14.四边形阶段综合教师版初二自招进度三

1、第 14 讲四边形阶段综合（1）【例题与应用】一、填空：【例题1】如图，矩形 ABCD 中， AE BD ，EAC （ 45 ） BAE EAD 1 3 ，则 【例题2】如图，菱形 ABCD 中， AC 16cm ， BC 10cm ， DE BC ，则 DE （96cm）ADBC【例题3】如图，正方形 ABCD 中，CEDE12，AB 的长度为 1，MNBE 于 F，则 MN10 ）的长度为（3【例题4】如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在边 DC 上，且 DM2，N 是 AC 上的一个动点，则 DNMN 的最小值为（10）ADAD 2MM6CBBC8二、解答：【例题5】如图，正方形

2、 ABCD 的对角线 BD 上有一点 F，边求 AE 的值AB 上有一点 E，使得 CFFE，DF解：过 F 作 FH CD ，交 AB 于 H易证四边形 BCGH, ADGH 是矩形GC G B H,D G1 2 405 D G F G，同理C G FH 易证3 4CGF FHEDAH CHF G HE BAEH- 1 -1423NNOE设 DG 1则GF HE AH 1 AE AE 2， DF 12 12 2，2DF【例题6】如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，DAE 的平分线 AF 交 DC 于 F证：AEFDEB求AD证：延长CB 至G ，使 BG DF ，联结 AG易证

3、ADF ABG1 4,5 G5 BAF 2 3又 1 2ADF4FBEC 5 1 3 G G A E 43G A EGCBE AE G E G BE BF DEB 【例题7】如图，已知正方形ABCD 内一点P ，PA : PB : PC1: 2 : 3 ，且PBBE，PBBE .求的度数。【例题8】已知：如图，在ABCD 中，E、F 分别是 AD、AB 边上的点，且 BE=DF，BE 与DF 交于点 G EDAAE求证：GC 平分BGDDGM证：作CM DF 于M ，作CN BE 于 NGFS S 1 SFNBECCDFABCD2BC 1 DF CM 1 BE CNBC2BE D2CM CNG

4、C 平分BGD- 2 -1325【例题9】如图，在ABCD 中，BC2AB，M 是 AD 边的中点，CEAB 于点 E，联结 EM求证: DME3AEM MAD证：延长CD、EM 交于 F ，联结MC易证AME DMFE M M，F 1 FCE AB，AB / CDCE CFEBC MC MFBC 2AB2 FAD 2CD又 M 是 AD 中点 MD CD2 3DME 4 3 2 F 3 3AEMFMAD31E2BC【例题10】正方形 ABCD 中，点 P 与 B、C 的连线和 BC 的夹角为 15求证：PA=PD=AD证明：以 CB 为边向正方形外作正三角形 CBF，连接 PF因为PCB15

5、，BCD90，BCF60所以DCPFCP75同理PBF75因为 CDCB，CBCF所以 DPPF又因为 CPCP所以CDPCFP（SAS）所以 DPPF因为 CFBF，PCFPBF，PFPF所以CFPBFP所以CFPBFP30所以FPC75所以FCPFPC75所以 PFCF所以 DPCD同理 APBA因为 CDADBA所以 PDPAAD- 3 -【例题11】如图，在四边形 ABCD 中，ADC=90，ACBC，ACB45，E、F 分别是AC、AB 的中点，且DEA45，BGAC 于 G求证：四边形 AFGD 是菱形若 ACBC10cm， 求菱形的面积（1）证：联结CF易证1 2 22.50，C

6、F ABDA D C AFC AD AF，3 5易证： AF FG，3 44 5 A D F G，且 AD AF四边形 AFGD 是菱形（2）在BCG 中， BGC 900，ACB 450BC 10 ，则CG 5 2 AG （1 0 5 ）2联结 DF ，交 AG 于 H ，则 DF AG在 RtDHE 中， DEA 450, DE 5GACEBD DH 525 H3 4G122 , D F 52ACE52)25 2 152 ( 1 0S25 菱形A D G F 2FB【例题12】平行四边形 ABCD 的对边 AB、CD 的中点为 E、F，求证：DE、BF 三等分对角线 AC证明：易证四边形

7、BFDE 为平行四边形DEBFE、F 为 AB、CD 的中点AG=GHGH=CHDE、BF 三等分对角线 AC【例题13】如图，在菱形 ABCD 中， AB上，求 PE+PC 的最小值。4a ，E 在 BC 上， EC2a ， BAD120 ，P 在 BD- 4 -F【例题14】如图，E 是正方形 ABCD 的边 AD 上的动点，F是边 BC 延长线上的一点，且 BF=EF，AB=12，设 AE=x，BF=y（1）当BEF 是等边三角形时，求 BF 的长；EAD（2）求 y 与 x 之间的函数式，并写出它的定义域；（3）把ABE 沿着直线 BE 翻折，点 A 落在点 A处，试探索： ABF 能

8、否为等腰三角形？如果能，请求出 AE 的长；如果不能，请说明理由解:（1）当BEF 是等边三角形时，ABE=30AB=12，AE= 4 3FBCEADBF=BE= 8 3 （2）作 EGBF，垂足为点 G根据题意，得 EG=AB=12，FG=y-x，EF=y y 2 ( y x)2 122 FBAG ECDx 2 144所求的函数式为 y (0 x 12)2x（3）AEB=FBE=FEB，点 A 落在 EF 上 AE AE ， BAF = BAE =A=90要使 ABF 成为等腰三角形，必须使 AB AF 而 AB AB 12， AF EF AE BF AE ， y x 12BFCx 2 14

9、4 x 12 整理，得 x 24x 144 0 22x解得 x 12 12 2 经检验： x 12 12 2 都原方程的根，但 x 12 12 2 不符合题意，舍去当 AE=12 2 12时， ABF 为等腰三角形- 5 -A【例题15】如图，在直角梯形 ABCD 中， AB C D， BCD900 ， ABAD10cm ，BC8cm 点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABCD 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动已知动点P、Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，P、Q运动停止，设运动时间为t （1）求CD 的长；（2）当四边形PBQD 为

10、平行四边形时，求四边形PBQD 的周长；（3）在点P 、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得 BPQ 的面积为20cm2 ？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由解：（1）过点 A 作 AMCD 于 M，根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8， DM=6， CD=16；（2）当四边形 PBQD 为平行四边形时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 DC 上，如图，由题知：BP=103t，DQ=2t 103t=2t，解得 t=2此时，BP=DQ=4，CQ=12 四边形 PBQD 的周长=2（BP+BQ）=；（3）当点 P段 AB 上时，即时，如图- 6 -当点 P段 BC

11、 上时，即时，如图BP=3t10，CQ=162t化简得：3t234t+100=0， =440，所以方程无实数解当点 P段 CD 上时，若点 P 在 Q 的右侧，即 6t，则有 PQ=345t，6，舍去若点 P 在 Q 的左侧，即，则有 PQ=5t34，t=7.8综合得，满足条件的 t 存在，其值分别为，t2=7.8【课后作业】1.如图，在菱形ABCD 中，已知E、F 分别是BC、CD 上的点。若AEC 的度数。AFEFAB ，求证：设BAEx，易证FADx，则AEBEAC+ACE=（x60）由ABE 的内角和得：x20，则C100.- 7 -【教师备用】1.已知ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点，（点 D 与 B、C 不重合），以 AD为边作菱形 ADEF，使DAF 60 ，联结 CF，当点 D 在 BC 边上时，求证： BD CF ， AC CF CD，当点D 在BC 的延长线上且其它条件不变时，结论 AC CF CD 是否成立？如果不成立，请写出成立的关系（1）（2）（3）当点 D 在 CB 延长线上且其他条件不变时，补全图形，且写出 AC、CF、CD 之间的关系证明：四边形 ABCD 是菱形， AD AFABC 是等边三角形， AB AC BC,BAC 60 D