细长杆受力分析

1、10-2细长压杆的临界力实验指出，压杆的临界力与两端的支承情况有关。本节先研究两端铰支细长压杆的临界力。(一)两端钗支细长压杆的临界力设计两端为球铰约束，杆长L，选坐标系如图10-4(a)所示，杆的最小抗弯刚度EI =minEIz (简写为EI)。根据前面所述，当轴向压力P 增大至临界值PLj时，压杆的直线 形状平衡将由稳定开始变为不稳 定；此时，在轻微的横向干扰力撤 去后，它将在微弯状态下保持平 衡。因此，又可认为临界力是压杆 在微弯状态下保持平衡的最小轴 向压力。可见，欲研究临界力，应 从微弯状态的挠曲线入手。由第七 章知，当杆内应力不超过比例极限ap时，压杆挠曲线方程y=y(x)应满足下

2、述关系式d2y _M(x) dx 2EI由图10-4(b)知，压杆任一 x截面的挠度为y，弯距为M (x) = Py故该杆的挠曲线近似微分方程为竺 + y = 0 dx2EI(a)令k 2 = PEI(b)则(a)式改为性 + k 2 y = 0 dx2(c)该方程的通解为y = A sin kx + B cos kx(d)式中，积分常数A、B以及k (含临界力P)均为未知数，其值应由压杆的位移边界条件和变 形状态确定。两端铰支压杆的位移边界条件为在 x=0 处，y=0 (e)在 x=L 处，y=0 (f)将条件(e)(f)分别代入式(d),得A 0 + B 1 = 0（g）及A sin kL

3、 + B cos kL = 0（h）式（g）和（h）为未知量A和B的二元线性齐次方程组。若A与B均为零，则与推导临界力 的前提条件（微弯状态）不符。欲使A、B不同是为零（即非零解），则其系数行列式必等于零，记为:D(k )=sin kL1cos kL可以将D（k）=0，称为细长轴向受压杆的临界了特征方程。展开此方程可求解临界力，即由sin kL = 0得 kL = n冗,(n = 0,1,2,3, )（j）将（b）式代入上式得(k)n 2 兀 2 EI L由于n是0,1,2,3，等正整数中的任一整数，故（k）式表示：使压杆在弯曲状态下平衡 的压力，在理论上是多值的。根据临界力是使压杆失稳的最小

4、轴向压力这一概念，可见，应 取n=1 （若取n=0，则P=0，与讨论的前提不符），代入式4）得PLj兀2 EIL(10-1)上式为两端球铰的细长压杆的临界力公式，又称欧拉公式。由上式可知，临界力PLj与杆的 抗弯刚度EI成正比，与杆长L的平方成反比。这就是说，杆愈细长，其临界力愈小，愈容 易失稳。上面从压杆处于微弯状态的挠曲线近似微分方程出发，推导出了两端球铰的细长压杆临 界力公式。下面再补充讨论几个问题。为了求出使压杆失稳的最小压力，对于球铰约束压杆，即当各方向约束性质均相同时， 式（10-1）中的轴惯性矩I，必须取最小值Imin因为压杆失稳时总是在抗弯能力最小的纵向 平面内弯曲。在式（10

5、-1）所决定的临界力PLj作用下，两端球铰压杆的挠曲线形状，可由（g）式及（d）式得出为Jy=A sin kx又由（j）式及n=1得y = A sin X（ 1）LL 上式表明，两端球铰压杆临界力状态的挠曲线形状近似为一条半波的正弦曲线。将x =代入式（1），得y L= ymax = Ax=2可见，积分常数A表示压杆中点处的挠度。A是一个微小的数值，也是一个不定值。这一情况可用图10-5中的虚线AB表示，即当P P .时，y=0，压杆保持直线形状的稳定平衡，P LjLjP与ymax的关系成为水平线AB。进一步研究表明，如果与ym的关系是直线OA；而P=P .时 从挠曲线的精确微分方程1M l

6、deEI pds入手，则不存在上述A值的不确定问题。这时可以找 到中点挠度ymax与轴向压力P之间的理论关系，如图 10-5中的曲线OAC所示。并且P值的微小增加，将带 来挠度迅速增长。上面的讨论中，是以理想的轴向受压直杆为基 础的，但实际压杆不可避免地存在有不同程度的初曲 率，载荷也不可能毫不偏斜地沿轴线作用，由于 上述不利因素的影响，压杆在较小的压力P下即开始 弯曲，只是当P远低于PLj时，弯曲增长较慢，且P 与挠度ymax之间为线性关系（图10-5中，曲线OD的 直线部分），当P接近PLj时，弯曲增长加快。若压 杆愈接近理想模型情况，则实际曲线OD与理论曲线 OAC愈接近。（二）其它支承情况下压杆的临界力杆端的约束情况不同，压杆的临界力也不相同。表10-1中，列出了几种典型约束情况 下细长压杆的临界力公式。兀2 EIP = (10-2)L(p L )2由表可知，各种细长压杆的临界力公式基本相似，只是分母中L前的系数不同。为了应 用方便，将以上公式统一写为如下形式：上式为欧拉公式的一般形式。式中，p称为长度系数，p L称为相当长度或计算长度。 长度系数p值，取决于杆端约束情况。由表10-1可见，杆端约束愈强，即p值愈小，则