高中数学专题五 函数与导数 第4讲 导数的综合应用

1、高中数学专题五 函数与导数 第4讲 导数的综合应用已知函数 fx=lnx+x+2，gx=exax+x+2 且 0fx已知函数 fx=e2xexax，且 fx0(1) 求 a 的值；(2) 若 fx1=fx2，x1x2，求证：ex1+ex22已知函数 fx=ex1+mlnx，其中 m0，fx 为 fx 的导函数，设 hx=fxex，且 hx52 恒成立，求 m 的取值范围已知函数 fx=ln1+xasinx，aR(1) 若 y=fx 在点 0,0 处的切线为 x3y=0，求 a 的值；(2) 若存在 x1,2，使得 fx2a，求实数 a 的取值范围已知函数 fx=13x3ax2+x+1(1) 若

2、 a=3，求 fx 的单调区间；(2) 证明：fx 只有一个零点已知函数 fx=2xlnax+alnx(1) 当 a=e 时，求曲线 y=fx 在 x=1 处的切线方程；(2) 讨论函数 fx 的零点个数答案1. 【答案】要证 gxfx，即证 exaxlnx，当 01，axlnx0，不等式显然成立；当 x1 时，xlnx0，结合已知 0a12e2 可得，012e2xlnx，即证 2ex2xlnx0，令 hx=2ex2xlnx，则 hx=2ex2x1xx2，令 x=2xx2x1x，则 x=2xex21，且在 0,+ 上单调递增，因为 1=2e10，所以存在 x01,2 使得 x0=0，即 2x0

3、ex02=1，所以 x 在 1,x0 上单调递减，在 x0,+ 上单调递增，又 1=10，2=0，故当 x1,2 时，hx0，hx 单调递增，所以 hxh2=1ln20，故 hx0，gxfx 得证2. 【答案】(1) 因为 f0=0 且 fx0 恒成立，所以 f0 是 fx 的最小值，也是极小值，它的必要条件是 f0=0，得 a=1以下证充分性：当 a=1 时，fx=e2xexx， fx=2e2xex1=2ex+1ex1，则在 ,0 上，fx0，fx 单调递增，故 f0 是 fx 的最小值，也是极小值综上得，a=1(2) 由（1）不妨设 x102，只需证 ex1+ex2ex1+ex212，即证

4、 1ex1+ex2ex1+ex2112，即证 1x1x2ex1x21ex1x2+112设 gt=et1et+1t2t0，则 gt=2etet+1212=et122et+120，即 et1et+1t2因为 x1x2x1x22，即 1x1x2ex1x21ex1x2+123. 【答案】由题意知，fx=ex1+mx+mlnxx0， hx=fxex=1+mx+mlnx， hx=mx1x2x0，由 hx0，得 x1，所以函数 hx 在 1,+ 上是增函数；由 hx0，得 0 x0，当 x1,2 时，hx2+sinx1+xln1+x，令函数 x=2+sinx1+xln1+x，x1,2，则 x=cosxln1

5、+x131+20，则当 x1,2 时，hxx0，故函数 gx 在 1,2 上单调递增，gxmax=g2=ln32+sin2，则当 aln32+sin2 时，存在 x1,2，使得 fx2a5. 【答案】(1) 当 a=3 时，fx=13x33x23x3，fx=x26x3令 fx=0，解得 x=323 或 x=3+23当 x,3233+23,+ 时，fx0；当 x323,3+23 时，fx0 在 R 上恒成立，所以 fx=0 等价于 x3x2+x+13a=0设 gx=x3x2+x+13a，则 gx=x2x2+2x+3x2+x+120 在 R 上恒成立，当且仅当 x=0 时，gx=0，所以 gx 在

6、 ,+ 上单调递增故 gx 至多有一个零点，从而 fx 至多有一个零点又 f3a1=6a2+2a13=6a162160，故 fx 有一个零点综上所述，fx 只有一个零点6. 【答案】(1) 当 a=e 时，fx=2xx+elnx，则 f1=2，fx=2lnxx+ex，f1=1e，所以曲线 y=fx 在 x=1 处的切线方程是 y2=1ex1，即 1exy+1+e=0(2) 显然 a0，函数 fx 的定义域为 0,+， fx=2lnalnxx+ax，令 gx=fx=2lnalnxx+ax，则 gx=1x+ax2=axx2，当 0 x0，当 xa 时，gx0，所以 gx 在 0,a 上单调递增，在

7、 a,+ 上单调递减，则 gx 有最大值且 gxmax=ga=lna2，当 lna20，即 00，即 ae2 时，ga0， g1=2lna1a，令 ha=2lna1aae2，则 ha=2a1=2aa0，所以 ha 在 e2,+ 上单调递减，ha41e2=3e20，即 g10，gx 在 0,a 上单调递增，所以存在 x11,a，使得 gx1=0，当 0 xx1 时，gx0，当 x1x0，即当 0 xx1 时，fx0，当 x1x0另一方面，ga2=2lnalna2a2+aa2=a2+aa20 且 gx 在 a,+ 上单调递减，所以存在 x2a,a2，使得 gx2=0，当 ax0，当 xx2 时，gx0，即当 ax0，当 xx2 时，fx0，因此，当 0 xx1 时，fx0，当 x1x0，当 xx2 时，fx0，即 fx 在 0,x1 上单调递减，在 x1,x2 上单调递增，在 x2,+ 上单调递减，由于 fa=0，且 x1ax2，所以 fx 在 x1,x2 上有唯一零点，且 f