线性空间与线性变换本章是线性代数几何理论的基础知识在

1、第六章线性空间与线性变换本章是线性代数几何理论的基础知识，在此章中，我们介绍了线性运算、线性空间的 概念，讨论线性空间中的向量组及其线性组合、线性相关性与线性无关和秩等概念，并通过 引入向量的坐标，使一般的n维线性空间V与Rn同构，从而在V中可以得到许多平行于Rn 中的结论.nn第一节线性空间的定义与性质分布图示引言 线性空间的定义线性空间的判定方法例1例2例3 例4 例5例6 例7 例8线性空间的性质线性空间的子空间例9例10例11例12例13内容小结课堂练习习题6-1内容要点一、线性空间的定义定义1设V是一个非空集合,R为实数域.如果对于任意两个元素a , p e V，总有唯一 的一个元素

2、ye V与之对应,称为a与p的和，记作y =a + p ;若对于一数人e R与任一元素 a e V，总有唯一的一个元素5 e V与之对应，称为人与a的积，记作5 = Xa .若上述的两种运算 满足以下八条运算规律，那么V就称为数域R上的线性空间(或向量空间)：设 a，p，y e V;入， e Ra + p = p +a;(a + p) +y =a + (p +y);在V中存在零元素0,对任何aeV，都有a+ 0 = a;对任何aeV,都有a的负元素peV，使a + p = 0;1a = a;入(pa)=(泌)a;(入 + p )a = Aa + pa;A (a + p) = Aa +ZJ3 .

3、注：满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为V上的线性运算；向量空间(或线性空间)中的元素称为向量，但向量空间V中的向量不一定是有序数 组.在一个非空集合上，若对于所定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性 质的某一条，则此集合就不能构成向量空间.二、线性空间的性质零元素是唯一的.任一元素的负元素是唯一的.0a= 0；(i)a=-a；X0 = 0.若 Xa = 0,则入=0或= 0.三、线性空间的子空间定义2设V是一个线性空间匕是V的一个非空子集，如果L对于V中所定义的加法和 数乘两种运算也构成一个线性空间，则称L为V的子空间.定理1线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是:L对

4、于V中的线性运算 封闭.例题选讲线性空间的定义例1设V = 0只包含一个元素，对于实数域R，定义0 + 0 = 0， k0 = 0(k e R),可以验证上述运算好满足8条运算法则，0就是V的零元素，则V = 0是R上的一个线性 空间，称之为零空间.例2 (1)实数域R上的n元齐次线性方程组AX = 0的所有解向量，对于向量的加法和数 量乘法，构成R上和一个线性空间，称为该方程组的一个解空间.(2)实数域R上的n元非齐次线性方程组AX = b的所有解向量，在上述运算下不能构成 R上的线性空间，因为关于线性运算不封闭.例3 (E01)记次数不超过n的多项式的全体为Pxn，即Px = p = a

5、x HF a x + a a ，a，a e R， TOC o 1-5 h z n n n10， n 10试验证对通常的多项式的加法与数乘运算构成线性空间.证注意到通常的多项式的加法与数乘运算满足线性运算的八条规律且(a xn+ a x + a ) + (bxn + b x + b )= (a+ b)xn+ (a+ b)x + (a+ b ) ePxn10， n10 n n1100nX (a xn + a x + a ) = (Xa )xn + (Xa )x + (Xa ) e Pxn1Onr0/n即Pxn对运算封闭.故Pxn构成一线性空间.例4 (E02)证明n次多项式的全体Qx = p =

6、a x + a x + a |a，,a e R，且a 丰 0nn n110 n 0n对于通常的多项式加法和数乘运算不构成线性空间.证,/ 0 - p = 0(a xn + a x + a ) = 0 W Qx ，. Qx对运算不封闭.n10nn因而Q xn不能构成一线性空间.例5正弦函数的集合Sx=仃=Asin(x + B) A，B e R，对于通常的函数加法及数乘函数 的乘法构成线性空间.证 ,/ s + s = A s i nx (+ B ) + A s i nx (+ B ) = (a cox + b six) + (a cox + b six)1211221122=(a】+ a?)co

7、s x + ( + bz)sin x = A sin(x + B) e S x.人s1 =人A1 sin(x + B1)=(人A1) sin(x + B1) e 5x Sx是一个线性空间.例6 (E03) n个有序实数组成的数组的全体Sn = x = (x ,x ,x )r|x ,x，,x e R 12 n 12 n 对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘：力。(气,xn)T = (0,.,0),人 e R, x e Sn不构成线性空间.解 虽然可证得Sn对运算封闭，且1。x = 0,不满足第五条运算规律.由于所定义的运算不是线性运算，故Sn不是线性空间.例7 (E04)设S是由两端都无限的

8、全体数值序列所构成的空间，通常记作如下：x =(1)不构成子空间.因为对A = B =gW,有A + B =2b2c2d 任W1,即W对矩阵加法不封闭，不构成子空间.(2) 因0 0g W2,即W2非空.(ab0(ab0 11,B =2200c1 j00cJ2对任意A =G W2(a0 )+ a2b + b2有 a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 0,于是A + B =I1。1 +% J，满足(a + a ) + (b + b ) + (c + c ) = 0,即 A + B g W ,1212122对任意k g R有kA(ka01kb10且 ka、+ kb + kci

9、 = 0,即kA e吧，故吧是R*的子空间.例12 (E07)设P是所有实系数多项式组成的集合,P上的运算与函数空间内的定义相 同.则P是所有定义在R上的实值函数所组成空间的子空间，并且户口 = = a xn t卜 a x + a a，,a , a e R TOC o 1-5 h z nn10 n10是P的一个子空间.证 若 p = a x tt a x + a , p = b x tt b x + b e P，不妨设 m n ,有1 n n102 m m10a x tt a x + a x + b x tt b x + b xn n10 0 m m10 0=a xt axm+1+ (a+ b

10、)xtt (a+ b )x +(a+ b ) e Pn nm+1m mm1100即p1 + P2 e P .又对于人e R ,有Mp =人 C xn tt a x + a )= (Ma )xn tt (Ma )x + (Ma ) e P所以P是所有定义在R上的实值函数所组成空间的子空间.参考例1,易证pL是P的一个子空间.例13 (E08)设H是所有形如(a-2 p, p-2a, a,时的向量所构成的集合，其中以,P是 任意的数量.即H = (a-2P, P-2a, a, p)a, p e R.证明H是R 4的子空间.证 把H中的向量记成列向量的形式,H中的任意向量都具有如下形式:1:-2、-

11、21,p =1200J1 VJ令p1 =，则H是由p1,p2的线性组合的向量所构成的集合.即a-2p、1:-2，P2a-2p1=a+a10Vp JV0 JV1J=k p + k p 和 y = l p +1 p ,有1 12 221 12 2p + k p)+Gp +1 p)=(k+1)p+ (k+1)pe H11221122111222H = k p + k p Ik ,k e r1 12 2 12在H中任取两向量y1y +y = (k12又对于c e R ,有cy = c(k p + k p )= (ck )p + (ck )p e H1112 21122所以H是R4的子空间.注:例13给出了一种非常有用的技巧，利用它可以将子空间H表示成更小的向量集合的 线性组合.如果H是由pp2,，pn的线性组合的向量所构成的集