不定方程及含参数的元次方程的整数根问题的解法

1、不定方程及含参数的一元二次方程的整数根问题的解法丹阳六中王献忠、利用“质数”及“互质”的性质1,求方程y3= x2+ x的整数解;（2002年“宇振杯”上海市初中数学竞赛试题）已知p为质数，使方 程x2 2px+ p2 5p 1 = 0的两个根都是整数。求出p的所有可能的值；2.已知p、q都是自然数，关于x的方 程2px2qx+ 1990=0的两个根都 是质数，求1998p1998+q的值；（1991年“希望杯”初中数学竞赛试题）已知关于x的方程x2+px + q= 0有两个 不相等的整数根，则这个方程的根是；1 / 115. （1999年全国初中数学竞赛试题 ）a 是大于零的实数，已知在惟一

2、实数 k,使关 于x的方程x2 + （k2+ ak）x+ 1999+k2+ak=0的两根均为质数，求 a的值；二、因式分解法1.求方程 6ab=9a 10b+303的整数解；2 / 112.3.（十三届“五羊杯”初二数学竞赛试题）方程x/3 + 14/y = 3有组正整数解；求2xy 5= 4y x的整数解;4. a为何整数时，关于 x的方程 x2+ax8=0有整数解？5. xy + yz=63, xz+yz=23 的正整数 解的组数是()(A)1(B) 2(C)3(D)42.解方程组x+y = 2, xy z2 = 13 / 11三、判别式法（一）不等式（组）法1,求方程x2-3xy + 2

3、y3=0的正整数 解；3.方程组x3-y3-z3=3xyzx2=2(y + z);的正整数解；2.求方程x+y = x2 xy+y2的整数 解；（二）夹逼法（非负数）1. （2000年“弘晟杯”上海市初中数 学竞赛试题）求方程21/x+1/y1/xy =3/4的正整数解；3.（2003年全国初中数学联赛试题）试求出这样的四位数，它的前两位 数字与后两位数字分别组成的二位 数之和的平方恰好等于这个四位4 / 11(三)完全平方数法方程 a2x2- (3a2- 8a)x+ 2a2- 13a+ 15= 0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，那 么 a=;(2000年浙江绍兴初中数学竞赛试题)已知关

4、于x的方程(4-k)(8-k)x2-(80-12k)x +32=0的解都是整数，求整数k的值。四、求根法(用一个未知数的代数式表示另 一个未知数)(一)直接求根1. (2000年全国初中数学竞赛试题)己知关于x的方程(2000年全国初中数学联赛试题)设 关于x的二次方程(k2 6k + 8)x2 + (2k2 6k 4)x + k2 = 4 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。(a- 1)x2+2x-a-1 = 0的根都是整数。那么符合条件的整数 a有个；5 / 114.设关于x的方程(a2-1)x2-2(5a + 1)x + 24=0仅有整数根，则 a的值为：(1991年“祖冲之杯”

5、初中数学竞赛试题)己知方程(a21)x2 2(5a+1)x+24 =0有两个负整数根，则 a的值是,(二)反客为主(1990年“祖冲之杯”初中数学竞 赛试题)试求这样的正整数 a,使方 程ax2 + 2(2a-1)x+4(a-3) =0 至少有一个整数解；(1994年福州市数学联赛试题)试求这样的正整数 m,使方程x2 (m 1)x + m + 1 = 0至少有一个整数解；6 / 113.求使关于x的方程(a+ 1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0的根都为整数的所有整数a。五、整数(式)分法.求方程 6ab=9a 10b+303的整数解；.(十二届“五羊杯”初二数学竞赛试 题)方程4x2-

6、2xy-12x+5y+11=0有 组正整数解；.设k为正整数，关于 x的一元二次 方程(k 1)x2 px+ k= 0有两个正整数根。求 kkp(pk+kp)的值；7 / 11六、根与系数关系法1. （1998年全国.香港初中数学竞赛 试题）求所有正实数a,使得方程 x2 ax + 4a= 0仅有整数根；（1998年江苏初中数学竞赛试题，2000年全国初中数学联赛一试试 题）求满足如下条件的所有 k值, 使关于x的方程kx2 + （k + 1）x+（k- 1） =0的根都是整数；2.方程 yx2+x2y2x x +2y36= 0的整数解；（1996年江苏初中数学竞赛试题 ）已 知方程x2+ m

7、x m+ 1= 0（m 是整数）有两个不等的正整数根，求m的值。8 / 115.求使关于x的方程(a+ 1)x2(a2+1)x + 2a36=0的根都是整数的所有整数a。七、构造一元二次方程.解方程组 x= 6 3y x+ 3y 2xy + 2z2= 05.关于x的二次方程 x2-(12-m)x+ m1=0的两根都是正整数，求 m的值。2. (1998年山东初中数学竞赛试题 )当 x为何值时，代数式 9x2+ 23x 2的值 恰为两个连续整数的积？9 / 11八、放缩法1,求方程 1/x+1/y+1/z=5/6的正整 数解；3.求方程1/x+ 1/y + 1/z= a的正整数解，其中 a为正整数，xwywz;2.（十三届“五羊杯”初三数学竞赛试题）设 2/x 3/y = 1/4 （x、y 都是正整数），则方程有 组正整数解；九、不定方程解的存在性的判定.证明方程2x2 5y2=7无整数解;10 / 112.设m、n均为整数，证明方程x2 + 10m