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文档简介

1、第九章 常微分方程的级数解法连带勒让德方程 (Legendre Equation)：贝塞尔方程(Bessel Equation)：第九章 常微分方程的级数解法(二) 波动方程分离变量，令 ，得：当 ，有 或(k=0时， 为平动平庸解)对于v有亥姆霍兹方程：第九章 常微分方程的级数解法(三) 输运方程分离变量，令 ，得：当 ，有(k=0时，退化为Laplace方程)对于v有亥姆霍兹方程：第九章 常微分方程的级数解法(四) 亥姆霍兹方程1)球坐标系分离变量，设 ，得其角度部分仍然是球函数方程。第九章 常微分方程的级数解法其径向部分为（球贝塞尔方程）：自变量无量纲化，令 ，有再令 ，可得：第九章 常

2、微分方程的级数解法2) 柱坐标系分离变量，令 ，可以发现角度部分和垂直方向和Laplace方程相同，为：有区别的是径向方程：第九章 常微分方程的级数解法实际的物理问题中， ，令 无量纲化后，得到贝塞尔方程：当 ，第九章 常微分方程的级数解法$9.2 常点邻域上的级数解法二阶线性齐次常微分方程标准形：解的性质取决于系数的性质，特别是，解的解析性取决于系数的解析性。如果 在z0点的邻域 解析，z0点称为方程的常点，解在该圆内单值解析。如果z0点是 或 的奇点，z0点称为方程的奇点。第九章 常微分方程的级数解法常点邻域上的级数解：方程：初始条件：其解可以表示为泰勒级数的形式：第九章 常微分方程的级数

3、解法泰勒级数的收敛性： 如果 或 最近的奇点距离z0点为R，则该泰勒级数的收敛圆半径为R。另：该级数解进行解析延拓后，仍然是该微分方程的解。第九章 常微分方程的级数解法勒让德方程的级数解：令 ，代入微分方程，合并同次项，可得：第九章 常微分方程的级数解法可得通项公式：因此其有两个通解 和 ，分别为偶函数和奇函数。一般解为：(两个通解分别关于xy平面对称和反对称。)第九章 常微分方程的级数解法解的收敛性：因为 ，因此球函数方程的解在除z轴外的点上均收敛。z轴上的收敛性： 可以证明，该级数解至少在 中的一个点上是发散的。第九章 常微分方程的级数解法物理特性要求该级数必须在 处收敛，因此，该级数必须退化为多项式才是合理的解。如果l为整数，则第九章 常微分方程的级数解法如果l为奇数，则 仍然在端点发散，而退化为多项式，在端点均收敛。记如果l为偶数，则 仍然在端点发散，而退化为多项式，在端点均收敛。记第九章 常微分方程的级数解法勒让德多项式 是整数阶勒让德方程的有效

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