的计算方法2：用“型”及开环增益（静态误差系数法）二 系统的型(开环传函中串联积分环节的数目)注意：尾1形式2型系统II=n1型系统I=n00 型系统=n:为前向通路含有的积分环节n系统的开环增益。:K开essr 系统自身的结构参数(K,v）影响 ess 的因素： 外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等） 外作用的类型（控制量，扰动量及作用点）三 典型输入信号作用下系统的稳态误差essr 和稳态误差系数(Kp、Kv、Ka)位置误差系数

28、1、单位阶跃输入作用下的稳态误差将R(s)=1/s代入essr0型系统：1、0型系统对阶跃输入的稳态误差为一定值 ，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大，essr越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。结 论2、具有单位负反馈的1型系统可以准确跟踪阶跃输入信号，稳态误差为0。要准确跟踪阶跃输入信号，必须采用1型及以上系统。速度误差系数2、单位速度输入作用下的稳态误差将R(s)=1/s2代入ess0型系统：1型系统：1型以上系统：结 论3、具有单位负反馈的2型或2型以上的系统可以准确跟踪斜坡输入信号稳态误差为0。2、具有单位负反馈的1型系统可以跟随斜坡输 入，但有一定的误差(稳态速度

29、误差) 。1、0型系统在稳态时，不能跟踪斜坡输入信号， 最后误差为。要准确跟踪速度输入信号，必须采用2型及以上系统。加速度误差系数3、单位加速度输入作用下的稳态误差将R(s)=1/s3代入ess0型系统：1型系统：2型以上系统：2型系统：结 论3、具有单位负反馈的3型或3型以上的系统可以准确跟踪 加速度输入信号，稳态误差为0。2、具有单位负反馈的2型系统可以跟随加速度输入信号， 但有一定的误差(稳态加速度误差) 。要准确跟踪加速度输入信号，必须采用3型及以上系统。1、0型和1型系统在稳态时，不能跟踪加速度输入信号， 最后误差为。系统型别、静态误差系数与输入信号之间的关系型 别 静态误差系数 阶

30、跃输入 )(1)(tRtr=斜坡输入 Rttr=)( 加速度输入 2)(2Rttr= n pK vK aK 1PssKRe+=VssKRe= assKRe= 0 K 0 0 )1(KR+ K 0 0 KR K 0 0 KR 00 0减小或消除误差的措施： 增加开环增益 K （但不能最终消除误差）、 提高系统的型别 （ 愈高，跟踪能力愈强） 。注2：如果系统承受的输入信号是多种典型信号的组合由叠加原理知稳态误差注1：该计算误差方法适用条件 1）系统稳定 2）按输入端定义误差 3）r(t)作用,且r(t)无其他前馈通道例3 已知单位反馈系统的开环传递函数，求输入为 r(t)=2+2t+t2 时，系统的稳态误差。解：(1) 列劳斯表判断系统的稳定性系统特征式为：由劳斯表知系统稳定。开环增益K=0.1注意要化成尾1形式系统型别=2当 时，当 时，当 时，当 时，(2)求稳态误差 例4 已知单位反馈系统的开环传递函数，求位置误差系数 Kp、速度误差系数Kv、加速度误差系数Ka。解：开环增益系统型别=1所以： Kp=，Ka=0例 5 系统结构图如图所示，已知输入 , 求系统的稳