线性代数解题指导：第四章 向量空间

1、第四章 向量4.1 基本内容4.1.1 n维向量n维列向量与n维行向量即为矩阵，因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。注 为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。4.1.2 向量的内积设，(1) 定义称 为向量的内积。(2) 性质 等号当且仅当时成立(3) 有关概念向量的范数：单位向量：若，则称为单位向量。向量的标准化（规范化）；称为的标准化向量。两向量的正交：若，则称正交。4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义设是一组n维向量线性组合：设是一个n维向量，若存在一组数，使则称为向量组的一个线性组合，或称可由向量组线性表出。注 设两组向量

2、（I），（II） ，若每一个都可由线性表出，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表出；当向量组（I）与（II）可互相表出时，称向量组（I）与（II）等价。线性相关：若存在一组不全为零的数，则称向量组线性相关。线性无关：若当且仅当时，才成 立，则称线性无关。注 对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。4.1.4 向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系 (1) 可由线性表出线性方程组有解矩阵的秩等于矩阵的秩 (2) 线性相关齐次线性方程组有非零解矩阵的秩小于m (3) 线性无关齐次线性方程组只有零解矩阵的秩等于m4.1.5 向量的线性相关性的有关结论仅含一个向量的向量组线

3、性相关任何含有零向量的向量组必线性相关含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关）注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相关）注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关任意m个n维向量，当时必线性相关向量组线性相关中至少有一个向量可由其余向量线性表出向量组线性无关，而线性相关可由线性表出，且表达式唯一若向量组（I）线性无关，且可由向量组（II）线性表出，则不含零向量的正交向量组必线性无关4.1.6 向量组的极大无关组与向量组的秩定义：设（I）是（II）的一个部分组，并且

4、满足：线性无关，（II）中任一向量都可由（I）线性表出。则称部分组（I）为原向量组（II）的一个极大无关组，并称数r为向量组（II）的秩，记作r（II）或注 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但其每一个极大无关组所含向量个数必是相等的，即为该向量组的秩性质：线性无关向量组的极大无关组即为其本身向量组与其任一极大无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价等价向量组的极大无关组等价等价向量组的秩相等，但其逆不成立若向量组的秩为r，则其中任意r个线性无关的向量都是它的一个极大无关组向量组的秩与矩阵的秩之间的关系将矩阵A按行或列分块向量组（I），（II）分别为A的行向量组与列向量组，则r（A）=r（

5、I）=r（II）注1 由此结论可容易推出矩阵运算后秩的关系式注2 线性无关 r（A）=m 线性无关 r（A）=n注3 上述结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变换4.1.7 极大无关组的求法录选法在向量组中任取一个非零向量作为取一个与的对应分量不成比例的向量作为取一个不能由，线性表出的向量作为，继续作下去便可求得极大无关组注 这一方法仅适合于向量组中向量个数较少的情形行初等变换法第一种方法：将向量组中各向量作为矩阵的行对A进行行初等变换化为行梯形阵将所做过的行对换回去则非全零行所对应的向量所构成的向量组即为极大无关组第二种方法：将向量组中各向量作为矩阵的列对A进行行初

6、等变换化为行梯形阵在每个阶梯上取一列则对应的向量所构成的向量组即为极大无关组4.1.8 向量空间定义：在非空集合V的元素间定义加法，若V对所定义的加法与数乘封闭，即任意的，且加法满足：存在零元素对任一元素，存在负元素，使数乘满足：两种运算满足：则称带有这种线性运算的集合V为线性空间，若线性空间中的元素为向量，就称为向量空间,我们仅讨论向量空间。注 所有n维向量所构成的向量集对向量的线性运算构成一个向量空间，本书中所讨论的向量空间仅限于或其子空间子空间：设有向量空间，若，则称的子空间注 向量空间V的一个非空子集，若对V上的线性运算封闭则是V的子空间生成空间：设有向量组，则的所有线性组合构成的向量

7、空间，称为由生成的空间，记作，即4.1.9 向量空间的基和维数基与维若向量空间V中的一组向量满足：线性无关每个，即，则称为V的一组基，其所含向量个数r为向量空间V的维数，记作，也称V为r维向量空间，而称系数为在基下的坐标。一个向量空间V的基一般不止一个，但任一组基所含向量个数是固定的，即为，可以推出向量在一组基下的坐标是唯一的任一向量空间V必是其一组基的生成空间，即*（2）基变换与坐标变换设和是向量空间的两组基，且上式称为由基到的基变换公式，若记，则基变换公式可表示为矩阵T称为基到基的过渡矩阵注 过渡矩阵必可逆对V中任一向量，若在基与基下的坐标分别为和，则由可得或称为坐标变换公式4.1.10

8、施密特正交化方法 任给V中的一组基，可由施密特正交化过程构造出一组新的正交基4.1.11 标准正交基定义：若V的一组基满足则称是V的一组标准（规范）正交基。求法：第一种：对V中的任一组基可先由施密特正交化方法，得到一组正交基，再把每个单位化得到的即为V的标准正交基 第二种：对任一，可以扩充为的一组标准正交基，设满足即求得（*）的一个基础解系，从而必为的一组基，再由第一种方法得到一组标准正交基4.1.12 正交矩阵A为正交矩阵的定义是：A满足A为正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组为标准正交向量组注 由(2)可知，若是的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准正交基，以它们为列作出矩阵则Q必为正

9、交阵。正交阵的性质：若A为正交阵，则均为正交阵若B也为正交阵，则AB也是正交阵4.1.13 齐次线性方程组Ax=0的解空间（A为矩阵）齐次线性方程组Ax=0若有非零解，则其全体解构成一个向量空间，称为Ax=0的解空间，记作N（A）Ax=0的一个基础解系即为N（A）的一组基，故基础解系不唯一。Ax=0的每一个基础解系所含向量个数n-r（A）即为是固定的若已知是Ax=0的一个基础解系，则从而Ax=0的通解其中为任意常数注 由于基础解系不唯一，故通解形式不唯一。4.2 典型例题分析向量可由向量组线性表出的判定方法：(1)用定义(2) 可否由线性表出等价于线性方程组是否有解。例1 设，问可否由线性表出

10、，若可以，请写出线性表示式。解 设记，则问题转化为方程组是否有解。可见可由唯一线性表示，且例2 a,b为何值时，不能表示成的线性组合？a,b为何值时，可由唯一线性表出？解设则其增广矩阵当时，r（A）=2，r（）=3，可知方程组无解，即不能表示成的线性组合。当时，方程组有唯一解，故可由线性表出，且表达式唯一，表达式为线性相关性的判定常用方法：(1)从定义出发； (2)利用矩阵秩或行列式； (3)利用性质。例3 已知线性相关，求k解 解法一（利用矩阵的秩）由线性相关可知必有r（A）3，故k=2解法二（利用行列式及性质）将的第三个分量去掉，地向量组，则由于线性相关，所以线性相关故设是m个互不相等且不

11、为零的常数，向量，问是否线性相关？解 由于，故2从而线性无关，所以向量组亦线性无关。设向量组线性无关，且，判断向量组的线性相关性。解 解法一（从定义出发）设即由线性无关知，系数必满足这是一齐次线性方程组没，其系数行列式所以齐次方程组只有零解，即，故线性无关。解法二（利用矩阵的秩）由解法一知，矩阵满秩，故而由线性无关性知，所以，即线性无关。有关线性表出与线性相关性的证明其证明方法为：要证可由线性表出，可以证明式。证明方程组有解。用反证法。要证线性相关，可以利用定义结合齐次线性方程组利用矩阵的秩或行列式反证法（这是重要方法）(3) 也可用线性表出与线性相关之间关系的有关定理.例6 设是一个n维向量

12、组,证明线性无关当且仅当人仪n维向量均可由它们线性表出.证: 对任意若,则显然有若,则由线性相关,得存在全不为零的数使若t=0,由线性无2关性知必有,与不全为零矛盾,所以,从而可由线性表出,即. 设单位向量为n阶单位阵I的n个列向量.证法一 由已知得均可由线性表示,从而有其中阶方阵的每一列即为由线性表出的表示式中的系数,由于,所以,这就说明是线性无关的.证法二 设,由,即可知,均可由线性表出,又由已知也可都由线性表出,所以两向量等价,从而它们有相同的秩,得,即线性无关.例7.设线性无关,而线性相关,试证:(1)可由线性表出(2)不能由线性表出证: (1)证法一 因为线性无关,所以其部分组也线性

13、无关,而线性相关,由4.3.5的结论(7)知必可由线性表出,从而,即可由线性表出2证法二 因为线性相关,所以也线性相关,又线性无关,故可由线性表出(2)(用反证法)若能由线性表出,由(1)知可由线性表出,得必可由线性表出,从而线性相关,这与已知线性无关矛盾,所以不能由线性表出.例8 如果,且可被向量组线性表出,证明表示法唯一的充要条件是线性无关.证 证法一 由已知可设必要性 假设成立，则可得，由于的表示法唯一，所以，从而得，故线性无关。充分性 倘若另有一的线性表达式，其中至少有一个使，则可得，因为，故线性相关，与线性无关矛盾，所以的表示式唯一。证法二 已知非零向量可由线性表出，这时有表示式唯一

14、方程组有唯一解线性无关例9 设是方阵，是三个维列向量，且，试证线性无关。证 设 （*）则由可得进一步还可得所以对（*）两边左乘得，即=0，因为，所以故（*）为，两边左乘，得，故，再代入（*）得，故，所以（*）成立，当且仅当，即线性无关。设是矩阵，是矩阵，其中，若，证明的列向量组线性无关。证 证法一 设，则已知条件，即为若两边左乘得，即由之线性无关性知必成立，所以线性无关。证法二 由，得，而，所以，又是矩阵，所以，故，即列满秩，所以的列向量组线性无关。例11 设n维向量组线性无关，与正交，证明线性相关。证 因为n+1个n维向量必线性相关，故存在n+1个不全为零的数，使又由线性无关可得必不全为零。

15、（*）两边分别与作内积，由正交条件，得得即所以有又由不全为零知线性相关。4) 求向量组的极大无关组与秩例12 设向量组解 解法一 向量组写成行构成矩阵A进行行变换。可得到一组极大无关组，从变换中也可看到或都是极大无关组，故。解法二 将向量组写成列构成矩阵B进行行变换在每个阶梯上取一列得或或或均是极大无关组，从而。注 从上述求解过程可看到，向量组秩完全可通过矩阵的秩的计算而得到，而且若仅是计算向量组的秩则不论向量按行还是按列放，初等变换对行对列都可以进行，所得结果全部一样。5) 有关极大无关组，向量组的秩及等价向量组的证明例13 设向量组(I)的秩为r，证明向量组(II) 的秩仍为r的充分必要条

16、件是可由向量组(I)线性表出。证 必要性不妨设是(I)的极大无关组。因为r(II)= r，所以亦是(II) 的极大无关组。从而可由线性表出，即可由向量组(I)线性表出。 充分性若可由线性表出，则说明向量组(I)与(II)可互相线性表出，即(I)与(II)等价，所以r(I)=r(II)= r。例14 设向量组(I) ；(II) ；(III) ，的秩分别为，证明证 由于向量组(III)由(I)和(II)构成，所以显然成立。下面证。不妨设与分别为向量组(I)与(II)的极大无关组，则与(I)等价，与(II)等价，从而向量组(IV) ，与(III)等价。所以注 由此例可得例15设向量组线性无关，记，证

17、明中任意m个向量线性无关。证 当中的m个向量不含时，由题设这m个向量必线性无关；当中的m个向量含时，不妨设这m个向量为，下面利用不同方法证明它们是线性无关的。证法一：设，即已知线性无关，所以得，故向量组线性无关。证法二：易见向量组可由线性表出。另一方面，由于，所以向量组也可由线性表出。因此两向量组等价，从而所以线性无关。证法三：作矩阵,则由线性无关性知r（A）=m，将B的前m-1列乘（-1）加到第m列可得：所以r（B）=r（A）=m，因此线性无关。证法四：令，由于，所以r（B）=r（A）=m，从而线性无关。6) 利用向量证明有关矩阵秩的问题例16 设A为n阶矩阵，若对于任意的n维向量均有Ax=

18、0，则A=O。证 证法一：设A=，由x的任意性，不妨取x为单位向量组由于，其中为A的第I列，故由已知可得=0，从而A=O。 证法二：任取的一组基，由题设可知，令，则r（B）=n，即B可逆。又，两边右乘得A=O。 证法三：由题设知任一n维向量都是齐次方程组Ax=0的解，故的任一组基也是Ax=0的解，从而也是Ax=0的一个基础解系，因此可得n-r（A）=n所以r（A）=0，于是有A=O。注 证明矩阵A=O常用两种方法：一是证明A中各元素，二是证明r（A）=0。例17 设A，B均为矩阵，证明证 证法一：设，则易见向量组可由线性表出。现不妨设分别为向量组的极大无关组，则由向量组的极大无关组与其本身等价

19、可知向量组也可由线性表出，从而 证法二：由分块矩阵乘法得由知设则经有限次初等变换后必有所以 证法三：对分块矩阵作初等变换得因而例18 试证：n阶方阵A的秩为1的充要条件是可将A表成，其中为n维非零列向量。证 充分性若，由于，则，且。于是故。 必要性设，则由可知(1)(2)向量组的极大无关组含1个向量。因为，所以可不妨设，从而即可作为的一个极大无关组，故有于是令。7)线性方程组及基础解系的有关求解与证明例19 若，其个列向量为方程组的一个基础解系。B为阶非奇异阵，证明：AB的个列向量也是的一个基础解系。证 首先由已知可得到，即AB的个列向量也是的解，又由题设知的基础解系含个解向量，故接下去只须证

20、明AB的个列向量线性无关即可。证法一 因为B是阶非奇异阵，所以，这就说明了AB的个列向量线性无关。证法二 设，则由可得可由线性表出。又因为B是非奇异阵，所以说明也可由线性表出。故向来量组与等价，从而等秩。于是由，即线性无关。注 证明一向量组为的基础解系，须证明三点：是解，(2) 线性无关，(3)个数为。例20 设A为n阶方阵，且为n维列向量，有，试证：为方程组的一个基础解系。证 (1)由，可知为方程组的解。设两边左乘得，由，得，则（*）为两边左乘得，故，如此继续可得所以线性无关。欲证.因为,所以.又由是的线性无关解，可知其个数不会超过基础解系所含向量个数，即，也即故综合(1)(2)(3)可得是的基础解系。例21 设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：是的线性无关的解向量，且的任一解均可表示为其中。证 (1)由知是的n-r+1个解。 (2)下证的线性无关性。证法一：设，即若，则可由线性表出。这与为的解矛盾，所以。于是（*）为由的线性无关性知，。而由可得，所以线性无关。证法二：由于，故不能由线性表出。又线性无关，故线性无关。而显然向量组与