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文档简介
1、第八章 曲线积分与曲面积分 习题课 一、主要内容 二、线、面 积分的基本计算法 一、对弧长的曲线积分的概念1.定义被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量2.存在条件：3.推广注意：二、对弧长的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的概念1.定义类似地定义2.存在条件：3.组合形式4.推广即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.四、对坐标的曲线积分的性质五、对面积的曲面积分的定义1.定义六、对面积的曲面积分的性质基本概念观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面莫比乌斯带典型单侧曲面:播放曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定
2、了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:七、对坐标的曲面积分的定义被积函数积分曲面类似可定义存在条件:组合形式:物理意义:八、对坐标的曲面积分的性质九、曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终对弧长曲线积分的计算定理注意:特殊情形推广:例1解例2解例3解例4解由对称性, 知对坐标的曲线积分的计算定理特殊情形 例5 计算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示: 例 6 计算其中 由平面 y = z 截球面提示: 因在 上有故原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向.十、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 选择积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分例7解 若则有 若则有(前正后负)(右正左负)对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号(上正下负)则有 若解: 把 分为上下两部分根据对称性 思
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