线性代数解题指导：第五章 特征值问题

1、5.3 基本内容5.3.1 特征值与特征向量的定义设A是一个n阶的方阵，若对数，存在非零n维向量x，使Ax=x成立，则称是A的特征值，x是A的属于的特征向量。注1 特征值问题是对于方阵而言的。注2 特征向量必须是非零向量。5.3.2 特征值与特征向量的求法若A=为具体矩阵(即具体给出)求解步骤为：第一步：求出方程的所有根，即为A的全部特征值。第二步：对每个不同的，解其次方程组(Ax=0，求出一个基础解系： 即为A的属于的线形无关特征向量，而(其中任意常数不全为零)则为A的属于的全部特征向量。注1 称为A的特征多项式，其为的n次多项式。称为A的特征方程，其在复数域内必有n个根（包括重根），所以n

2、阶方阵总共有n个特征值，特征值的重数称为的代数重数，记做。注2 方程组的解空间称为A的属于的特征子空间，而把dim成为的几何重数，记作。(2) 若A为抽象矩阵（即没有给出A的具体元素），只有A满足的某些条件，则可由定义来分析求解。5.3.3 特征值与特征向量的性质属于同一特征值的特征向量的任意非零组合仍是属于特征向量。(2) 若是A的分别属于特征值的特征向量，则不是A的征向量。(3) 属于不同特征值的特征向量必线形无关。(4) 设n阶方阵A的n特征值为，则 (5.1) (5.2)注 由(5.2)式可知，A可逆A没有零特征值。(5) 特征值的几何重数与代数重数满足 (5.3)(6) 设为方阵A的

3、特征值，x是对应的特征向量，k常数，m为正整数，则及分别为矩阵kA，及的特征值，而x为对应的特征向量。注 若分别是A，B的特征值，则未必是A+B的特征值，也未必是AB的特征值。A与有相同的特征值，但特征向量未必相同。 (8) 正交阵A的特征值只能是。5.3.4 相似矩阵的概念定义：设A、B都是n阶方阵，若存在n可逆P，使，则称A相似与B。基本性质：自反性：A与A相似；对称性：A相似与B，则B也相似与A；传递性：A相似与B，B 相似与C，则A相似与C。注 若A与对角阵相似，则称A可对角化。5.3.5 相似矩阵的性质若，即A相似与B，则(1) 。(2) 与，kA与kB，与也相似(其中k为常数，m为

4、正整数)。(3) 当A可逆时，与，与也相似。(4) ，从而A与B有相同的特征值。 (5) 。(6) 。5.3.6 n阶矩阵A可对角化的条件A可对角化的充要条件是A有n个线形无关的特征向量若A有n个互不相等的特征值，则A可对角化。注 这是充分而非必要条件。A可对角化的条件是对A的任一特征值，有 5.3.7 将A对角化的方法(1) 求出A的所有的特征值，其中互不相等的特征值为(r). (2) 若A可对角化，则k重特征值必对应k个线形无关的特征向量，求出每一个齐次方程组(k=1,2,r)的基础解系，合并后必可得到A的n个线形无关的特征向量。 (3) 令P=，则P可逆，且有 或 (5.4)注 P的每一

5、列的排列序应与中对应的的排序相同。5.4 典型例题分析 1）特征值于特征向量的计算 例1 求A=的全部特征值和对应的特征向量。 解 所以A的全部特征值为。 当 所以就可写成令的基础解系，就是矩阵A对应于的特征向量，全部特征向量为。 当时所以，可写成 取，得， 取，得。 均为A的二重特征值的特征向量，全部特征向量为，其中不全为零。 例2 设0是矩阵A=的特征值，求 (1) a；(2) A的另一特征值。 解 解法一 (1) 由于为所有特征值之积，故由已知可得=0。又，所以a=1， (2) 所以另一特征值为2。 解法二 (1) A的特征多项式 (*)因为是A的特征值，所以将代入(*)有 2a-2=0

6、，即a=1。 (2) 将a=1代入(*)，得特征方程为从而为A的另一特征值。例3 设A满足，试求的特征值。解 因为A为抽象矩阵，所以由定义求解，设为A的特征值，对应的特征向量则，从而由 可得。又的特征值为所以的特征值为5或4。例4 设A为n阶实矩阵，试求的一个特征值。解 由于，故可先算的特征值，而这又只需算出A的特征值及。因为所以，既，又，所以。而 ，故即，是A的一个特征值。于是可得的一个特征值，即为1。所以即的一个特征值为1。例5 设向量，满足，且，记n阶方阵A=，求：(1) ；(2) 矩阵A的特征值与特征向量。解 (1) 由A=及，有 (2) 设是A的任一特征值，对应的特征向量为x，即，于

7、是 因为，所以，由得，即A的特征值全为零。又 故方程组Ax=0的基础解系为 于是A的属于特征值的全部特征向量为 其中是不全为零的常数。 例6 已知A是n阶方阵，是它的n个特征值，是其对应的n个线形无关的特征向量，求的全部特征值和一组线形无关的特征向量。 解 由已知可得，将其变形可得到 从而 即 这就说明。一组线形无关的特征向量为。 例7 设，不解特征方程，求A的特征值和特征向量。 解 解法一 显然，所以A必有零特征值，求出对应与零特征值的特征向量，解方程组得基础解系为：， 。由知至少是A的二重特征值，故有。 设是A的另一特征值，由特征值性质知即 所以。由，可解得对应的特征向量为。 解法二 同解

8、法一求出对应的特征向量。 因为A为实对称矩阵，设A的另一特征值为，必有（由于实对称矩阵的任一特征值均满足，故必为二重特征值），因为故起对应的特征向量必与正交。设，则由，即 解得 为基础解系。考察得特征向量所对应的特征值为。 注 解法二只适用与实对称矩阵，对于一般矩阵可用解法一。 2) 由特征值或特征向量的概念确定矩阵中某些元素例8 已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，试求常数k的值。解 若，则，故x也是A的特征向量。由，可求得A的特征值为。由，解得k=1。所以k=-2或k=1。例9 设矩阵，其行列式，又A的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征值向量为，求a，b，c和的值。解 据题意可得 ，即 也

9、即 解之得。又由和a=c，有 故a=c=2，所以a=2，b=-3，c=2，=1 例10 设矩阵有3个线形无关的向量，求a与b应满足的条件。 解 可求得，所以A的特征值为。由于不同的特征值对应的向量线形无关，所以若A有3个线形无关的特征向量，则对应应有两个线形无关的特征向量，从而，由 知，当a+b=0时，此时A有3个线形无关的特征向量。 3) 有关特征向量与特征向量的证明 例11 设n阶方阵A的特征值为，对应的向量分别为，若，则矩阵多项式的特征值为，对应的特征向量为。 证 由可得（i=1，2，n；k=1，2，m），所以 故是的特征值，是对应的特征向量。 例12 设n维实向量，证明是A的特征值。

10、证 若，则A，显然A有零特征值，此时，故是A的特征值。 若，则，由定义可知是A的特征值，对应的特征向量为。 例13 设A为n阶矩阵，和是A的两个不同的特征值，是A分别属于和的特征向量，证明不是A的特征向量。 证 （反证）若是A的特征向量，则存在数，使 又由已知可得 所以有 即 因为，所以与线形无关，故得 且于是，这与矛盾，故不是A的特征向量。例14 试证：n阶方阵的最大特征值是，其中。证 A的特征多项式为 于是A的特征值为 由于，故，即为最大特征值。 例15 设n阶方阵A不可逆，若，则的特征值为零；若，则有一个n-1重特征值零及一个单特征值是的代数余子式）。 证 若，则，故，从而的特征值为零。

11、若，则，故中所有高于1阶的子式全为零，故由特征多项式的性质知 所以此时有一个n-1重特征值零及一个单特征值。 例16 设A为n阶方阵，且。证明-3是A的特征值。 证 因为，所以故。由，得所以，即-3是A的特征值。 例17 设A，B均为n阶方阵，证明AB与BA具有相同的特征值。 证 证法一 设为AB的任一特征值，对应的特征向量为x，即 两边左乘B，得若，则是BA的特征值，而Bx是对应的特征向量。若，则，由知，即AB有零特征值。故，从而，这表明BA也有零特征值。所以AB与BA有相同的特征值。 证法二 两边取行列式得又两边取行列式得所以 即AB与BA有相同的特征值。 证法三 若，则，故AB与BA相似

12、，所以AB与BA有相同的特征值。 若，由于只有有限个根，因此存在无数t，使，由上可知与有相同的特征值，即 令，则可视作关于t的n次多项式，由于有无数个t使成立，因而它必须为零多项式，从而在t=0时仍成立，即有 亦即AB与BA有相同的特征值。 例18 设A和 B均为n阶非零矩阵，且满足, 证明： （1）必是A,B的特征值。 （2）若分别是A,B对应的特征值的特征向量，则线性无关。 证 （1）因为 .所以有非零解，从而,即是A的特征值。 同理也是B的特征值。 （2）因,故,即可见是B对应的特征向量。 由于是B分别对应于和的特征向量，故它们线性无关。 4）利用特征值证明矩阵的可逆性 （1）A可逆 A

13、无零特征值。 （2）讨论形如的矩阵的可逆性时，有时利用矩阵的特征值来讨论。 可逆k不是A的特征值。 不可逆是A的特征值。例19 设A为n阶方阵，且，m为正整数，证明A可逆。 证 设为A的任意特征值，为对应的特征向量，则 从而 因为，且，所以有，得。故A得 任一特征值都为1，因此 即可知A可逆。 例20 已知n阶方阵A和B，B得特征多项试为，求证可逆得充要条件是B得任一特征值都不是A得特征值。 证 设B得特征值为，则 于是 因此可逆 不是A得特征值，结论得证。 例21 设n阶可逆矩阵A得每行上n歌 元素之和均为c。 试证 （1）; (2) 不可逆； （3）重每行上n歌元素之和为。 证 证法一 （

14、1）设，由已知，即 所以，有 由于，故c是A的一个特征值，由A的可逆性知。 （2）由(1)知c是A的特征值，故有，即不可逆。 （3）由及A的可逆性可得 这就说明的每行上的n歌元素之和为。 证法二 （利用行列式） （1）将的各行列元素加到第j列上提出公因子c，有 因为，所以。 （）由，将的各列加到第一列，得 （3）由（1）知，对，均可得到 而 故中第j行得n各元素之和为 5）矩阵相似与矩阵对角化条件 例22 已知矩阵 相似，求a和b得值。 解 解法一 相似矩阵由相同得特征多项式 因为 。由，令，得，再令得解得a0，b2。 解法二 相似矩阵有相同的特征值由于B得特征值为，它们也是A的特征值，应满足

15、，将代入得，所以a0。再由，即，b2。 例23（1）若A与B相似，故有则与相似。 （2）若A与，且，求行列式得值。 解（1）因A与B相似，故可有逆阵P使，从而有 证得与相似。 (2) 由A与相似，可得与相似，从而它们得行列式相等。 所以 例24 判断下列两个矩阵A，B是否相似。，解 对A，因为，故特征值为，又A为实对称阵，故必可与对角阵相似，即存在可逆矩阵，使 对B可求得，故B与A有相同特征值，由于，所以的基础解系含个线性无关的向量，也即对B的特征值，有。故B也可相似于对角阵，即存在可逆阵，使所以即故A与B相似。例25 证明以下结论：（1）设A为二阶实矩阵，则A与对角阵相似。（2）设，,则A与

16、对角阵相似。证 （1）令设A的两个特征值为，则由可知异号，故A可对角化。 （2）因为，所以，故有两个不同实根，所以A可对角化。例26 设A为n阶方阵，且（m为整数，m1），证明：A不与对角阵相似，即A不可对角化。证：（用反证法）若A与对角阵相似，则存在可逆阵P，使其中是A的特征值。于是即由题设因此与矛盾，命题得证。例27 设且，证明A可对角化。 证 ， 设为A的任一特征值，则由，有。所以A的特征值为或。因为，所以为A的一重特征值，为A的重特征值。对，由于而又由已知，所以，即的基础解系含个向量，即A的属于的线性无关的特征向量有个，故A可对角化。6）实对称矩阵的正交对角化与用正交变换化二次型为标准

17、型问题（1）对实对称矩阵A，求正交矩阵Q，使（为对角阵）。（2）对二次型，求正交矩阵Q，使（为对角阵），则当时，有为标准型。方法：关键是求正交矩阵Q，步骤为：（1）求出A的所有特征值；（2）对重特征值，将的基础解系正交化；（3）将n个正交的特征向量标准化得；则即为所求，例28 设的一个特征值为3，求y的值。求一个满秩矩阵P，使得为对角阵。 解 （1）因为3为A的一个特征值，所以有，即 故y2。 （2）因为所以 因此要使为对角阵，只要求出正交阵P，使得为对角阵，即有为对角阵，而这即为实对称阵A的正交对角化问题。 由, 得A得特征值为。对，解,即 得基础解系为 由于已正交，故只需单位化，得 对，解，即 可得基础解系为 单位化得 对解 即 得基础解系为 ，单位化得 ，令 则，这时有 例29 设数列满足：且，求的通项及。解 设，则问题转化为求。由，得A的特征值为。对，解，即,得对，解，即,得令，则有。所以，从而，所以，故。例30 设3阶实对称矩阵A的三个特征值为，对应于的特征向量为。求A；(