初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题18直角三角形-答案精品

1、专题18直角三角形2c c212例 1 (1) 12 或 30; 6 或 30;提不：x x1 25,得 x3；由 x5 x 1 ,得 x10(2) 提不：作DEE!AB于 E,设CI=,则BE=13-5=8 ,D占，B312-,由 x28212 x31033 .BCA135例2 B 提示：过B作BDLAC延长线于D点，设CD=, BD=y,可求得：=y,则/ BCD45 ,故/ 例3 / ACB75。 提示：过 C作CQL AP于Q 连接BQ则AQ=BQ=CQ 例4 提示：过 E作EGL AB于G,先证明Rt EAG RtAABC；再证明 EF9 DFA例5连接AC. AD=DQ ZAD(=

2、60 ,. ADO等边三角形，D(=CAAQ以BC为边向四边形外彳等边三角形BCE即BC=BE=CE则/ BCE=ZEB(=ZCEB60 ,./ABE=/ABG/EBC90 ,连接 AE,则 AE2 AB2 BE2 AB2 BC2 , 易证 BDC2 EAC 彳导 BD=AE 故 BD2 AB2 BC2 .例6过A作AE BC于E, 设 DE=, BD=u, DC=v, ADt ,则 AE2b2vx 2 c2ux 2t2 x2 , TOC o 1-5 h z 故 t2b2v22ux, t2c2 u22ux ,.22. 22 2 b u c v2 b BD c CD消去得t uv,即AD BD

3、D(u vaA级1 . 14 2 . 3 3 . 135又AB=5,则2v61提示：延长 AD至E,使DE=AQ连接BE,则 AC坐 EBD，BE=AG13,AE=12,/ BAB90 ,D 6 . C 7 . C 8 . B 9 .提示： ADC BEA / BP60 . (1) (2)略 (3)提示：AB AP BP, CP 之间的关系是 AP2 AB2 BP CP8 162.54.5254 5112 . 10.提示：满足提议的点有4个，作别分别为：8,-,/5 ,纯，型5 ,工/5 5555526013提示：将4 PACg A点顺时针旋转90 ,.32 或 42提示：分类讨论。4.6.C

4、提示：设直角三角形两直角边长为a,(aw b),则 a,a2 b21一 ab2（a, b,均为正整数）化简得:(a-4)(a- b)=8 ,ka 4 1或kb 4 8kakb24,解得（,a,b) = (112)或（2, 3, 4）或（1,6, 8).1694提示:连接AD,由AAD电CDF得ED=DF, AE=CF=5AF=BE=12,EF8.提示:延长ED至 G,使 D3ED 连接 CG FG 则 BE=CG EF=FG9.解：设此直角三角形的斜边为c,两直角边分别为 a, b,面积为S,则:a b62c-a 2b为整数由得：2c3由得：a2 b226 c ,把代入上式得:3c=9- S,

5、即63c9,而S为整数，从而3c=7或8,a b=11,ab=4,次方程1. 一副三角板，按图11-2-1所示方式叠若3c=7,则S=2,代入、得：3在一起，则图中 的度数是（）.2.如图11-2-2所示,A . 75 B. 60在 ABC43, / ABB/C=/BDC /A=/ABD 则/ A的度数为()图 11 21 图 11 22A. 36 B. 72 C.108 D, 14440。，则这个等腰三角形的顶3.我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为角为（）.A. 40 B. 100 C. 40 或 100 D. 70 或 504 . (1)在 ABO,若/ A：

6、/ B： Z C=2 ： 3 ： 4,则/ A=, / 氏，/ C=. 411 _(2)在ABC4 若 A B C ,则/ C=.23(3)若三角形的三个外角的比是2：3：4,则这个三角形按角分是三角形.已知：如图11-2-3所示，C已AB于点E, ADL BC于点D, / A=30 ,则/ C的度数为.已知：如图11-2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60。，在B处测得灯塔C位于北偏东25。，则/ AC=.图 11 2 3 图 11-2-4.如图 11-2-5 所示，已知/ EGI=/9/F,求/ A+/B+/C+/D的度数.1. (1)已知，如图11-2-6所小，

7、AD是局，AE是/ BAC勺平分线，是说明：DAE -( C B).(2)如图11-2-7所示，在 ABC中，已知三条角平分线 AD BE CF相交于点I ,IHLBC垂足为H, / BID与/ HIC是否相等？并说明理由.图 11 27能力提升.在三角形中，最大角的取值范围是（）.A. 090 B. 60180 C 6090D. 60180.直角三角形中两锐角平分线所成的角的度数是（）A. 45 B. 135 C. 45 或 135 D.都不对11.如图11-2-8所示，把 ABC氏片沿DE折叠，当点A落在四边形BCD西部时，则/ A与/1+/2之间有一种数量关系始终保持不变，那么，你发现的

8、规律是C.A 12B.A2(2)1A (2 12) D.32)12.已知 ABC勺三个内角为/ AA图C1也一,8 ,中，锐角的个数最多为（）A. 013.在 ABC中，BC边不动,点A竖直向上运动,A越越小，/ B / C越越大，若三者之间的关14.在ABC4高BD CE所在的直线相交于点 H,且点H与点R C不重合，/ A=50 ,则/ BHB.15.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰成20。角，则这个三角形的顶角是.16.如图 11-2-9 所示，在 ABC43, AB平分/ ABC AC平分/ ACD A2B平分/ ABQ A2C平分/ ACD AB 平分/ ABQ A3c平分/ ACD

9、若/ A=64 ,则/ A3=;依此类推，若/ A= , / A=图 11 2 917 . （1）如图11-2-10所示，在ABC4 / ABC勺n等分线与/ ACB勺n等分线分别交于 G, G, G,G-1,试猜想：/ BG1C与/ A的数量关系.（其中n是不小于2的整数）.首先得到：当n=2时，如图（a）所示，/ BGC=,当n=3时，如图（b）所示，/ BGC=,，如图（c）所示，猜想/ BG1C三，./A A / /jG-i ZA 二 /B.之-J BC BC B，(a) (b) (c) (d)图 11210(2)如图(d)所示，在四边形 ABC珅，BR CP仍然是/ ABC / /

10、P与/ A / D之间的数量关系为.18.如图 11-2-11 所示，在 ABC43, ADLBC AE平分/ BAC AGLAECBCD勺角平分线，则CGABC勺外角/ ACF的平分A线，若/ G/DAE60。，则/ ACB.19.阅读材料：如图11-2-12所示，AD与CBt目交于Z AOB180 , / C+Z D+ZCOD180 , / AOB/ CO 图形类似数字“ 8，所以我们称之为“ 8”字形.根据上述材料解决下列问题：如图11-2-13所示，BE平分/ ABC DE平分/ ADC 相交十点H.AXw F BEDC图 11 211O点，在 AO帝 COW, / A+/ B+D 所

11、以/ A+/B=/C+/D/ A=48 , / C=46 , BE与 AD相交于点 G, BCW DE(1)仔细观察图11-2-13中有个 8号(2)求/ BED勺度数.(3)试探究/ A, / E, / C之间的关系.工形.(直接写出结论)A. BC图11-ODEHLDC-212 图 11 21320.如图11-2-14所示，已知射线 OMf射线ONE相垂直，B、A分别为OM ONLk一动点，(1)若/ ABM / BAN平分线交于点 C.问：点B、A在OM ONh运动过程中，/ C的度数是否改变?若不变，直接写出结论；若改变，说明理由.(2)如图11-2-15所示，若/ ABO / BAN

12、的平分线所在的直线相交于点C,其他条件不变，(1)中的结论是否成立？若成立，求出其值；若不成立，说明理由.M图 11 214 图 1121521 .如图 11-2-16 所示，在 ADEABC43, / EA!=/AEB/BAB/BCA45 , / BAB / BCF(1)求/ ECF+Z DAC/ ECA勺度数；(2)判断Eg FC的位置关系，并对你的结论加以证明.22.如图11-2-17 (a)所示，在平面直角坐标系中，DEQ勺一个顶点在轴的负半轴上，边口皱轴于点C,且CE平分/ DEQ过点D作直线交轴于点 B,交y轴于点A,使/ AD巨/ BDC已知C(m,0) , E(n,0)其中n满

13、足m 3 (n 4) 0.(1)求点C E的坐标.(2)若/ ABC30。，求/ Q的度数.(3)如图11-2-17 (b)所示，在平面直角坐标系中，若直线AB绕点D旋转，过D作DHL AB,交轴于点G,交y轴于点H,直线AB绕点D转动时，下列结论：/ Q的大小不变； 一Q的值不变.选OHD择一个正确的结论，求其值，并证明你的结论.图 11-2-17中考链接(2011 四川绵阳)将一副常规三角尺按图11-2-18所示方式放置，则图中/ AO皿度数为A. 75 B , 95 C. 105 D , 12024 .一副三角板叠在一起按图11-2-19所示方式放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角

14、板的斜边AB上，BC与DE交于点M如果/ ADf=100 ,那么/ BM师度.图 11218 图 11219巅峰突破1 25.如图 11-2-20 所不，在 RtABC中，/ C=90 , / DAf=- DBA,1 .EBG - EBA,则射线 AF 3与 BG()A.平行B.延长后相交 C.反向延长后相交D.可能平行也可能相交26.如图11-2-21所示，DC平分/ ADB EC平分/ AEB若 A,则/ C=.（用,表不）图 11 220 图 11 221,B(2)如下图所示，过点 G作GML BC于M 连接HF AD/ BC / AHI=Z MFHEH/ FG / EHI=Z GFH，

15、/ AHE:Z MFG又. / A=/GME90 , EH=GF AH卓 MFG GMAE=2., BC=12, BF=a,，FC=12 a.-1 S gfc1FCg3M12 a. GFC勺面积不能等于 2.点H在AD上，菱形边上 EH的最大值为EH . AEAD2 2.37.bf的最大值为2j2r又因为Sgfc 12 a的值随着a的增大而减小，所以S GFC的最小值为12 2印.又12 2J21 2 ,GFC勺面积不能等于2.第三节 梯形基础演练1.C; 2.B ; 3.C ; 4.D ; 5.B ; 6.能力提升 TOC o 1-5 h z 7.D;8.B ;9.A ;10.B ;11.3

16、212.如下图所示，作 DE/ AC交BC的延长线于E,则四边形 AQCE囱平行四边形，AD=CE . AC BQ .BDE=90 . HYPERLINK l bookmark92 o Current Document 111梯形的中位线长一AD BCCE BC-BE. HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 222BEBD2 DE2、92 122 15. 1，梯形的中位线一15 7.5.2.(1)如下图所示，把等腰梯形的两腰分别延长后可得一个边长为2的等边三角形所以它可以由一个边长为 2的等边三角形，沿着中位线的位置形剪一刀而得(2)四种.分别用3

17、, 4, 5个小梯形拼出较大的等腰梯形 .3个梯形，周长为11cm,如下图所示；5个梯形，周长为17cm,如下图所示;5个梯形，周长为11cm,如下图所示;. (1) AB/ DE1=/ADF/ 1 = Z2,2=Z ADF，EA=ED又 AGDEEGEFADf=Z DFC.EAD及4ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知/.AD/ CF 又.CF 2cm 3cm.21. (1)略.(2)解：如下图所示，延长 CD和BE的延长线交于H,H ABC. BF，CD / BEC90 , ./ HEC90 , ./ EBF+Z H=ZECH+Z H=90 ,.Z EBF=/ ECH

18、. BE=CE / BEB/ CEH BE窿 CEH(ASA,. EGEH BGCHDF+CD. BAE CDE / AEB:Z GED / HED/ AEB . / GED/ HED. ED=EQGED2 HED(SAS,DGDHBGDGCDDG2cm, BG=6cm, .CD=BG- DG4 (cm)第四节线段中点的应用基础演练1. C ; 2.C ; 3.B ; 4.C5.如下图所示，连接 CM AM/ DABZ BCD90 , M为 BD中点，一 1 _.CM=- BD=AMAM等腰三角形2. N为 AC中点，MNIL AC如下图所示，连接 BQ取BD的中点H连接HF HE6.如下图所

19、示，连接 PR PQ ABB等边三角形，.AB=AG=BC Z AfZ B=ZC=60 . MP淀等边三角形，PS=PM / MPS60 . P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC的中点，1 -1 -PQ/BC, PR/ AC. ，PQ=PR =22.PQ型坦:AC* J*PQ=PR. / AP/BPR60 , ./ RPQ180 2X 60 =60 .又 / QPSZ MPS-Z MPQ60 -Z MPQ/ RPM/ RPQ- / MPQ60 -Z MPQ/ QPS/RPM /PR阵APQS pmfqs7. AGD直角三角形.F是AD的中点，1/HF/ AR HE=AB . . / 1 =

20、 Z 3.21 一，八同理，HE/ CD HE=CD，/ 2=/EFC2AB=CQHF=HE1 = /2,/ EF(=60 ./ 3=/EFC=/AFG60 .AGF等边三角形.，AF=GF，GF=FDFGD/FDG30AGD90 .即AAG*直角三角形.能力提升8.圭9.396410. .点E F分别是AD AB的中点,，八八. EF/ BQ . - EF=-BD, . / FCD：/ CFE在ABC43, / ACB90 .1.E 是 AD的中点，CE=-AD2. AD=BD, . . EF=CE. Z ECFZCFE/ FC摩/ECF即CF是/ ECB勺平分线.11.如下图所示，取 AD

21、中点G连接EG FG.E是AC的中点，EG是ACD勺中位线.-11EGCD 同理可证：FG AB221 _在EFG4 EF EG FG . . . EF CD AB 212. .点E F、G分别是BC AB AC的中点,-1 -FG/ BC FE/ AC FE=-AC . . FG/ ED2.FE/ AC DG AC是相交的，DG EF不平行.，四边形EFGD1梯形.AD是三角形的高， AD溪直角三角形一人，一 1 八D佻斜边上的中线，DGAC2. DGEF. .梯形EFGDI等腰梯形.13. (1)如图(a)所示，连接CF,线段CF与FE之间数量关系是 CE J2FE ;(2) (1)中的结

22、论仍然成立先送2根，再送4根，二次共走行驶:100010021100 40025200 米；先送4根，再送2根，二次共行驶：100030021300 20025600米；(2)两次各送3根时，所行路程为100020021200 30025400米.故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为： TOC o 1-5 h z 100010021100 40021500 40021900 400 22300 40019000 米故所用最少油费为19000mn 1000 19mn元例6如图所示，在 ABC中，/C=90 ,BG5,AB=13.点P到BC CAAB的距离分别为d1,d2,d3,111112d2

23、113d3-5 12.即222 HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 1.连接PA, PB, PC,由三角形的面积公式知：一5dl 25dl 12d2 13d3 13 dl d2 d354 12d2 13d3 60 .显然有 5 dl d2 d3故6013d1 d2 d312.当2 d3 0时，有 d1 d2 d3 12,即 d1 d2d3取最大值时，P与A重合；当d1 d2 0时,有 d1d2,607d3日即ad2 d3取最小值时，P与C重合.1.27 原式=3 a2b2c2A级a b c 2 272.6323 90 A 2 A B BC3.15

24、 提示：3266270 ABC 90 1566c14.2提示：b a c,a2c1一c信 a c c,.故2a2a5.D6.B7.A8.Ba c b, 2a1 .2cc, -2 ,又把baa c代入b c中,、儿 x 12 y z 39.设k ,贝U x 2k 1, y HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 2343k 2, z 4k 3.2k 1 0 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 121 x, y, z均为非负头数.， 3k 2 0 ,解得： 一 k 一. HYPERLINK l bookmark

25、45 o Current Document 234k+3 03x 4y 5z 3 2k 14 3k 25 4k 314k 26.3513121 14 26 14k 26 2 14 26,即 1923所以 的最小值是19,最大值是351. 310.20套.1800元.提示：设生产L型号的童装套数为x,则生产M型号的童装为 50 x套，所得利润S 45x 30 50 x 15x 1500.0.5x 0,9 50由x 0.2 50 xx 3826得 17.5 x 20,x 18,19, 20.11.最小表面积的打包方式为2X3.最小表面积为17952 mm21.27当 b 2, a25时,2.102

26、提示：mn 19n3.1157提示：a5b万, 04.B, D,E 93.62 百元5.138006.C7.Ba b的值最大.98 , 19n 98 0.8b , 64b一，d 525元 提示：设由甲库调运吨粮食到5x 6 600 x 6 800 x 92x 13800 0 x 600提示：a bM 2.B市，总运费为y元，则600 x提示：设S AOD8. (1)a1a2Lx,则SBOC36.故 Sg边形ABCDx133613 236 xg 25.a1a2 L1时,2 a20022 a200222a12012a22 L2 a20022m20122m.a2La20021或1时，m取最大值2003001.当 a1， a2, L,a2002 中恰有 1001 个 1, 1001 个m取最小值 1001.(2)因为大于2002的最小完全平方数为4522025，且 a a? La2002必为偶数，所以a1a2 La200246 或 46；即 a1,a2002中恰有1024个1 , 978 个 1 或 1024 个 1 , 97812个1时，m取得最小值一462 2002257.由条件得：a20, a22ai2 4al 4,L ,a20062a200524a20054,以