全解与精炼高考数学专题9 数学思想方法

1、全解与精炼高考数学专题9 数学思想方法已知 fx 是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，fx=2x11,02，则函数 gx=xfx1 在 6,+ 上的所以零点之和为 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab0 经过点 M1,32，其离心率为 12(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，以线段 OA，OB 为邻边作平行四边形 OAPB，其中顶点 P 在椭圆 C 上，O 为坐标原点求 O 到直线 l 的距离的最小值设函数 fx=xex1ax2(1) 若 a=12，求 fx 的单调区间；(2) 若当 x0 时，fx0，求 a 的取值范围若关于 x 的方程

2、xx+2=kx2 有 4 个不同的实数解，求实数 k 取值范围如图所示，已知圆 O:x2+y2=1，O 为坐标原点，正方形 ABCD 的一边 AB 为圆 O 的一条弦，求线段 OC 长度的最值设函数 fnx=xn+bx+cnN,b,cR(1) 设 n2，b=1，c=1，求证：fnx 在区间 12,1 内存在唯一的零点；(2) 设 n 为偶数 f11，f11，求 b+3c 的最小值和最大值；(3) 设 n=2，若对任意 x1，x21,1，有 f2x1f2x24，求实数 b 的取值范围设数列 an 的通项公式为 an=pn+qnN*,p0，数列 bn 定义如下：对于正整数 m，bm 是使得不等式

3、anm 成立的所有 n 中的最小值(1) 若 p=12，q=13，求 b3；(2) 若 p=2，q=1，求数列 bn 的前 2m 项和公式；(3) 是否存在 p 和 q，使得 bm=3m+2mN*？若存在，求出 p 和 q 的取值范围；若不存在，请说明理由已知函数 fx=xxalnx(1) 若 a=1，求函数 fx 在区间 1,e 的最大值；(2) 求函数 fx 的单调区间；(3) 若 fx0 恒成立，求 a 的取值范围已知 fx 满足对任意 a,bR，有 fab=afb+bfa，且 fx1求证：fx 恒为零在由若干南方球队和北方球队参加的排球单循环赛中，已知南方队比北方队多 9 支，所有南方

4、队得到的分数总和是所有北方队得到的分数总和的 9 倍（每场比赛胜者得一分，负者得零分）证明：循环赛结束后，某支南方队积分最高设函数 fx=xx,x0fx+1,x0 与函数 y=fx 的图象恰有三个不同的交点，则实数 k 的取值范围是 设函数 fnx=xn+bx+cnN+,b,cR(1) 设 n2，b=1，c=1，证明：fnx 在区间 12,1 内存在唯一零点(2) 设 n=2，若对任意 x1,x21,1，有 f2x1f2x24，求 b 的取值范围；(3) 在（1）的条件下，设 xn 是 fnx 在 12,1 内的零点，判断数列 x2，x3，xn， 的增减性已知函数 fx=ax2+1a0,gx=

5、x3+bx(1) 若曲线 y=fx 与曲线 y=gx 在它们的交点 1,c 处具有公共切线，求 a，b 的值；(2) 当 a2=4b 时，求函数 fx+gx 的单调区间，并求其在区间 ,1 上的最大值已知 a0，bR，函数 fx=4ax32bxa+b(1) 证明：当 0 x1 时，（）函数 fx 的最大值为 2ab+a；（）fx+2ab+a0；(2) 若 1fx1 对 x0,1 恒成立，求 a+b 的取值范围设函数 fx=a2x2a0(1) 若函数 y=fx 图象上的点到直线 xy3=0 距离的最小值为 22，求 a 的值；(2) 关于 x 的不等式 x12fx 的解集中的整数恰有 3 个，求

6、实数 a 的取值范围已知数列 an 是等比数列，Sn 为其前 n 项和(1) 若 S4，S10，S7 成等差数列，证明 a1，a7，a4 也成等差数列；(2) 设 S3=32，S6=2116，bn=ann2，若数列 bn 是单调递减数列，求实数 的取值范围已知常数 a0，函数 fx=x3+3a4x,xa2494a2x,xa2(1) 求 fx 的单调递增区间；(2) 若 00. 设 Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，则 x0=x1+x2=8km3+4k2，y0=y1+y2=kx1+x2+2m=6m3+4k2由于点 P 在椭圆 C 上，所以 x024+y023=1从而 16k2m23+4k

7、22+12m23+4k22=1，化简得 4m2=3+4k2，经检验满足式又点 O 到直线 l 的距离为 d=m1+k2=34+k21+k2=1141+k2114=32，当且仅当 k=0 时等号成立当直线 l 的斜率不存在时，由对称性，知点 P 一定在 x 轴上，从而 P 点为 2,0 或 2,0，直线 l 为 x=1 或 x=1，所以点 O 到直线 l 的距离为 1综上所述，可知点 O 到直线 l 的距离的最小值为 323. 【答案】(1) 当 a=12 时，fx=xex112x2， fx=ex1+xexx=ex1x+1当 x,1 时，fx0；当 x1,0 时，fx0故 fx 在 ,1，0,+

8、 上单调递增，在 1,0 上单调递减(2) fx=xex1ax令 gx=ex1ax，则 gx=exa若 a1，则当 x0,+ 时，gx0，gx 为增函数，而 g0=0，从而当 x0 时，gx0，即 fx0；若 a1，则当 x0,lna 时，gx0，gx 为减函数，而 g0=0，从而当 x0,lna 时，gx0，即 fx0 且在第二象限内要有 2 个交点，由 1x+2=kx 有 kx2+2kx+1=0，=4k240，得 k1所以当 k1 时，原方程有 4 个不相符的实数根解法二：前同方法一，方程 xx+2=1k 有 3 个不同的不等的非零实根，令函数 fx=xx+2，gx=1k，在同一坐标系中作

9、出它们的图象（见图 1），从图上可以看出，当 k1 时，原方程有 4 个不相等的实数根解法三：若将方程变为 1xx+2=k，则原方程有 4 个不同的实数解，只要该方程有 3 个不同的实数解即可，令 fx=1xx+2=1xx+2,x01xx+2,x0 时，fx=2x+1xx+220，所以 fx 在 0,+ 上为减函数；当 x1 时，函数 fx=1xx+2 与直线 y=k 有 3 个交点，从而知原方程有 4 个不等实根5. 【答案】设正方形的边长为 a，OBA=，则 cos=a2，0,2当 A，B，C，D 按顺时针方向时，如图 1 所示，在 OBC 中，a2+12acos2+=OC2，即 OC=2

10、cos2+1+22cossin=22sin2+4+3，由 2+44,54，知 OC1,2+1；当 A，B，C，D 按逆时针方向时，如图 2 所示，在 OBC 中，a2+12acos2=OC2，即 OC=2cos2+122cossin=22sin24+3，由 244,34，知 OC21,5综上所述，线段 OC 长度的最小值为 21，最大值为 2+16. 【答案】(1) 当 b=1，c=1，n2 时， fnx=xn+x1，fn12fn1=12n1210所以 fnx 在 12,1 上单调递增，所以 fnx 在 12,1 内存在唯一零点(2) 由题意知 1f11,1f11, 即 0bc2,2b+c0.

11、 作出可行域如图阴影部分所示，知 b+3c 在点 0,2 处取到最小值 6，在点 0,0 处取到最大值 0所以 b+3c 的最小值是 6，最大值是 0(3) 当 n=2 时，f2x=x2+bx+c对任意 x1，x21,1，都有 f2x1f2x24，等价于 f2x 在 1,1 上的最大值与最小值之差 M4（i）当 b21，即 b2 时，M=f21f21=2b4，与题意矛盾；（ii）当 1b20，即 00nmqp因为 bm=3m+2mN*，即对于任意的正整数 m，均有 3m+1mqp3m+2，即 2pq3p1mpq 对于任意的正整数 m 恒成立当 3p1=0 时，得 23q013q，即 23q0

12、时，得 mpq3p1 与任意正整数 m 矛盾；同理当 3p10 时，与任意正整数 m 矛盾；综上所述，存在满足题意的 p，q，且 p=13，23q138. 【答案】(1) 若 a=1，则 fx=xx1lnx当 x1,e 时，fx=x2xlnx， fx=2x11x=2x2x1x0，所以 fx 在 1,e 上单调增，所以 fxmax=fe=e2e1(2) 由于 fx=xxalnx，x0,+（）当 a0 时，则 fx=x2axlnx， fx=2xa1x=2x2ax1x，令 fx=0，得 x0=a+a2+84（负根舍去）；且当 x0,x0 时，fx0，所以 fx 在 0,a+a2+84 上单调减，在

13、a+a2+84,+ 上单调增（）当 a0 时，（a）若 xa，则 fx=2xa1x=2x2ax1x，令 fx=0，得 x1=a+a2+84（x=aa2+84a，即 0a1，则当 x0,x1 时，fx0，所以 fx 在区间 0,a+a2+84 上是单调减，在 a+a2+84,+ 上单调增（）若 0 xa，则 fx=2x+a1x=2x2+ax1x，令 fx=0，得 2x2+ax1=0，记 =a28，若 =a280，即 00，即 a22，则由 fx=0 得 x3=aa284，x4=a+a284 且 0 x3x4a，当 x0,x3 时，fx0；当 xx4,+ 时，fx0，所以 fx 在区间 0,aa2

14、84 上是单调减，在 aa284,a+a284 上单调增；在 a+a284,+ 上单调减综上所述，当 a22 时，fx 的单调递减区间是 0,aa284 和 a+a284,a，fx 单调的递增区间是 aa284,a+a284 和 a,+(3) 函数 fx 的定义域为 x0,+由 fx0，得 xalnxx, （）当 x0,1 时，xa0，lnxx1 时，不等式恒成立等价于 ax+lnxx 恒成立，令 hx=xlnxx，则 hx=x21+lnxx2，因为 x1，所以 hx0，从而 hx1，因为 axlnxx 恒成立等价于 a0 在 x1,+ 上恒成立，tx 在 x1,+ 上无最大值综上所述，满足条

15、件的 a 的取值范围是 ,19. 【答案】先证 fx 为奇函数令 a=b=1，f1=2f1f1=0；令 a=b=1，f1=2f1f1=0令 a=x，b=1，fx=xf1fx=fxfx 为奇函数再证，当 x0,+ 时，fx=0令 a=b=x，有 fx2=2xfx，fx3=3x2fx，fxn=nxn1fx，nN*若 x1，fxn=nxn1fx若 fx0，则 fxn=nxn1fx+n+，这与 fx1 矛盾，故 x1 时，fx0若 0 x1，f1x=0（上面已证），所以 0 x0 恒过定点 1,0，在同一直角坐标系中作出函数 y=fx 的图象和直线 y=kx+kk0 的图象，如图所示，由两图象恰好有三

16、个不同的交点得 14k1312. 【答案】(1) b=1，c=1，n2 时，fnx=xn+x1因为 fn12fn1=12n1210，因为 fnx 在 12,1 上是单调递增的，所以 fnx 在 12,1 内存在唯一零点(2) 当 n=2 时，f2x=x2+bx+c对任意 x1,x21,1 都有 f2x1f2x24 等价于 f2x 在 1,1 上的最大值与最小值之差 M4据此分类讨论如下：（）当 b21，即 b2 时，M=f21f21=2b4，与题设矛盾（）当 1b20，即 0b2 时，M=f21f2b2=b2+124 恒成立（）当 0b21，即 2b0 时，M=f21f2b2=b2124 恒成

17、立综上可知，2b2注：（）（）也可合并证明如下：用 maxa,b 表示 a，b 中的较大者当 1b21，即 2b2 时， M=maxf21,f21f2b2=f21+f212+f21f212f2b2=1+c+bb24+c=1+b224 恒成立(3) 方法一：设 xn 是 fnx 在 12,1 内的唯一零点 n2 fnxn=xnn+xn1=0，fn+1xn+1=xn+1n+1+xn+11=0，xn+112,1于是有 fnxn=0=fn+1xn+1=xn+1n+1+xn11xn+1n+xn+11=fnxn+1，又由（1）知 fnx 在 12,1 上是递增的，故 xnxn+1n2，所以，数列 x2，x

18、3，xn， 是递增数列方法二：设 xn 是 fnx 在 12,1 内的唯一零点， fn+1xnfn+11=xnn+1+xn11n+1+11=xnn+1+xn1xnn+xn1=0, 则 fn+1x 的零点 xn+1 在 xn,1 内，故 xn0 时，hx 与 hx 的情况如表所示：x,a2a2a2,a6a6a6,+hx+00+hx极大值极小值所以函数 hx 的单调递增区间为 ,a2 和 a6,+；单调递减区间为 a2,a6当 a21，即 0a2 时，函数 hx 在区间 ,1 上单调递增，hx 在区间 ,1 上的最大值为 h1=a14a2当 a21，且 a61，即 2a6 时，函数 hx 在区间

19、,a2 内单调递增，在区间 a2,1 内单调递减，hx 在区间 ,1 上的最大值为 ha2=1当 a66 时，函数 hx 在区间 ,a2 内单调递增，在区间 a2,a6 内单调递减，在区间 a6,1 上单调递增，又因 ha2h1=1a+14a2=14a220，所以 hx 在区间 ,1 上的最大值为 ha2=114. 【答案】(1) （）fx=12ax22b=12ax2b6a当 b0 时，有 fx0，此时 fx 在 0,+ 上单调递增；当 b0 时，fx=12ax+b6axb6a，此时 fx 在 0,b6a 上单调递减，在 b6a,+ 上单调递增所以当 0 x1 时， fxmax=maxf0,f

20、1=maxa+b,3ab=3ab,b2aa+b,b2a=2ab+a. （）由于 0 x1 时，故当 b2a 时， fx+2ab+a=fx+3ab=4ax32bx+2a4ax34ax+2a=2a2x32x+1. 当 b2a 时， fx+2ab+a=fxa+b=4ax3+2b1x2a4ax3+4a1x2a=2a2x32x+1. 设 gx=2x32x+1，0 x1，则 gx=6x22=6x33x+33，于是 x，gx，gx 关系如表所示：x00,333333,11gx0+gx1减极小值增1所以，gxmin=g33=14390，所以当 0 x1 时，2x32x+10，故 fx+2ab+a2a2x32x

21、+10(2) 由（）知，当 0 x1 时，fxmax=2ab+a，所以 2ab+a1若 2ab+a1，则由（）知 fx2ab+a1，所以 1fx1 对任意 0 x1 恒成立的充要条件是 2ab+a1,a0, 即 2ab0,3ba1,a0 或 2ab0.（*）在直角坐标系 aOb 中，式（*）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段 BC作一组平行线 a+b=ttR，得 1fx 的解集中的整数恰有 3 个，等价于 1a2x22x+10 恰有三个整数解，故 1a20 且 h1=a20，所以函数 hx=1a2x22x+1 的一个零点在区间 0,1，则另一个零点一定在区间 3,2，故 h2

22、0,h30, 解之得 43a0 恰有三个整数解，故 1a21 1a2x22x+1=1ax11+ax10，所以 11ax11+a，又因为 011+a1，所以 311a2，解之得 43a3216. 【答案】(1) 设数列 an 的公比为 q，因为 S4，S10，S7 成等差数列，所以 q1，且 2S10=S4+S7，所以 2a11q101q=a11q41q+a11q71q，因为 q0，所以 1+q3=2q6所以 a1+a1q3=2a1q6，即 a1+a4=2a7所以 a1，a7，a4 也成等差数列(2) 因为 S3=32，S6=2116，所以 a11q31q=32,，a11q61q=2116,，由

23、式 式，得 1+q3=78，所以 q=12，代入式，得 a1=2所以 a=212n1又因为 bn=ann2，所以 bn=212n1n2，由题意可知对任意 nN，数列 bn 单调递减，所以 bn+1bn，即 212nn+12212n1n2，即 612n2n+12n6，当 n=1 时，2n+12n6 取得最大值 1，所以 1；当 n 是偶数时，2n+12n6，当 n=2 时，2n+12n6 取得最小值 103，所以 103综上可知，1103，即实数 的取值范围是 1,10317. 【答案】(1) 当 x0，得 xa 或 xa所以 fx 的增区间为 ,a，a2,a2 和 a,+(2) 由如图可知，（

24、i）当 1a2 时，a21a，fx 在区间 1,a 上递减，在 a,2 上递增，最小值为 fa=4a3；（ii）当 0a1 时，fx 在区间 1,2 为增函数，最小值为 f1=1+3a4；（iii）当 a=2 时，fx 在区间 1,2 为减函数，最小值为 fa=4a3综上所述，fx 最小值 ga=1+3a4,0a14a3,1a218. 【答案】(1) 设等差数列 an 的公差是 d由 S3=9，S6=36，得 3a1+3d=9,6a1+15d=36, 解得 a1=1,d=2, 所以 an=a1+n1d=2n1，即等差数列 an 的通项公式为 an=2n1(2) am，am+5，ak 成等比数列等价于 2m12k1=2m+92，即 2k1=2m+922m1=2m1+1022m1=2m1+20+1002m1，所以 k=m+10+502m1，m，k 是正整数由于 m，k 是正整数，故 2m1 只可能取 1，5，25当 2m1=1，即 m=1 时，k=61；当 2m1=5，即 m=3 时，k=23；当 2m1=25，即 m=13 时，k=25所以存在正整数 m，k，使 am，am+5，ak 成等比数列， m 和 k 的值分别是 m=1，k=61 或 m=3，k=23 或 m=13，k=2519. 【答案】(1) 由 ON=OA+1O