全国高中数学竞赛试卷及答案

1、2021年全国高中数学联赛四川赛区初赛试题2021年5月18日(14：30一16：30)一、选择题(本大题总分值30分，每题5分)设集合，那么集合的非空真子集的个数为 A13 B 14 C 15 D 16在公差为4的正项等差数列中，与2的算术平均值等于与2的几何平均值，其中表示数列的前三项和，那么为 A38 B 40 C 42 D 44某学校的课外数学小组有8个男生和6个女生，要从她们中挑选4个组成代表队去参加比赛，那么代表队包含男女各2人的概率为 A B C D 设有一个体积为54的正四面体，假设以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，那么所作四面体的体积为 A1 B 2 C 3 D 4椭圆的

2、左顶点为，右焦点为，点为椭圆上的一点，那么当取最小值的时候，的值为 A B3 C 5 D 设那么的最小值为 A B C 1 D二、填空题本大题总分值30分，每题5分函数的最小值为_ . 函数对任意的满足，且，那么_.设数列满足：，那么的最大公约数为_ .123456789正实数满足，那么的最小值为_ .用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为的9个小正方形如图，使得任意相邻有公共边的小正方形所涂颜色都不一样，且“3、5、7号数字涂一样的颜色，那么符合条件的所有涂法共有 _ 种。数列、满足：，且，那么_. 三、解答题本大题总分值80分，每题20分是否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都有

3、成立？请给出结论，并加以证明设是抛物线的焦点，橙子奥数欢送您，为抛物线上异于原点的两点，且满足延长分别交抛物线于点如图求四边形面积的最小值与的边分别相切于和，与外接圆相切于，是的中点如图求证：，其中正整数1求证：对于一切的正整数，都；2求的最小值，其中约定2021年高中数学联赛四川赛区初赛试题参考答案与评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间

4、档次.一、选择题(本大题总分值30分，每题5分)1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、C二、填空题本大题总分值30分，每题5分 7、8 8、 9、3 10、 11、108 12、三、解答题本大题总分值80分，每题20分13、是否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都有成立？请给出结论，并加以证明解：存在符合条件的二次函数 5分设，那么当时有： ； ；联立、，解得于是，10分下面证明：二次函数符合条件因为，同理：； 15分所以，所求的二次函数符合条件 20分14、设是抛物线的焦点，为抛物线上异于原点的两点，且满足延长分别交抛物线于点如图求四边形面积的最小值解：设，由题设知，直线的斜

5、率存在，设为因直线过焦点，所以，直线的方程为联立方程组，消得由根与系数的关系知：， 5分 于是 10分又因为，所以直线的斜率为，从而直线的方程为：，同理可得 15分故当时等号成立所以，四边形的最小面积为32 20分15、与的边分别相切于和，与外接圆相切于，是的中点如图橙子奥数工作室欢送您求证：证明：如图，连结 分别与相切于 和都是的半径， 5分 由对称性知，且于 ，即 10分又， 15分过作两圆的公切线，那么又，即 故 20分16、，其中正整数1求证：对于一切的正整数，都有；2求的最小值，其中约定1证明：对于一切的正整数，5分2由不等式知 10分 15分当时，等于成立，所以有最小值20分202

6、1年全国高中数学联赛一试试题一、选择题此题总分值36分，每题6分1 HYPERLINK :/ math15 /wiki/index.phpdoc-view-139.html 函数在上的 HYPERLINK :/ math15 /wiki/index.phpdoc-view-789.html 最小值是 CA0 B1 C2 D32设，假设，那么 HYPERLINK :/ math15 /wiki/index.phpdoc-view-666.html 实数的取值范围为 A B C D3甲乙两人进展乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进展到有一人比对方多2分或打满6局时停顿设甲在每局中获胜

7、的 HYPERLINK :/ math15 /wiki/index.phpdoc-view-92.html 概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，那么比赛停顿时已打局数的期望为 A. B. C. D. 4假设三个棱长均为 HYPERLINK :/ math15 /wiki/index.phpdoc-view-598.html 整数单位：cm的 HYPERLINK :/ math15 /wiki/index.phpdoc-view-803.html 正方体的外表积之和为564 cm2，那么这三个正方体的体积之和为 A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 5

8、86 cm3或564 cm3 D. 586 cm35 HYPERLINK :/ math15 /mo/18-1.html 方程组的 HYPERLINK :/ math15 /wiki/index.phpdoc-view-12.html 有理数解的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 46设的内角所对的边成 HYPERLINK :/ math15 /wiki/index.phpdoc-view-201.html 等比数列，那么的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题此题总分值54分，每题9分7设，其中为实数，假设，那么 .8设的最小值为，那么_9将24个志愿者名额分配给3个学校，那

9、么每校至少有一个名额且各校名额互不一样的分配方法共有 种10设 HYPERLINK :/ math15 /mo/shulie_1.html 数列的前项和满足：，那么通项=11设是定义在上的函数，假设 ，且对任意，满足 ，那么=_12一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，那么该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_三、解答题此题总分值60分，每题20分13函数的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的 HYPERLINK :/ math15 /wiki/index.phpdoc-view-787.html 最大值为，求证：14解 HYPERLINK :/

10、math15 /mo/budengshi_1.html 不等式15如题15图，是 HYPERLINK :/ math15 /wiki/index.phpdoc-view-35.html 抛物线上的动点，点在轴上， HYPERLINK :/ math15 /wiki/index.phpdoc-view-39.html 圆内切于，求面积的最小值2021年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试卷试题所涉与的知识范围不超出现行全日制普通高中高级中学数学教学大纲中所规定的教学内容和要求，在方法的要求上有所提高，主要考察学生对根本知识和根本技能的掌握情况，包括10道填空题和3道解答题，全卷总分值100分，考试时间

11、为120分钟.填空题每题6分，共60分函数，假设f(-1)=1.62，那么f(1)=_.定义b-a叫集合x|axb的“长度.设M=x|mxm+，N=x|n-xn，且M、N都是集合x|0 x1的子集，那么集合MN的“长度的最小值为_.设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a+b-c=1，长方体的对角线长为1，且ab，那么c的取值范围是_.假设关于的方程a2x+(1+lgm)ax+1=0 (a0且a1)有解，那么m的取值范围是_.对于任意nN*，抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴相交于An、Bn两点，那么|A1B1|+|A2B2+|A2021B2021|=_.某文娱队的每位队员

12、至少会唱歌、跳舞中的一项,该文娱队共有n名队员，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人.现从中选出2人，设为选出的2人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(0)=，那么n=_.一个圆周上有9个点，以这9个点为顶点作三角形，当这三个三角形的边互不相交时，我们把它称为一种“构图，那么不同的“构图共有_种.点A(4，0)、B(2，2)，M是椭圆上的动点，那么|MA|+|MB|的最大值为_.向量、满足|=|=2，|=1，-=0，那么|-|的取值范围是_.角、满足2sin2+sin2-2sin=0，那么cos2+cos2的取值范围是_.解答题共40分11.12分有n把看上去样子一样的钥匙，其中只有一把能把大门上的

13、锁翻开。设抽取钥匙是相互独立且等可能的，每把钥匙试开后不再放回，求试开次数的分布列与数学期望E12.14分函数f(x)=-2x+4，令，假设不等式恒成立，求实数a的取值范围13.14分设椭圆C1的方程为，曲线C2的方程为y=,且C1与C2在第一象限内只有一个公共点P.1试用a表示点P的坐标；2设F1、F2是C1的两个焦点，当a变化时，求的面积函数f(a)的值域；3设g(a)是以C1的半焦距为边长的正方形的面积，求函数y=minf(a)，g(a)的表达式。2021年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试卷参考答案与评分标准填空题题号12345678910答案2.380，0，10-35910+2，1，2解

14、答题11.的分布列为12nP.10分E=1+2+n= .12分12.Sn=由，得 4分显然，a0.1当a0恒成立，那么an0，矛盾，所以a0时，因为an0，由式得a由于随n的增大而减小，故当n=1时，1+取最大值，从而a.即. 14分13. 解：1将y=代入椭圆C1的方程，得，化简得b2x4-a2b2x2+a2=0，有条件有=a4b4-4a2b2=0，得ab=2，解得故P点的坐标为 .4分2得.9分3g(a)=c2=a2-b2=a2，由g(a)f(a)得a2，整理得a8-10a4+240，即a4-4a4-60，解得故y=minf(a)，g(a)= 14分2021年全国高中数学联赛湖北赛区预赛宜

15、昌赛区组织工作的几点说明各高中：根据全国高中数学联合竞赛湖北赛区组织委员会文件精神，为切实组织好2021年全国高中数学联赛，现就宜昌赛区有关工作安排说明如下：1、湖北赛区预赛时间为：2021年5月23日星期六，北京时间：8:0010:00。2、预赛命题内容与形式：根据现行“高中数学竞赛大纲的要求，“全国高中数学联赛一试所涉与的知识范围不超出教育部2000年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考察学生对根本知识和根本技能的掌握情况，以与综合、灵活运用知识的能力。湖北赛区预赛试题在内容上略有拓展，包括8道填空题每题7分和4道解答题分别为14分、15

16、分、15分、20分，总分值120分。3、湖北赛区预赛试卷于2021年5月21日下发，请各校按时到宜昌市教研中心领取，联系人：曾庆荣， 湖北赛区预赛试卷的标准答案和评分标准将在2021年5月23日考试完毕后公布在网站 HYPERLINK :/202.114.40.2 :/202.114.40.2请自行下载。4、湖北赛区预赛考试完毕后，由各考点校负责组织阅卷和评奖。为兼顾公平和公正，省奖设定以校为单位统一划线，其中省一等奖占参赛学生总人数1%，二等奖占4%，三等奖占15%，最后省一、二等奖确实定由宜昌市教研中心送省统一审定。5、各校应于2021年5月27日前将获得湖北赛区

17、预赛一等奖的学生的试卷寄或送宜昌市教研中心曾庆荣教师处 0717-6440149，并将获奖湖北赛区预赛一等奖、二等奖、三等奖学生的成绩表含学生姓名、考号、学校、指导教师、考试成绩、获奖等级等工程的电子版Excel排版发送到电子邮箱： HYPERLINK mailto:fjm002tom fjm002tom 。对一等奖获得者的指导教师颁发“辅导学生成绩突出证书。6、根据联赛组委会规定，湖北赛区预赛收费7元，其中4元上交省市作为组织考试、制卷、评奖等开支，剩余3元作为学校组织考试与阅卷。有关费用在提取试卷时一并上交。7、湖北赛区宜昌预赛各校要成立专班，精心安排考场，每个考

18、室40人，要严肃考试纪律，不得更改考试时间，严禁弄虚作假，要切实维护考试的权威和公平，确保考试成绩真实有效。竞赛期间市竞赛组委会将统一派巡视员巡视。宜昌市教育学会数学专业委员会二OO九年三月十八日2021年高中数学竞赛预赛人数报名表学 校人 数领 卷 人夷陵中学宜昌市一中枝江一中兴山一中葛洲坝六中长阳二中三峡高中枝江二中当阳一中宜昌外校长阳一中宜都一中宜都外校远安一中宜昌市七中当阳二中秭归一中宜昌市二中合 计2021年全国高中数学联赛青海赛区初赛A试题填空题每题7分，共56分1、数列中，那么数列通项公式 .2、，那么 .A BC D3、将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号

19、码不同，其余完全一样。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为b，那么使不等式a-2b+100成立的事件发生的概率等于 .4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色允许只用其中几种，使邻区有公共边的小格不同色，那么不同的涂色方式种数为 .5、设点O是ABC的外心，AB=13，AC=12，那么 .6、设函数那么函数的图像与x轴所围成图形中的封闭局部的面积是 .7、过直线上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，那么椭圆的方程为 .8、把一个长方体切割成k个四面体，那么k的最小值是 .BCADE二、解答题第9题14分，第10题和第11题各15分

20、，共44分9、如图，设D、E是ABC的边AB上的两点，ACD=BCE，AC=14，AD=7，AB=28，CE=12，求BC10、假设不等式对于任意正实数x、y成立，求k的取值范围.11、数列满足：令，k=1、2、3、；求.2021年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题一、填空题每题6份，共60分，此题共10小题，要求直接将答案写在横线上 1.集合，那么= ；2图1是一个算法流程图，假设输入那么最终输出的数据是 ；3设圆的一条切线与轴、轴分别交于点、，那么的最小值为 ；4函数，假设关于的方程有两个不同的实根，那么实数的取值范围是 用区间形式表示 5设是定义在R上的奇函数，当时，是增函数，且对任意的，

21、都有，那么函数在敬意-3,-2上的最大值是 6对于假设是3的整数倍，那么被6除所得余数构成的集合是 。7如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两个动点，且CDAB,假设半圆的半径为1,那么梯形ABCD周长的最大值是 8如图3，在ABC中，AB=3，AC=5，假设O为ABC的外心，那么的值是 9一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，假设这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，那么该半球的半径R= 10把长为的线段分成三段，这三条线段能构成三角形的概率为 二、解答题每题20分，共60分11设假设对任意的，等式+恒成立，试求、的值。 12如图4,两点、，的内切

22、圆的圆心在直线上移动。(1).求点的轨迹方程；(2).过点作两条射线，分别交(1)中所求轨迹于、两点，且=0，求证：直线必过定点。13函数，数列、满足，(1).求的取值范围，使得对任意的正整数都有(2).假设求证：，第二试一、数列满足，记(1)求数列的通项公式；(2)求数列前项和二、如图，PA、PB为圆O的两条切线，切点分别为A、B，过点P的直线交圆O于C、D两点，交弦AB于点Q，求证：三、设. (1).假设,求证：是完全平方数； (2)证明：存在无穷多个正整数对,使得.四、(1)证明：对任意的有；(2)证明：.参考答案1.集合，那么= ；2图1是一个算法流程图，假设输入那么最终输出的数据是

23、；3设圆的一条切线与轴、轴分别交于点、，那么的最小值为 ；4函数，假设关于的方程有两个不同的实根，那么实数的取值范围是 用区间形式表示5设是定义在R上的奇函数，当时，是增函数，且对任意的，都有，那么函数在敬意-3,-2上的最大值是 6对于假设是3的整数倍，那么被6除所得余数构成的集合是 。7如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两个动点，且CDAB,假设半圆的半径为1,那么梯形ABCD周长的最大值是 8如图3，在ABC中，AB=3，AC=5，假设O为ABC的外心，那么的值是 9一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，假设这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相

24、切，那么该半球的半径R= 10把长为的线段分成三段，这三条线段能构成三角形的概率为 二、解答题每题20分，共60分11设假设对任意的，等式+恒成立，试求、的值。12如图4,两点、，的内切圆的圆心在直线上移动。(1).求点的轨迹方程；(2).过点作两条射线，分别交(1)中所求轨迹于、两点，且=0，求证：直线必过定点。13函数，数列、满足，(1).求的取值范围，使得对任意的正整数都有(2).假设求证：，第二试一、数列满足，记(1)求数列的通项公式；(2)求数列前项和二、如图，PA、PB为圆O的两条切线，切点分别为A、B，过点P的直线交圆O于C、D两点，交弦AB于点Q，求证：三、设. (1).假设,

25、求证：是完全平方数； (2)证明：存在无穷多个正整数对(p,q),使得.四、(1)证明：对任意的有；(2)证明：. 2021全国高中数学联赛陈题一览 第一 试填空 第1、2、5、7题：高考模拟创新题第三题：05年天星金考卷猜题卷第16套卷第10题第四题：年号题，不用算就可以直接填2021第六题：09年高考地方模拟题解答题第一大题：该题系09广州一模的倒数第二题第二大题：该题系2021年广东省高考理科试题最后一道大题；第三大题：该题在10月10日考前就出现在百度贴吧数学竞赛吧，天津市某联赛模拟题。第二 试第一题：平面几何；系直接用1997年伊朗国家队选拔赛题第二问；该题被作为2003年国家集训队

26、平面几何培训用题见走向IMO200371页与2021年国家集训队测试题见走向IMO2021104页第二题：不等式；此不等式系中学数学教学参考2021年1、2合刊上安振平教师的两道题目的复合；据分析此不等式曾经作为某数学分析教材的课后习题。第三题：数论问题；该题系直接改编自数学竞赛研究教程第10讲的例9，且在某些学校被直接作为训练题在考前训练过。第四题：组合问题。该题在网上被评为历年来最丑陋试题，其形式复杂晦涩，故弄玄虚，丝毫不具备数学美感，且题目出现印刷错误。2021年福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建预赛试卷2021年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答与评分标准一、选择题每题6分

27、，共36分1、选C.解：关于的方程最多有两不同的解，从而，必有一个方程有两个不相等的实根，另一个方程有三个不同的实数解.而由，只有有三个不同的实数解.不妨设，由于关于直线对称，必有，故.2、选D.解：根据题意，令 1 2 其中 (1)得 于是有以下三种可能： I 经检验这组符合条件，此时 II III 综上所述，n只能取4.3、选A.解：对于正整数，被7除的余数规律是2，4，1，2，4，1，；被7除的余数规律是1，4，2，2，4，1，0，. 所以，被7除所得余数的规律将呈周期性变化，周期为21，且一个周期内恰有6个的值使能被7整除，故在小于10000的正整数中，共有2857个正整数满足条件.4

28、、选A.解：以为公共顶点，正四面体的各面为底面，将正四面体分为四个三棱锥，它们的体积之和即为正四面体的体积，所以点到各面距离之和等于正四面体的高. 四面体每个面三角形的高 ，从而 ， 于是正四面体的高 .5、选B. 解：设双曲线的方程为半焦距为c，那么由 解得，这说明AB轴，又易知此时，结合 解得双曲线的离心率6、选D. 解：欲使方程有实根，应有.mn123456123456如上表，适合条件的m,n共有19组，故.二、填空题每题9分，共54分1、 1 .解：由 得 ，而，所以，又，故.2、 .解：不妨设 ，那么由条件，于是，. 由 Cauchy不等式， ， 即 ，所以 ， 因此 的最大值为此时

29、.3、10,18 .解：由条件，有 ，而 ，所以问题即求在条件下目标函数的最值. 经从图像分析可知，由得到的交点A3，1为的最小值，即；由得到的交点B5，1为的最大值，即.因此，.4、 . 解：设点，那么 . 于是，所以 . 由 ，知 .故 ， 即 .5、 64 .解：令，得 . 等式两边同时对求导，得 .再令，由上式得.因此 .6、 160 .解：设至少经过3点的直线有条，每条上的点数从多到少依次为： 那么由，有 .又由 知 .当时 无解； 当时 ，解得 ； 当时 无解. 故有1条直线过其中4点，1条过3点， 即三角形个数为.三、解答题每题20分，共60分1、解：由，得 ，于是 . 5分从而

30、 = =. 10分令 ，那么 比拟系数，得x=1,y=0。于是，因此是以为首项，为公比的等比数列. 15分从而 ，即.在上式中，令n=2021，得. 20分2、解： 连结，易知椭圆内整点在轴上有两个、满足题意.5分 分别过点、作平行于直线的两条直线、，根据三角形同底等高面积相等可知，符合条件的整点均在直线、上. 易知 ， 故直线、的解析式分别为 ， . 10分 是椭圆内的整点，有.分别解 与 得 ， .15分由是整点，且在直线、上，知为偶数，所以， 在 与中，分别有四个偶数. 故符合条件的整点的个数为8. 20分3、解：1 由 知，当时 ，说明此时原函数是增函数，无极值，所以. 5分i当时，原

31、函数的变化如下表：+0-0+极大极小 从而由 得 ，所以 . 10分ii当时，原函数的变化如下表：+0-0+极大极小从而由 得 ，所以 .因此，由iii，. 15分2i当时， 由 得 ，即 .ii当时，由 得 ， 即 . 20分2021年全国高中数学联赛江西省预赛试题考试时间：9月24日上午8:30-11:00一填空题共2题，每题10分，合计80分1设多项式满足：对于任意，都有那么的最小值是.2数列满足：数列的前项和为，那么数列的前项和.3函数的值域是.4过抛物线的焦点,作一条斜率为的直线，假设交抛物线于两点，那么的面积是.5.假设为锐角三角形，满足，那么的最大值为.6.假设正三棱锥的内切球半

32、径为，那么其体积的最小值为.7.将随机填入右图正方形的九个格子中，那么其每行三数，每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率.8.将集合的元素分成不相交的三个子集：，其中，且，那么集合为：.二解答题共2题，合计70分9.20分如图，是圆的一条弦，它将圆分成两局部，分别是两段弧的中点，以点为旋转中心，将弓形顺时针旋转一个角度成弓形，的中点为，的中点为.求证：. 10.25分给定椭圆以与圆，自椭圆上异于其顶点的任意一点，做的两条切线，切点为，假设直线在轴上的截距分别为；证明：.11.25分对于个素数组成的集合，将其元素两两搭配成个乘积，得到一个元集，如果与是由此得到的两个元集，其中=，且，就称

33、集合对是由炮制成的一副“对联.(例如当时，由四元集可炮制成三副“对联：，).(1).当时，求元素集所能炮制成的“对联数；2对于一般的，求由元素集所能炮制成的“对联数.2021年全国高中数学联赛江西省预赛试题答案1.-22.3.4.5.6.7.8.9.思路：取AB中点E，中点F，可证PEBF为菱形； 证明角MFP=角PEN； 再证角PNE=角MPF； 然后证角MPN为直角10.关键步骤：设P点坐标，易的OMPN四点共圆，此圆方程减圆O方程得直线MN方程11.160;(2) (其中=)2021年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题考试时间：2021年5月23日10：0012：00一、填空题每题10分，80分1、由曲线所围成的几何图形的面积为 。2、设实数x，y满足，那么xy 。3、,且，那么存在整数，使以下等式成立的有 个。4、平面上两定点A3，0，B0，4，P为曲线上任意一点，过点P作PCx轴，PDy轴，垂足分别为C,D，那么四边形ABCD面积S的最小值为 。5、均为正实数，且满足，那么 。6、是互不一样的n个正整数，且满足，那么正整数n的最大值为 。7、函数，假设m，n，那么mn 。8、半径为r的球和半径为R的两个相切的球都相切，且它们都与大小为60的二面角的两个半平面相切，那么 。SCABDE二、解答题本大题共4小题，总分值70分，解容许写出文字说明，证明过程和演算