函数不等式问题

1、O北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育聪明在于勤奋，天才在于积累 函数不等式问题在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数与导数交汇 的重要题型，这类问题由于比较抽象，很多学生解题时，突破不了由抽象而造成的解题障碍.实际上，根据所解不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法.典例(2015全国卷H)设函数f(x)是奇函数f(x)(xC R)的导函数，f( 1) = 0,当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A.(巴1)U (0,1)B. (-1,0)U(1, +8)C.(巴 1)U(1,0)D. (0,1) U(1, +8)答案：

2、A思路点拨观察xf (x) f(x)0时，F (x)0,即找到x与F(x)的符号相同的区间，易 知当 xC (8, 1)U(0,1)时,f(x)0,故选 A.法二：构造具体函数求解设f(x)是多项式函数，因为f(x)是奇函数，所以它只含x的奇次项.又f(1) = f( 1) = 0,所以f(x)能被x21整除.因此可取f(x)= x-x3,检验知f(x)满足题设条件.解不 等式 f(x)0,得 xC(8, -1)U(0,1),故选 A.解题师说抽象函数的导数问题在高考中常考常新，可谓变化多端，解决此类问题的关键是构造函数，常 见的构造函数方法有如下几种：(1)利用和、差函数求导法则构造函数对于

3、不等式f (x)+g (x)0(或0(或 k(或0(或0(或0(或0(或0(或0(或0(或0(或0(或 0(或0(或 0(或 0(或0(或0),构造函数F(x) = Sx)； e应用体验1lg x+ 1.定义在R上的函数f(x),满足f(1) = 1,且对任意xCR都有f (x)-a-2一的 解集为.答案：(0,10) .x+ 1 . . 一 1解析：构造函数g(x) = f(x)2，则g (x)=f (x) 2g(1),，lg x1,解得 0Vx10.原不等式的解集为x0 x10. 2,已知定义在o, 2川的函数f(x)的导函数为f1 (x),且对任意的xC o, 2j,都有f (x)sin

4、 xf(x)cos x,则不等式f(x)2f6，Sin x的解集为.答案：E 2)解析：构造函数g(x)=3,则g (x) = f(xsin x丁(xcos x。.)在L 内为减函数.由 sin xsin x2的2f 6sin X,得住2f-即 g(x)g兀sin26- 6x2, .原不等式的解集为dx1的解集为()(-V2,柩C. (2,3)D.(巴72) U (2, +8 )解析：选A 由y=f (x)的图象知，f(x)在(一8, 0上单调递增，在(0, +8)上单调递减，又 f(2)=1, f(3)=1, f(x26)1 可化为2x2- 63,解得3vx2 或 2vx3.已知f(x)的定

5、义域为(0, +8),，(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)(x1)f(x21)的解集为()A. (0,1)B. (1, +8)C. (1,2)D. (2, +8)解析：选D 因为f(x)+xf (x)0,所以xf(x) (x2- 1)f(x2-1),所以 x+12.3. (2018沈阳质检)已知定义域为x|xw0的偶函数f(x),其导函数为f (x),对任意正实数x满足.-2xf (x)-2f(x),右 g(x)=xf(x),则不等式 g(x)0时，xf (x) + 2f(x)0,所以g (x)0,所以g(x)在(0, + 00)上单调递增，又f(x)为偶函数，则g(x)也是偶函数，所以

6、 g(x)=g(|x|),由 g(x)g(1),得 g(|x|)g(1),所以|x|1lx* 0所以 xC (-1,0)U(0,1). TOC o 1-5 h z 4.设f(x), g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数.当 x0,且g(- 3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集为()A. (-3,0) U (3, +8 )B. ( 3,0) U (0,3)/C.(巴 3)U(3, +8)D.(巴 3) U (0,3)，” / 最解析：选 D 设 F(x)=f(x)g(x),当 x0,/1F(x)在(一8, 0)上为增函数.又; F(-x)=f(-x)g(-x) = - f(x)g(x

7、)=- F(x),故 F(x)为 R 上的奇函 数.F(x)在(0, +8)上也为增函数.由 g(-3)=0,得F(-3)= F(3) = 0.画出函数F(x)的大致图象 如图所示，F(x)0的解集为x|x 3或0vx3.已知函数f(x)是定义在(0, +8)上的非负可导函数，且满足xf (x) + f(x)W0,对于任意正数a, b,若ab,则必有()A. af(a)wf(b)B. bf(b)wf(a)C. af(b)bf(a)D. bf(a)af(b)解析：选 C - xf， (x) + f(x)0, f(x)0.，f (x)w ,即 f(x)在(0, + )上是减函数.又 0ab, 1.

8、 af(b)x2,则下面的不等式在R上恒成立的是()A . f(x)0B. f(x)xD, f(x)0 时，g (x)0,g(x)g(0),即 x2f(x)-1x40,从而 f(x)4x20;当 x0 时，g (x)g(0),即 x2f(x)-1x40,从而 f(x)4x20;当x= 0时，由题意可得2f(0)0,f(0)0. 综上可知，f(x)0.法二：.2f(x)+xf (x)x2,令 x= 0,则 f(0)0,故可排除 B、D.如果 f(x)=x2+0.1,已知条件 2f(x)+xf (x)x2成立，但f(x)x不恒成立，故排除 C,选A.已知函数f(x)的定义域为R,f(1)=2,对任

9、意xC R,f (x)2,则不等式f(x)2x+ 4的解集为()A . (1,1)B. ( 1, + )C. (00, 1)D. (00, +oo )解析：选B 令m(x)= f(x)- (2x+ 4),则m (x)=f (x)20,.函数 m(x)在R上为单调递增 函数.又,m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,m(x)0 的解集为x|x-1,即 f(x)2x+4 的解集为(一1,+ 8).设函数f(x), g(x)在区间a, b上连续，在区间(a, b)上可导，且f (x)g(x) B. f(x)g(x) C. f(x) + g(a)g(x) + f(a) D. f(x) + g(b)

10、g(x)+f(b) 解析：选 C 令函数 h(x) = f(x)g(x).因为 f (x)g (x),故 h (x)=f(x)g(x) =f (x) g (x)0,即函数 h(x)在区间a, b上单调递减.所以 xC (a, b)时必有 h(b)h(x)h(a),即 f(b) g(b)f(x) g(x)f(a) g(a),移项整理得，f(x) + g(a)g(x) +f(b),故选项 C 正确.函数f(x)是定义在R上的偶函数，f( 2)=0,且x0时，f(x) + xf (x)0,则不等式xf(x)0的解 集是()A . 2,0B, 0,2C. -2,2D. -2,0 U 2 , +0o )

11、解析：选D 因为x0时，f(x) + xf (x)0,故构造函数 y=xf(x),则该函数 在(0, +8)上单调递增.又因为f(x)为偶函数，故y=xf(x)为奇函数.结合f( 2)=0,画出函数y=xf(x)的大致图象如图所示.所以不等式xf(x)0的解集为2,0U2, + 8).函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)=0,且x0时，xf (x)0的解集为()( 8, 0)-3,0 U 3, +8)C. 3,3D. 0,3解析：选B 令F(x) = 3,因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以 F(x) x为偶函数，当x0时，Ff (x) =奸 x 2Tx 0的解集为3,0U3, +81

12、1.函数f(x)是定义在R上的可导函数，且 f(x)f 是()f(2 018)e2 018f(0), f(2 018)ef(2 017)C. f(2 018)ef(2 017)解析：选 D 令函数 g(x) = fexj 由 f(x)f (x),).(x)对任意xC R都成立，则下列不等式中成立的f(2 018)e2 018f(0), f(2 018)ef(2 017)D. f(2 018)e2 018f(0), f(2 018)ef(2 017)exf fxexfx)得 f (x) f(x)0,所以 g (x)=L：2xL Jef (x)ffx 口口十出j f(x V ,斗、让山耳2 018

13、f f(2 017f f0 an. e， 0,即函数g(x) = -拄R 上单倜递减.所以，e2 018，e2 017e0，即有f(2 018)ef(2 017),f(2 018)k1,则下列结论中一定错 误的是()解析：选C令 g(x)=f(x)-kx+1,则 g(0)=f(0)+1=0, g3 != fM jk亡+1 = fMj77.g (x) = f (x)k0, . g(x)在0, + 8)上为增函数.又k1, .1七0,gk 1k 1g(0)=0, f后六0，即f Sr ,亡.二、填空题.设f(x)是定义在 R上的可导函数，且满足 f(x)+xf (x)0,则不等式f(Vx7)Vxn

14、fp/x2-1) 的解集为.答案：1,2)解析：令 g(x) = xf(x),则 g (x)= f(x) + xf (x)0 ,g(x)是 R 上的增函数.又 f(x+ 1).x 1 f( 4x2 1 )可等价转化为 x+ 1 f(、x+ 1 ) g(Mx2 1 ),所以Mx+ 14x2- 1 ,及一 10,解得1Wx2, .原不等式的解集为x|1Wxx； 则不等式(x+2 018)2 f(x+ 2 018)-4f(-2)0 的解集为 .答案：(巴2 020)解析：令 g(x) = x2f(x),则 g (x)=2xf(x)+x2f (x).结合条件 2f(x) + xf (x)x2,将条件两边同时 乘以 x,彳2 2xf(x) + x2，(x)x30,即 g (x)0,即 g(x+2 018)g(-2),得 x+2 018-2,解得 x 2 020, ，原不等式的解集为(一8, - 2 020).已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f (x),满足f仅),且丫= f(x+1)为偶函数.f(2) =1,则不等式f(x)ex的解集为 .答案：(0, +8)解析：令 h(x)=f, 则 h (x)=f m。, h(x)在R上是减函数，又y=f(x+1)是偶函数， ee，y=f(x)的图象关于直线x=1 对称，. f(2) = f(0)=1.由 f(x)ex,得隼91,又