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文档简介

1、第九章 常微分方程的级数解法连带勒让德方程 (Legendre Equation):贝塞尔方程(Bessel Equation):第九章 常微分方程的级数解法(二) 波动方程分离变量,令 ,得:当 ,有 或(k=0时, 为平动平庸解)对于v有亥姆霍兹方程:第九章 常微分方程的级数解法(三) 输运方程分离变量,令 ,得:当 ,有(k=0时,退化为Laplace方程)对于v有亥姆霍兹方程:第九章 常微分方程的级数解法(四) 亥姆霍兹方程1)球坐标系分离变量,设 ,得其角度部分仍然是球函数方程。第九章 常微分方程的级数解法其径向部分为(球贝塞尔方程):自变量无量纲化,令 ,有再令 ,可得:第九章 常

2、微分方程的级数解法2) 柱坐标系分离变量,令 ,可以发现角度部分和垂直方向和Laplace方程相同,为:有区别的是径向方程:第九章 常微分方程的级数解法实际的物理问题中, ,令 无量纲化后,得到贝塞尔方程:当 ,第九章 常微分方程的级数解法$9.2 常点邻域上的级数解法二阶线性齐次常微分方程标准形:解的性质取决于系数的性质,特别是,解的解析性取决于系数的解析性。如果 在z0点的邻域 解析,z0点称为方程的常点,解在该圆内单值解析。如果z0点是 或 的奇点,z0点称为方程的奇点。第九章 常微分方程的级数解法常点邻域上的级数解:方程:初始条件:其解可以表示为泰勒级数的形式:第九章 常微分方程的级数

3、解法泰勒级数的收敛性: 如果 或 最近的奇点距离z0点为R,则该泰勒级数的收敛圆半径为R。另:该级数解进行解析延拓后,仍然是该微分方程的解。第九章 常微分方程的级数解法勒让德方程的级数解:令 ,代入微分方程,合并同次项,可得:第九章 常微分方程的级数解法可得通项公式:因此其有两个通解 和 ,分别为偶函数和奇函数。一般解为:(两个通解分别关于xy平面对称和反对称。)第九章 常微分方程的级数解法解的收敛性:因为 ,因此球函数方程的解在除z轴外的点上均收敛。z轴上的收敛性: 可以证明,该级数解至少在 中的一个点上是发散的。第九章 常微分方程的级数解法物理特性要求该级数必须在 处收敛,因此,该级数必须退化为多项式才是合理的解。如果l为整数,则第九章 常微分方程的级数解法如果l为奇数,则 仍然在端点发散,而退化为多项式,在端点均收敛。记如果l为偶数,则 仍然在端点发散,而退化为多项式,在端点均收敛。记第九章 常微分方程的级数解法勒让德多项式 是整数阶勒让德方程的有效

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