人教A版（2019）必修第二册8.6空间直线、平面的垂直 同步练习（Word版含解析）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页试卷第 =page 7 7页，共 =sectionpages 7 7页人教A版（2019）必修第二册 8.6 空间直线、平面的垂直一、单选题1PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系正确的是（）平面平面PAD；平面平面PBC；平面平面PCD；平面平面PACABCD2如图，已知半径为的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，是平面内的等腰直角三角形，其中，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，则三棱锥的体积为（）ABCD3已知点、在平面的两侧，且点、到的距离分别为3和5，则AB的中点到的距

2、离为（）A4B3C2D14中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cun）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30，若取，则下列结论正确的是（）A正四棱锥的底面边长为48mB正四棱锥的高为4mC正四棱锥的体积为D正四棱锥的侧面积为5在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（）A30B45C60D906直三棱柱中，则与面成角的正弦值为（）ABCD7已知直线和平面，下列说法错误的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则.8如图，在棱长为1的正

3、方体中，点，分别是棱，的中点，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中错误的是（）A不存在点，使得平面B三棱锥的体积为定值C平面截该正方体所得截面面积的最大值为D平面截该正方体所得截面可能是三角形或六边形9如图，在正方体中，点P在线段上运动，给出下列判断：（1）平面平面 （2）平面（3）异面直线与所成角的范围是 （4）三棱锥的体积不变其中正确的命题是（）A（1）（2）B（1）（2）（3）C（2）（4）D（1）（2）（4）10已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，n，mn，则D若m，n，则mn11如图1，已知PABC是直角梯形，A

4、BPC，ABBC，D在线段PC上，ADPC将PAD沿AD折起，使平面PAD平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2对于图2，下列选项错误的是（）A平面PAB平面PBCBBC平面PDCCPDACDPB2AN12已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列命题中正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则二、填空题13如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=x，AC与BD交于点O，将ACD沿直线AC翻折，形成三棱锥D-ABC，若在翻折过程中存在某个位置，使得OBAD，则x的取值范围是_.14在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是_.存在点，使

5、得平面平面；存在点，使得平面；的面积不可能等于；若，分别是在平面与平面的正投影影的面积，则存在点，使得15过所在平面外一点，作，垂足为，连接，则下列结论中正确的是_若，则点是的中点若，则点是的外心若，则点是的垂心若，则四面体外接球的表面积为16已知三棱锥中，是等边三角形，则三棱锥的外接球的表面积为_.17如图，在四棱锥中，底面为正方形，为正三角形，且，则该四棱锥的外接球的半径为_.三、解答题18如图所示，在长方体中，点E是的中点.（1）证明：平面；（2）证明：；（3）求二面角的正切值.19在如图所示的几何体中，底面四边形ABEF为等腰梯形，ABEF，侧面四边形ABCD是矩形，且平面ABCD平面

6、ABEF， （1）求证：AF平面BCE；（2）求三棱锥A-CEF的体积.20九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点E是PC的中点，连接.(1)证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；(2)记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值.21如图所示，在中，侧棱底面，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，是的中点.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求二面角的大小.答案第 = page 1 1页，共 = sectionpa

7、ges 2 2页答案第 = page 22 22页，共 = sectionpages 22 22页参考答案：1A对于，由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直对于，找到相互垂直的平面的二面角的平面角，可发现这些平面角不可能为直角.【详解】PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，又正方形ABCD中，BCAB，ABPAA，BC平面PAB，BC平面PBC，平面PAB平面PBC，正确；同理AD平面PAB，AD平面PAD，平面PAD平面PAB，正确；设平面PAB平面PCDl，ABCD

8、，AB平面PAB，CD平面PAB，CD平面PAB，CDl，AB平面PAD，lAB，l平面PAD，P为垂足，APD为二面角AlD的平面角，若平面PAB平面PCD，则APPD，在RtPAD中不可能，错误ABPA，ACPA，BAC为二面角BPAC的平面角，若平面平面PAC，则ABAC，在RtABC中不可能，错误故选：A2B由题可知，根据几何关系可求AM、BM长度；由题可证BD平面ABM，则过N作NH垂直于AB，则NH垂直于平面ABC，则.【详解】如图所示，AB是直径，M和N在球面上，即，由等面积法得，平面ABC，过N作NHAB，则NH平面ABC，则.故选：B.3D由线面垂直性质得到线线平行，将空间点

9、面距离转化为平面线段长度，再由平面中点坐标公式求解即可.【详解】如图，设AB的中点为C，过A、B分别作平面的垂线，垂足为、.则，四点共面. 过C作，垂足为，则，又，则.即即为所求点到平面的距离.在平面中，C为AB中点，则.故选：D.立体几何中点面距离求解的常用方法有：一是“找证求”三步法；二是等体积法；三是法向量法.4C在如图所示的正四棱锥中，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误.【详解】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，则为的中点，连接，则平面，则为侧面与底面所成的锐二面角，设底面边长为正四棱锥的侧面与底面所成的

10、锐二面角为，这个角接近30，取，则，在中，解得，故底面边长为，正四棱锥的高为，侧面积为，体积故选：C5A如图，连接，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线所成角大小.【详解】设正方体的棱长为，连接，因为，故或其补角为直线与直线所成角.而，故，所以，所以，因为为锐角，故，故选：A.6A过作,可证平面，连接,可知即为所求线面角，计算即可求解.【详解】如图，过作，连接， 在直三棱柱中，因为所以平面，故在平面上的射影为,所以为直线与平面所成的角，设，又所以故故选：A方法点晴：求线面夹角一般有两种方法：（1）几何法：作平面的垂线，找到夹角再用三角函数求解；（2）向量法：建系用空间向量公式求解.7D根据

11、空间中线面平行或垂直的判定定理和性质定理对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A：若，则由面面平行的性质有，所以A正确；对B：若，则由线面平行的性质有，又，从而由面面垂直的判定定理有，所以B正确；对C：若，则，又，所以，所以C正确；对D：若，则或，所以D错误.故选：D.8C连接，可得平面，即可判断A，由平面可判断B，当截面为正六边形时（其中，都是中点），计算截面面积，然后可判断C、D.【详解】如图，连接，可得平面，由与异面可知，不存在点，使得平面，故A正确；又平面，所以动点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确；如图，当截面为正六边形时（其中，都是中点），易得该正六边形的边长为，

12、所以其面积为，故C错误；截面可能为三角形，也可能为六边形，故D正确，故选：C.9D（1）线面垂直推出面面垂直；（2）面面平行推出线面平行；（3）数形结合找到异面直线与所成角的最小值和最大值，即可验证（3）；（4）为点C到平面的距离不变，且的面积不变，即可验证（4）.【详解】对于A中，根据正方体的性质，可得平面，又由平面，则平面平面，故（1）正确；对于B中，连接，在正方体中，可得平面平面，又由平面，所以平面，故（2）正确；对于C中，当P与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当P与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围是，故（3）错误；对于D中，因为点C到平面的距离不变，且的面积不

13、变，所以三棱锥的体积不变，故（4）正确综上（1）（2）（4）正确.故选：D.10D根据线面、线线平行与线面、线线垂直的性质与判定判断即可【详解】对A，若m，n，则也可能相交，故A错误；对B，举反例正方体的三个相交面互相垂直，满足，但，故B错误；对C，若m，n，mn，也可能相交，故C错误；对D，根据线面垂直的性质可得若m，n，则mn，故D正确；故选：D.11A由已知利用平面与平面垂直的性质得到PD平面ABCD，判定C正确；进一步得到平面PCD平面ABCD，结合BCCD判定B正确；再证明AB平面PAD，得到PAB为直角三角形，判定D正确；可证明平面平面PDC，若平面PAB平面PBC，则平面PAB与

14、平面PDC的交线平面PBC，矛盾，可判断A【详解】图1中ADPC，则图2中PDAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PD平面ABCD，则PDAC，故选项C正确；由PD平面ABCD，PD平面PDC，得平面PDC平面ABCD，而平面PDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，BCCD，BC平面PDC，故选项B正确；ABAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，AB平面PAD，则ABPA，即PAB是以PB为斜边的直角三角形，而N为PB的中点，则PB2AN，故选项D正确由于BC平面PDC，又平面平面平面PDC若平面PAB平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线平

15、面PBC由于平面PDC，则平面PAB与平面PDC的交线显然不与平面PBC垂直，故A错误故选：A12D根据空间直线和平面的位置关系逐一判断得解.【详解】解：选项，直线有可能在平面内；选项，需要直线在平面内才成立；选项，两条直线可能异面、平行或相交；选项，符合面面平行的判定定理，故正确.故选：D13过作于点，可得平面，是中点，根据即可求出.【详解】过作于点，连接，因为，所以平面，因为平面，所以，因为，所以是中点，因为,所以，解得，所以的取值范围为. 故答案为：.14.当是中点时，可证明平面平面；取靠近的一个三等分点记为，可证明平面；作，则；当，【详解】如图1当是中点时，可知也是中点且，所以平面，所

16、以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；如图2取靠近的一个三等分点记为，记，因为，所以，所以为靠近的一个三等分点，则为中点，又为中点，所以，且，平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，且平面，平面，所以平面平面，且平面，所以平面，故正确；如图3作，在中根据等面积得：，根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形，则，故错误；如图4,图5设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，当时，解得：，故正确.故答案为：.15根据已知条件和结论逐个验证即可，由可得，进而可得都正确；由，可得，即正确；利用对棱相等的特征，把四面体放置于长方体中，可求外接球的表面积为，进而可得正确.【详解】

17、因为，所以，即为的外心;又因为，所以点是的中点，故都正确.因为，所以平面，所以；又因为，所以；因为，所以平面，所以；同理可得，即点是的垂心，故正确.把四面体放置于一个长方体中，如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，所以，即四面体外接球的半径为；故其外接球的表面积为.故答案为：.16由己知得出，取中点，连接，根据已知条件可得，由勾股定理逆定理可得，进而可得平面，可得出的外心就是三棱锥外接球球心，由此可得半径，由球的表面积公式即可求解【详解】因为，所以，所以，取中点，连接，则外心，因为是等边三角形，所以，且，在中，所以，所以，又因为，所以平面，所以三棱锥外接球球心在上，所以的外心就是三棱锥外接球球

18、心，所以外接球的半径，球面积为故答案为：176根据球的截面性质确定球心的位置，解三角形求出球的半径.【详解】作中点中点，连接，设外心为，正方形中心为，球心为，延长，交于点，易知，因为，所以，在中，由余弦定理可知，所以，所以，因为，所以，所以，所以，即，又，所以外接球半径.故答案为：6.18（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.（1）连接交于点O，连接，易得，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由长方体的特征得到，再由，利用线面垂直的判定定理证得平面即可.（3）易得，再由平面平面，得到，可得平面，由是二面角的平面角求解.【详解】（1）如图所示：连接交于点O，连接，则O为的中点.E是的中点，

19、又平面，平面，平面.（2）由题意可知，四边形是正方形，.平面，平面，.平面，平面，平面.又平面，即.（3）在中，平面平面，.平面，平面，平面.又平面，.是二面角的平面角.在A中，二面角的正切值为.方法点睛：几何法求线线角、线面角、二面角的常用方法：（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移（2）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解（3）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量平面角的作法常见的有定义法；垂面法注意利用等腰、等边三角形的性质19（1）证明见解析；（2）.（1）取的中点为，连接,证明再证得平面即可（2）等体积法得解【详解】（1）证明：取的中点为，连接 因为平面 平面 平面平面（2）熟悉线面垂直的判定及性质是解题关键.20(