冬第三周作业根轨迹-参考答案

1、Chapter 6Root Locus Problems冬学期第三周作业1（化工版 A-4-25） 试绘如图 4-51 所示的时滞系统的根轨迹， 并求出系统稳定的 K 的范围。假设时滞时间 =1s.（提示：采用 Pode 多项式近似纯滞后）解：根据 Pode 多项式近似 s 2 =1s. e ss 2G(s) K (s 2) (s 1)(s 2)（1） Ge (s) 中开环极点： S1 1S2 2 ；开环零点为： S3 2（2）根轨迹关于实轴对称，实轴上的根轨迹区间为(2, 1) (2, )（3）：渐进线于实轴交点： p1 p2 p3 52 1渐近线倾角为： 360 l 180 180l 90

2、即有：22701902 1s 1 18011（4）：出射角： 0s 222（5）：与虚轴的交点有其特征方程：把j0带入 s (3 K)s 2 K 02 02+2K-2： 2 2；K=3O有实部虚部分别相等(3 K ) 0OO（6）可能的分离点：b(s) da(s) a(s) db(s) 0dsds已知： a(s) s2 3s 2 ， b(s) s-2代入解得： s1,2 2 2 3经相位条件检验可知： s1,2 满足条件。所以分离点为： s1,2 2 23综上所述，根轨迹草图为：系统稳定0 K 3P168，4-16）设反馈控制系统的开环传递函数为： G(s) K (1 s) ，试绘2（s(s

3、2)制其根轨迹图，并求出使系统产生重实根和纯虚根的 K 值。K (1 s) K (s 1)G(s) , (K 0)解：1) 当s(s 2)s(s 2)开环零点：z1=1，开环极点 p1=0，p2=-2因为开环传递函数分子的最高次幂的系数为负，所以其根轨迹图为零度根轨迹。（1）（2）（3）实轴上的根轨迹：-2 0，1 渐近线夹角：0根轨迹的分离点 d： 1 11d 1 3d 2.732 d 0.73212d 1dd 2分离角： 2根轨迹与虚轴的交点：闭环系统特征方程：s 2 (2 K )s K 0 ，将 s j 代入闭环系统的特征方程，得：（4） 0 2K 2(2 K ) 0K 0K 2所以系统

4、产生纯虚根的 K 为：K*=2系统产生重实根的 K 为： K1 0.536 K 2 7.464d 2d 2 2d1 1d1d1 2d1 1K0 时：Root Locus10-1-20246K (1 s) K (s 1)G(s) , (K 0)s(s 2)s(s 2)开环零点：z1=1，开环极点 p1=0，p2=-2因为开环传递函数分子的最高次幂的系数为正，所以其根轨迹图为负反馈根轨迹（1） 实轴上的根轨迹：0，1，2，容易得到根轨迹如图示。显然，当 K0 时，系统始终不稳定。K0-1-23（P.680. 7.7）A unity-feedback control system has the t

5、ransfer functionKG(s) (s 1)(s 7)(s 2 8s 25)(a) Sketch the root locus foritive and negative value of K. (b) For what value of K does thesysteme unstable? (c) Determine the value of K for which all the roots is equal. (d)Determine the value of K from the root locust makes the closed-loop systemrfect o

6、scillator (Let =0.707).Solution: For K0(a)(1)Open-loop poles: n=4, p1= -1, p2= -7, p3= -4 +3j, p4= -4 -3j, Open-loop zeros: w=0Four branches.Real axis root locus: -1, -7(2) (2h 1) , 344Asymptotes of root locus:(3)44Re( pi ) i1 44 0Imag Axis2）当 K0 时:(4)Breakaway poon the real axis:1111 0 d 4 (4th ord

7、oles)d 1d 7d 4 3 jd 4 3 jdKds 0 4s 3 48s 2 192s 256 0 d 4orDeparture angle: 3 180 135 45 90 90(5) 4 90Imaginary-axis crossing po:(6)1 G(s)H (s) (s 1)(s 7)(s 2 8s 25) K s 4 Rouths array:s 4s3s 2K1 8080 256 16(175 K )s80175 Ks 0175 K 80 16 K 1105From the row of s, it is gottenSo, when K=1105, the root

8、 locus have imaginary-axis crossing poobtained from the s-2 row is. The auxiliary equation80s 2 175 K 0 s 2 16 , and the roots are j4s1,2ImK1=1105-10-7Re-4For K0)-4jK1=1105 (2) Asymptotes of root locus: 0,42(3) Departure angle: 3 360 135 45 90 90=cos-1 4 90Imaginary-axis crossing po:From the root lo

9、cus when w=0, root locus has an imaginary-axis crossing po.Where K 2 The root locus is sketched as Fig.4jImK2=-175K2= -K2=0-10-7Re-4-4j(b) When K1105, the systemes unstable.(c) From the root locus (K0), only d= -4 is a 4th order roots, where the value of K can be found by magnitude condition.K1 3 3 3 3 81(d) From the root locus, when =0.707, =cos-1=45.According to magnitu