2.2本征值和本征函数的计算

1、 #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军2.2本征函数和本征值的计算我们讨论Scluodingei方程的定态解，则解方程这个方程的求解可以宜接由矢量求解，也可以在某一表象中求解。以一维振子问题为例分儿种情况讨论。对一维振子问题，其哈密顿为H=/r+marx2m21.直接矢量计算引入两个辅助算符：b=1(p-bncox),b+=】(p+bncox),yl2mha)yjmhco显然有bb十=?(p1+nvcax1+ima)p,xl)2曲小LJ/ #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征

2、函数和本征值的计算河北师范大学刘建军b+b=同理可得|（1A/.H=血（2b+b+1）=方cob+b+。2I2丿由此可以看出H,b+b=o,且（则=b+b,所以与厄米算符b+b有共同的本征矢。设b+b的归一化本征矢忆的本征值为2,则有刈矿列2=必|必=”=兄,久为大于等于零的实数，用b作用于式有b/?+b=（1+/7?）切2=肋忆，/7?（切2）=（2-1）（切2）,由此可知切2也是b+b的本征矢，其本征值为2-1,而模为所以中=冈2_1,bnA)=2(2-l)-(2-n+l)y|2-n),(H=0览)因此b为下降算符，若2为b+b的本征值，则A-n0也是b+b的本征值，而b|0=0,因此b+

3、b的本征值2只有是非负整数时，才能保证b是下降算符时得出的态中没有b+b的本征值为负值的本征态。所以有2=0丄2.o考察用犷作用于式两边：b+b+b12=b+(bb+-)X)=(b+b-lb+X)=Ab+X),b+b(b+)=(A+l)b+X),由此可以看出b+“也是Z/b的本征矢，其本征值为2+1,而”+因=Abb+X)=A(l+b+b)A)=2+1,b+X)=y/I+lA+l),由此可知肘是上升算符。HA)=hcob+b+*)“=也+分易，由丁说是非负整数，所以习惯上用n代替2,即冏=5+訓，二0辽，(1A所以得到本征值：En=ho)n+-,厶)本征矢为:|%|0,|2=挣+|1,n+l)

4、=-=b+n),而切0=0。我们将的全部本征矢取为希尔伯特空间的基，则可得到能量表象中(占有数表象)各算符的表示，方和犷矩阵元为b,n=W=旳亦W-1=矶E，b二=加|戸|n)=m|n+1=扳亦曲。高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军0彳00、0000、b=00V20,b+=彳0000000V200丿/00010000b+b=00201、000.23000.H=帀325000.2k.丿高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 #高等虽子力学讲义（研

5、究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军（注意序号排列按0,1,2,3,次序）。所以本征矢矩阵形式为990,卩=1,|2=0001丿丿1丿高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大

6、学刘建军z0vr0、0z00、0j-JToJ20i0V20力1VLvmhco2近2ma)0-V20yfi.p=.2.00V3.00-V30000)(x)=(x|o),就可求出必(X),在x表象中有：1；1订八）dJ比/（d其中ax,a=Q0。解b|0=0,所以高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军解得：（?）=再由/?+*=厶+中+1,可逐项求出必（？），最后得必（？）的通式可由数学归纳法证明:2日（0，则有=满足左式,A/?+八0曲(？)=了芍必(),b+=+打，则有必+）=请爲為

7、標去+打（尹h-Hmco7Th烁丽#Up(/)-n+1八An八z/-H加(7严时農宀2成立。高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军2.在能量表象中计算x,H=ih-,H,p=,H=p1+nicerx1,dpdx2m2=(x/-/x),-=nicerx=-(Hp-pH),dpmihdxih在能量表象中，矩阵为对角矩阵，其矩阵元可写成H厂

8、EQj,其中重复脚标并不表示求和，将上式写成矩阵元式为：mPii=#H_Hx）=+耳（兀冋一H内）=*弓（兀巨心-E易）=-氏）=（耳-Ej）x.jt加呱=工（HnPij-aA）=工（Epij-PiiEQjiniini=一*（耳一EjPq，m耳=oe厂Ejp厂0marx+高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军对矩阵元和心只有在系数行

9、列式为零时才有非零解，即*（EiEj）mar1m=0,得到只有（Ei-d=（方莎时X.和“才有非零高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军解，否则为零。这表明只有当的本征值以差方力的间隔取等间距分立数值时x和P矩阵才不为零。设&=（：+）方血，其中心-2,-1,0,1,2,，并按小到大排列，OKI。相邻本征值相差方血，于是对x和p的矩阵

10、元只有当行标和列标相差1时矩阵元才不为零。Pij=Pij（6,田+巧j-i），xij=xtj（，将marx=_*（Ej-Ejp.=-i巩i_川人代入哈密顿矩阵元有：%=耳爲=命工PikPkj+胁心也=命工PikPkj+（加力）t工一力（一比）仏一J）PikPkjAkkk=药工PikPkj1-（j-R）（R-/）,将Pij=Pij3川+巧鬥)代入得ER=命刁P*何冲+%P后曲+弘)1-(，-的-J)=y-Z內為佩+Q加1-(：-灯伙-/)+久+,_D-(i-k)(k-；)+zma+4,i-Qj*+l1-(/-k)(k-j)+先_0心1-(i-R)(R-jj=命Sj+iP+u%21-(/-1)(/

11、+1-/)+旳+iP+ij%i-l)(i+1-j；)+1-0-，+1)(/)=命24皿7+2旳+“也。:+仇出卩出J=&=(j+可方。p+=p,Pi,i:h=Pil,i,则有Pi+|p讣J=mhco(i+e),贝Jz0,设门冲=C、帀，其中C与Q为待定常数，代入上式得c,2(/-1+tz)+|c2(/+a)=mha)(i+),c2(2/-1+2a)=tnhco(i+,比较得当|c|2=mhco,&=+*时满足上式时(取c=),高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军高等虽子力学讲义（

12、研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军上式中z0,所以表达式中j0的矩阵元应为零，取心0代入上式方程时，有则Po=inhcos,mhcow+=mhcos,P-1.0+Po,i=曲曲,2I2厂1122En=n+L2丿+Pn.n+LX和门的矩阵表示与直接矢量计算的表示相同。3在兀表象中计算在X表象中可将解方程dx2tndx1+inarx1p(x)=Ey/(x),高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学

13、刘建军高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军这个方程的解是我们在量子力学中已研究过的，它的解同前面已经得出的一样。4.在动量表象中计算在动量表象中，ptp,x-ih,则解D(y)=ED(y),高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军这个方程可通过令p=mcoy,把方程化为2mdy1(y)=E(y)+|,r显然有：“（y）=其中高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军 #高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军高等虽子力学讲义（研究生用）2.2木征函数和本征值的计算河北师范大学刘建