培优探究与压轴2013

1、班级_ 姓名_ 考场号_ 考号_ 密封线 5/5安阳市第63中学九年级数学培优资料一一、猜想、探究题1. (2012 山西省) （本题12分）问题情境：将一副直角三角板（和）按图1所示的方式摆放，其中，是的中点，点与点重合，于点，于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由.探究展示：小宇同学展示出如下正确解法：解：证明如下：连接，则是边上的中线.，是的角平分线.（依据1），.（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：_依据2：_（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程. （3）将图1中的沿着射线的方向平移至如图2所示的位置，使点落在的延长线上，

2、的延长线与的延长线垂直相交于点，的延长线与垂直相交于点，连结，试判断的数量关系与位置关系，并写出证明过程. （图1） （图2）2. (2012 黑龙江省龙东地区) （本题满分8分）在菱形中，是对角线上一点，是线段延长线上一点，且，连接（1）若是线段的中点，如图1，易证：（不需证明）；（2）若是线段或延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明.3. (2012 山东省烟台市) （1）问题探究如图1，分别以的边与边为边，向外作正方形和正方形，过点作直线交于点，使作，垂足分别为点试探究线段与线段的数量关系，并加以证明（2）拓展延伸如

3、图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点作直线，分别交直线于点，使，作，垂足分别为点，是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由如图，若将中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变，是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）4. (2012 内蒙古呼和浩特市) 如图，抛物线与双曲线相交于点，且抛物线经过坐标原点，点的坐标为，点在第四象限内，过点作直线轴，点为直线与抛物线的另一交点，已知直线与轴之间的距离是点到轴的距离的4倍，记抛物线顶点为（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算与的面积；（3）在抛物线上是否存在点，使的面积等于的面积的8倍若存

4、在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由5. (2012 浙江省温州市) 如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB，CP.（1）当时，求点A的坐标及BC的长；（2）当时，连结CA，问为何值时？（3）过点P作且，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由.6. (2012 湖北省宜昌市) 如图，在直角梯形中，点为底上一点，将沿直线折叠，点落在梯形对角线上的处，的延长线交直线于点（1）点可以是的中点吗？为什么？（2）求证：；（3）设

5、，当四边形为平行四边形时，求应满足的关系；在的条件下，当时，的值是唯一的，求的度数7. (2012 吉林省长春市) 感知：如图，点E在正方形ABCD的BC边上，BFAE于点F，DGAE于点G.可知ADGBAF.(不要求证明)拓展：如图，点B、C在MAN的边AM、AN上，点E、F在MAN内部的射线AD上, 1 、2分别是ABE、CAF的外角.已知AB=AC，1 =2=BAC.求证：ABECAF.应用：如图，在等腰三角形ABC中， AB=AC，ABBC.点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，1=2=BAC.若ABC的面积为9，则ABE与CDF的面积之和为 . 8. (2012 青海省

6、) 如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF=90，且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题. 图1(1)探究1：小强看到图1后，很快发现AE=EF.这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但ABE和ECF显然不全等（一个直角三角形，一个钝角三角形）.考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证明AEMEFC就行了.随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图2，取AB的中点M，连接EM. 图2AEF=90，FEC+AEB=90，又EAM+AEB=90，EAM=FEC.点E、M分别为正方形的边BC和A

7、B的中点，AM=EC.又可知BME是等腰直角三角形，AME=135，又CF是正方形外角的平分线，ECF=135，AEMEFC（ASA），AE=EF. 图3(2)探究2：小强继续探索，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立.请你证明这一结论. (3)探究3：小强进一步还想试试，如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看.若不成立请你说明理由. 图49. (2012 湖南省岳阳市) 本题满分8分）（1）操作发现：如图，D是

8、等边ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连结AF你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图，当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其它作法与（1）相同 猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：如图，当动点D在等边ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边DCF和等边DCF，连结AF、BF 探究AF、与AB有何数量关系？并证明你探究的结论如图，当动点D在等边ABC边BA的延长线上运动时，其它作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的

9、结论？并证明你得出的结论10. (2012 内蒙古鄂尔多斯市) (本题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在轴、轴的正半轴上，且OA=，OC=1.矩形OABC绕点B按顺时针方向旋转60后得到矩形DFBE. 点A的对应点为点F，点O的对应点为点D，点C的对应点为点E，且点D恰好在轴上，二次函数的图象过E、B两点.（1）请直接写出点B和点D的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）在轴上方是否存在点P，点Q，使以点O、A、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上. 若存在，求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由.二、动态几何11

10、. (2012 黑龙江省哈尔滨市) 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，四边形是平行四边形，直线经过点，交轴于点（1）求的值；（2）点是线段上的一个动点（点不与两点重合），过点作轴的平行线，分别交于点设线段的长为，求与之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，点是线段上一点，连接交于点，当以为直径的圆经过点时，恰好使，求此时的值及点的坐标 12. (2012 四川省南充市) 如图，的内接中，抛物线经过点与点（1）求抛物线的函数解析式（2）直线与相切于点交轴于点，动点在线段上，从点出发向点运动；同时动点在线段上，从点出发向点运动，点的速度为每

11、秒个单位长，点的速度为每秒2个单位长，当时，求运动时间的值（3）点在抛物线位于轴下方部分的图象上，当面积最大时，求点的坐标13. (2012 山西省) 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点.（1）求直线的解析式及两点的坐标.（2）点是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点.试探究：随着点的运动，在抛物线上是否存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）请在直线上找一点，使的周长最小，求出点的坐标.14. (2012 湖南省常德市) 已知四边形是正方形，为正方形对角线的交点，一动点从点

12、开始，沿射线运动，连结，作于点，且交直线于点，连结.（当在线段上时，如图1，当在的延长线上时，如图10）（1）请从图1，图2中任选一图形证明下面结论：；.（2）设，试确定以、为顶点的四边形的面积与的函数关系. 图1 图215. (2012 黑龙江省齐齐哈尔市) 如图，在平面直角坐标系中，已知的两条直角边、分别在轴和轴上，并且、的长分别是方程的两根（），动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动；同时，动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动，设点运动的时间为秒（1）求两点的坐标（2）求当为何值时，与相似，并直接写出此时点的坐标（3）当时，在坐标平面内，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 16. (2012 江苏省盐城市) 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和点，直线经过抛物线的顶点且与轴垂直，垂足为.求该二次函