数学物理方程-3

1、数学物理方程理学院 冯国峰第3章 行波法与积分变换法 行波法只能用于求解无界区域上的波动方程定解问题，虽然有很大的局限性，但对于波动问题有其特殊的优点，所以该法是数学物理方程的基本解法之一。 积分变换法不受方程类型的限制，一般应用于无界区域的定解问题，但对于有界区域的定解问题也能应用。第3章 行波法与积分变换法3-1 行波法无界弦振动的柯西问题 ：式中 均为已知函数。 第3章 行波法与积分变换法引入新变量 第3章 行波法与积分变换法原柯西问题的通解为初始条件代入其中，有无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 ）为：第3章 行波法与积分变换法函数 称为左传播波，由它描述的振动的波形是以常速度a向左

2、传播的行波。函数 称为右传播波，由它描述的振动的波形是以常速度a向右传播的行波。 积分所代表的也是类似的沿着x轴的正负方向传播的波，不过是由初速度 引起的。 第3章 行波法与积分变换法达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波的形式分别向x轴的正负两个方向传播出去，其传播速度恰恰是弦振动方程中出现的常数a。基于这种原因，达朗贝尔解法又称为行波法。第3章 行波法与积分变换法 称为点 的依赖区间。它是过点 分别作斜率为 的直线与x轴相交所截得的区间。初始时刻 时，取x轴的一个区间 ， 作直线 与直线 ，它们和区间 一起构成一个三角形区域，称为决定区域。在平面上由不等式 所确定的区域称为区间 的影响

3、区域。 第3章 行波法与积分变换法在 平面上，斜率为 的两族直线称为一维波动方程的特征线。波动实际上是沿着特征线传播的，因此行波法又称为特征线法。 无累积效应 ：有累积效应：第3章 行波法与积分变换法当弦的振动受到外力干扰时，就归结为非齐次方程的定解问题：振动位移分为两部分：一部分是只受外力影响的 ，另一部分是由初始形变产生的回复力使弦产生的位移 第3章 行波法与积分变换法 满足（I） 满足（II）问题（II）应用达朗贝尔公式即可解出，而问题（I）则要应用下面的齐次化原理来求解。第3章 行波法与积分变换法齐次化原理： 是初值问题的解（其中 为常数），则 就是初值问题（I）的解。3-2 延拓法求

4、解半无限长振动问题 （一）半无限长弦的自由振动问题： 3-2 延拓法求解半无限长振动问题 解析延拓：3-2 延拓法求解半无限长振动问题 （1）当 时，（2）当 时，3-2 延拓法求解半无限长振动问题 （二）半无限长弦的强迫振动问题若弦的一端固定在原点，另一端无限长，并且还受到外界的干扰，则应考虑定解问题： 3-2 延拓法求解半无限长振动问题 延拓后的定解问题：3-2 延拓法求解半无限长振动问题 （1）当 时，（2）当 时，有必要分析积分下限 为负值时 的取值范围。 3-2 延拓法求解半无限长振动问题 当 时，解不变；当 时， 3-3 高维波动方程的初值问题 三维波动方程初值问题：其中 和 均为

5、已知函数。 3-3 高维波动方程的初值问题平均值法：不考虑函数 本身，而是研究 在以点 为球心，以r为半径的球面上的平均值 ，当暂时选定 后， 就是关于r，t的函数。当我们很方便地求出 后，令 则 ，问题就得到了解决。 3-3 高维波动方程的初值问题把达朗贝尔公式改写为：（1）积分 是函数 在区间 上的算术平均值，记作 。（2）由叠加原理知，都是一维波动方程 的解。3-3 高维波动方程的初值问题 三维波动方程的解（泊松公式 ）为：其中曲面积分采用球坐标形式表示：3-3 高维波动方程的初值问题 二维波动方程初值问题式中 与 为已知函数。降维法：由高维问题的解引出低维问题解的方法。3-3 高维波动

6、方程的初值问题 二维波动方程初值问题的解（泊松公式 ）：3-4 积分变换法变换： 原问题 变换 较易解决的问题 直接求解较难 求解 原问题的解 逆变换 在变换域里的解例如：对数变换、解析几何的坐标变换、高等代数中的线性变换；在积分中的变量代换和积分运算化简；在微分方程中所作的自变量或未知函数的变换；复变函数的保角变换；积分变换。 3-4 积分变换法积分变换：通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。 积分域 ；积分变换的核 ；象原函数 ； 称为 的象函数。 3-4 积分变换法当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。傅里叶（Fourier）变换：变换核为 ；积分域拉普拉斯（L

7、aplace）变换：变换核为 ；积分域 Z变换、梅林（Mellin）变换、汉科尔（Hankel）变换，小波变换。 3-4 积分变换法一般来说，当用积分变换去求解微分方程或其它方程时，在积分变换之下，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，直至变成常微分方程；原来的常微分方程可以变成代数方程，从而使得在函数类B中的运算简化，找出在B中的一个解，再经过逆变换，就得到原来要在函数类A中所求的解。（当然，上述求变换与求逆变换是可以依赖于积分变换表来完成的）。 3-4 积分变换法用积分变换法求解定解问题的步骤大致为：（1）根据自变量的变化范围及定解条件的具体情况，选取适当的积分变换。然后对方程两端取变换，

8、把一个含两个自变量的偏微分方程化为含一个参量的常微分方程。（2）对定解条件取相应的变换，导出新方程的定解条件。（3）求解所得的常微分方程，求出的解即是原定解问题的解的像函数。（4）对求得的像函数取逆变换，得到原定解问题的解。傅立叶积分公式傅里叶积分公式傅立叶积分公式傅里叶积分定理若 在任何有限区间上满足狄利克雷条件，并且在无限区间 上绝对可积（即积分 收敛），则有 傅立叶积分公式傅里叶积分公式的三角形式：傅立叶积分公式傅里叶正弦积分公式傅里叶余弦积分公式 傅立叶积分公式例求函数 的傅里叶积分表达式。解傅立叶变换傅里叶积分公式：傅里叶变换：傅立叶逆变换：傅立叶变换傅里叶正弦积分公式：傅里叶正弦变

9、换式（正弦变换）：傅里叶正弦逆变换式： 傅立叶变换傅里叶余弦积分公式：傅里叶余弦变换式（余弦变换）：傅里叶余弦逆变换式 ： 傅立叶变换例求单边指数衰减函数（其中 为常数）的傅里叶变换和傅里叶积分公式。解当 时，上式左端应为 傅立叶变换傅立叶变换例求函数 的正弦变换和余弦变换。解傅立叶变换例求积分方程解 傅立叶变换的性质1、线性性质2、对称性质3、相似性质4、位移性质5、微分性质6、积分性质7、卷积与卷积定理傅立叶变换的性质1、线性性质：傅立叶变换的性质2、对称性质：傅立叶变换的性质3、相似性质：翻转公式： 傅立叶变换的性质4、位移性质：时移性：频移性：傅立叶变换的性质5、微分性质：如果 在连续

10、或只有有限个可去间断点，且当 时， ，则 傅立叶变换的性质6、积分性质：设（1）若则（2）傅立叶变换的性质7、卷积与卷积定理卷积：卷积的性质：（1）交换律：（2）结合律：（3）对加法的分配律： 傅立叶变换的性质7、卷积与卷积定理卷积定理 频谱卷积定理 利用傅里叶变换求解数学物理方程例试用傅里叶变换求解下列定解问题 解利用傅里叶变换求解数学物理方程谢谢!再见！Thank you!See you later!从傅里叶变换到拉普拉斯变换傅里叶变换的条件：1、Dirichlet条件2、在 内绝对可积 拉普拉斯变换拉普拉斯变换复反演积分公式：若t为 的连续点若t为 的间断点拉普拉斯变换例 求单位阶跃函数

11、 、符号函数及 的Laplace变换。解拉普拉斯变换的存在定理定义对实变量的复值函数 ，如果存在两个常数 及 ，使得对于一切 ，都成立即 的增长速度不超过某一指数函数，则称 为指数级函数，称它的增大是不超过指数级的，c为它的增长指数。拉普拉斯变换的存在定理例 ，此处 ，此处 ，此处 ，此处 。它们都是指数级函数。但是对于函数 ，不论选M及c多么大，总有 ，所以它不是指数级函数。拉普拉斯变换的存在定理Laplace变换存在定理若函数 满足下列条件：（1）当 时， ；（2） 在 的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点。（3） 是指数级函数。则 的Laplace变换在半平

12、面上一定存在，并且为解析函数。拉普拉斯变换例求幂函数 （m为整数）的Laplace变换。解周期函数的Laplace变换 设 在 内是以T为周期的函数，即且 在一个周期内分段连续，则有Laplace变换的基本性质 1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质4、位移性质5、微分性质6、积分性质7、卷积与卷积定理 Laplace变换的基本性质1、线性性质 Laplace变换的基本性质2、相似性质Laplace变换的基本性质3、延迟性质Laplace变换的基本性质4、位移性质Laplace变换的基本性质5、微分性质Laplace变换的基本性质6、积分性质若积分 存在，Laplace变换的基本性质7、卷积

13、与卷积定理 Laplace变换的基本性质7、卷积与卷积定理卷积定理 象原函数的求法 （推广的）若当引理设以 为中心，R为半径的左半圆弧 复变量s的一个函数 满足：（1）它在左半平面 上除有限个奇点外是解析的。（2）对于 的s，当 时 趋于零。则对充分大的 ，函数 沿半圆周的积分存在，且对任意 ，有。象原函数的求法展开定理如果 在整个复平面s上除了有限个奇点 外都解析，并且所有的奇点都在半平面 内。并且当 时， 。则在 的连续点t处，有其中 为复变函数 在奇点 处的留数。象原函数的求法留数的计算：（1）单极点：（2）复极点：象原函数的求法例4求 的逆变换。解这里， 是单零点， 为二级零点。由展开

14、定理可得：Laplace变换的应用 1、解常系数线性微分方程的初值问题2、求解常系数线性微分方程边值问题3、解某些变系数线性微分方程4、求解某些积分方程、微分积分方程5、解常系数线性微分方程组6、解数学物理方程定解问题 1、解常系数线性微分方程初值问题例求 满足初始条件的特解。解设 ，对方程两边取Laplace变换，则得并考虑到初始条件，可得象方程解象方程，得取Laplace逆变换，最后可得：2、解常系数线性微分方程边值问题例求方程 满足的特解。解象方程为于是 。取逆变换可得 用 代入上式，可得所以 ，从而得 3、解某些变系数线性微分方程例求方程 满足初始条件 的解。解对方程两边取Laplace变换，即考虑到初始条件，代入整理化简后可得这是可分离变量的一阶微分方程，所以取逆变换可得 。解为 。4、求解某些积分方程、微分积分方程例求解微分积分方程满足 的特解