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文档简介
1、2012年第八届北方数学奥林匹克邀请赛试题及解答第一天FDEBn匚N_):满足咗一吨一一吒=111:求11-T2Tn5=n1.如虱在ABC:ZC=90M是内心一直线EJ交AU于D作DE平行TA7交BC于&直线ET交于F证明:DF垂直于41一的最大可能值一设S=rx=(Tabb.a.bQ一求证:JTJ若皿S:31m,则yS:若m.nE足则mnS.平面上有n(n4)条直线对于直线aTb:在余下的n2条直线中=如果至少存在两条直线与直线a.b都相交侧称直线込b是相合的直线对匚否则称其是相离的直线对一若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求冗的最小可能值(宜线对中的两条aSFtHI
2、W).2012年第八届北方数学奥林匹克建请赛第一题第二天1-已知数列阳:旬=0=S=n匸N-在数列s中任意取定一项%构造数S-12列bn.bo=%爲=咛一讥匚N-试判断数列亦是有限数列还是无穷数列?并给出证明-2.设H.是正暑t证明3一如图:S5边形ABCDE电BC=DE:CD羽尸EE:ABAE:若ABAC=DAEZ4RAE且瓦=云方求证:AC平方线段HE(四边形BCDE必须是等腰梯形否则命题不成立:有反例)2012年第八届北方數学奥林匹克谨请赛第七题4一设戸是素数:如果存在正整数!2使p|+l:证明:缺I1一-没有小于P的素因子一a+1外+L参考答案ADEB201E年第八届北方數学奥林匹克建
3、请赛第一题如图所示连结CL容易计算得LAID=LICE=4$因为AI羽?TDE:所以AIDE=AAID=ICE:所以I:D:C:E四点共圆一于是AFID=DCE=9OZ:因此AIF=FID-ZAID=4az=MAID.=AI:所以AAFI全等于AADI:从而AF=AD:FI=ID:因此又由FAI=AIAD:AIAI是FD的中垂线一第一题第二题对xxlXn=111模s可知112Xn=3(mod8):因此必然肓n3.举法可知元=3时匚不存在x-xl-zl=111的曲解:所以只需考虑元24一5_1_5fi91当n=4时一取巧=盹=巧=N珥=住此时S=.由柯西不等式有4424-CM3T+22(ZJz3
4、x4).所以巧也巧乞4W21(因为匕是正当715时=此时由柯西不等式有(nS)?冬侃(zf叹)=111-n.综上所述业最大可能值是亍第它第三题(神赐欧拉生)因为a2被3整除,所以a+沙和b4加也被3整除一设a+25=3m:b+2a=3足则a=2nm:b=Imn.注意到a2+ab+b,=(2nm)2+(2mn)2+(2nm)(2mn)=3(m2thn+n2)=3(77?2+m(n)+(n)2)因此若:rUS且ir是3的倍数:那么GS.(2)(asbalatiua)注意到恒等式(a+a&+,祥)(c+cd+护)=(ac.bd)2+(acbd)(ad+bti斗&c)+(ad+bti+be)2即可-第
5、二天第一注意到因为bn=牛可得為_1bn-ibn=+1=&n-i=;这说明如果加=%则&!=斑一i=以此类推=可知bk=%=0:于是不存在&fc+i递推式分母为耳所赠列偽是有E觀列第二天第二题考虑加强命题我们设(1+)(1+右)(1+圭)如为了利用归纳法匚则必须W2-f(n一1),只需?两足1fg)負仇-1)3n+1%显然此时可以取畑=为了能够归纳必须验证況=1时是成立的匚即这是显然的-另外一44乍法是引理当IEE(1.4-00)时:Whi(lI)IE.n(l_扌)u(i_*)n(l春)w52.只需证1113F丽犬注意到11113Fne=1即可一第二题第三题勿侥年第八届北方数学奥林匹克谨请赛第
6、七题设工=ABAC=ZAE:y=ZCAD:再令a=BCA:尸=ZACK7=ZSDA8=ADE.由条件我们有四边形BCDE是梯形=因此BD=CE:BCE=ABDE:即a-=7-0.下面我们证明sinasinQ=sin7sin&.注意到由IE弦走理有ABsinaAEsin$BCsinirTCEsinzy)ABsin7AEsin0BDsin(zy)DEsint因为BC=DKBD=CE:所以曲asin3=sinsin比因此CO(QCO(Qf0)=COS(7&)CO(7S),扫“OOOIHUBFN十opqpz追E”凰体换旧印EaGmFfr,gHg“Lnd”E8LHg灯泪6+LHg.cHo8.LHgu遥(枷舉柳Esffi划T总I)”(61fH(gI璽IIII,bfcHmF眼直殂”盜B-HLHgc汕IIIHQS黑带第二天第四题因为P是奇素数:所以必然有P不整除d于是由费马小走理有dPk(mod皿即a-1被P整除因为对正曲见有因此对奇素数p有(h_1.)=(a_1.应1_应_l_I)=(a-1,(护T(-1厂)-(严-(-1)P_?)(a-l)-p)=一=P-设q是小于p的素数且g是手于的素因子:则d-l=于是血如L设元是满足an=1(modq)的最啲TF翠数:则n2p:所以n=1.2.p.2p.然而由费马小定理知护T=1(mod处所以n小于因此只需考虑n=l:n
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