多元函数微分法讲义全

1、多元函数微分讲义第10章多元函数的微分10.1多元函数：1.平面点集由所有有序实数对组成的集合称为二维空间，记为（或），（其实这里的二维空间概念就是解析几何中的二维空间概念）。我们来看看这里二维空间的几何意义。显然，它只对应直角坐标平面上的一个点。相反， 中的有序数对对应于矩形平面上的一个点。 ，它们的本质是一样的，无法区分，所以：可以看成直角坐标平面，坐标平面也可以看成二维空间。收集。2.平面上两点之间的距离（解析几何已知：）：集合中的两点称为两点P 1和P 2 之间的距离。存在三角不等式。让学生回忆：数轴上邻域的概念（一维空间的场）：3. 定义2：设以该点为圆心，以半径为半径的所有点的集合

2、：称以该点为圆心，以半径为 的圆场：几何上：圆形场是平面上的开放圆：讨论：集合代表一个什么图形？中心为边长的开矩形的所有点的集合称为以中心为半径的正方形邻域。圆中有方，方中有圆。 方场等价于圆形场。圆形场和方形场统称为中心，半径场记为。去除邻域中心称为中心去除场，记为。讨论：心智领域如何表达：圆心场，方心场：当不需要半径时，该字段可以缩写为使用域的概念，可以定义两个特殊的概念：开放区域和封闭区域。3、定义3：设平面点的集合，即平面上的一个点。1) 如果有，则称为点。2) 如果它既包含 中的点又包含不属于 的点，则称为边界点，由所有边界点组成的集合称为点集的边界。1）讨论：点和边界点有什么区别？

3、关键是有一个正数，所以以圆心为半径的场完全包含在圆心内。如果中心有点且不属于它的点，则为边界点。讨论：下面的点是一个点还是一个边界点，为什么？2)有多少边界点？他们都属于吗？边界属于?（）（2）(1)3）如果该场包含无限个点，则称为聚集点。 （讨论如上图，一个点是不是聚集点？边界点呢？（不一定！）聚集点一定属于吗？）4) 若,则称为有界点集，否则称为无界点集。讨论：以下点集是有界的还是无界的？1) =2）第一象限： =3) =4.定义：设平面点的集合：（开放区域和封闭区域统称为区域）1）如果任何一点是一个点，并且任何两点都可以通过属于它的折线连接（称为连通性），则称为开放区域。 （如上图）2)

4、 由开放区域及其边界组成的区域 G 的封闭区域。讨论：以下点集是开放区域还是封闭区域。并指出它的有界点、收敛点和边界点。1) = (开放区域，有界.)2) =3) =4) = (封闭区域，无界)5） = （不是一个区域（-？没有点；只有一组边界点）6) = ( 为区域的边缘， 表示抛物线以下所有点组成的点集，不包括边界)5.有界区域的直径：设为有界区域，设称有界区域的直径，记为：.讨论：下列点集的直径( ) = ?1) = 2) 矩形： =3) 是一个无界区域（没有直径） 4) ,.注：上述定义和定理（概念）可以推广到n维空间。示例：画出以下一组点，并分别表示开放、封闭、有界、焦点、边界点和边

5、界。2) =3) =1) =解：1）是二维空间中的一个点集， ， 点集的边界是（是一个无界封闭区域）2)是二维空间中的点集，边界是曲面， 是椭球上的点，不包括球面上的点，是有界开放区域。3）是点集，边界是三个坐标平面和平面， 是这四个平面包围的四面体的整点，是一个有界封闭区域。作业 P152 1, 5二变量函数1、二元函数的定义：设它是一个二维空间的非空子集。如果根据一定的对应规则，它们都唯一地对应一个实数，那么对应规则就称为上面定义的二元函数，写为， 。被调用域，将所有函数值组成一个集合：称为函数的值域。例如：是一个定义在封闭圆上的二元函数。2. 二元函数图二元函数的定义域是，显然，它是平面

6、上的一组点。 ，都对应一个函数值，所以确定了一个点。当V改变时，得到V中的几个点，这些点组成的集合称为函数的图像。一般来说，二元函数的图是 中的一个曲面。示例：确定什么图是以下函数的图1) ( )上半球在一个封闭的圆上。2) , 是一个在三个轴上有截距的平面。当存在三个自变量时，称为三元函数，当 . 为单变量时，称为元函数（参见 P144 中的定义）， .具有两个或多个变量的函数称为多变量函数。为什么将函数分为一元和多元？因为当一元函数过渡到二元函数时，一些属性会发生变化，但是当从二元函数过渡到三元函数时，属性是完全一样的。我们知道二元函数的定义域是 中的一组点，它的图像是一个曲面（一般来说）

7、，三元函数的定义域是一个实体，函数的图像是一组分，没有同和模型。例子：求下列多元函数的定义域，并指出定义域所代表的图，1) 2)3)解决方案：1）定义域是具有上边界的半平面（不包括边界）2) 是一个以中心 1 和 2 为半径的闭环。3) =是由上面的球体包围的开放球体。示例：已知求作业：P143 9、10、11、123. 二元函数的极限在单变量函数中，表示当在 X 轴上时，从轴的两侧以任何方式趋于超过，用“”语言描述，.那么二元函数的极限呢？设 P为的域 D 的焦点。 A 是一个常数。 二元函数自变量的变化范围不再只是轴上的一个区间，而是平面的一个平面区域。所以二元函数的极限应该是：当运动点在

8、任意路径上以任意方式运动 （趋向于 路线可以是直线、抛物线或任意曲线）有： ，则A的极限此时调用的二元函数记为，而 ，则以上的极限可以改写为：根据上面的描述，这只是一个图像， “ ”的严格定义如下。(1)双极限定义：设函数在区域有一个定义，是的，收敛点，是一个常数。如果，则称该函数在点double limit 。因为：上面的定义可以写成：定义：假设定义在点集 上，是D的聚合点，是一个常数。如果则称该函数有一个极限 A，记为。1）解释定义的含义： ，一旦点进入中心的偏心邻域，该点的函数与A值的函数值的绝对值小于。2) 上述定义可写为：例子：用“ ”来定义证明：1） 1）分析：用定义证明二元函数极

9、限的方法与一元函数是完全确定的：一元函数和二元函数。第一个可以由解决一个涉及 and 的不等式，可以通过观察找到。证明：1）( 本题的领域是, 想办法在绝对值中求出) ， 有。2) 分析： ( 为了扩大和消除右边的不等式，需要将点限制在某个邻域内以找到它们的边界。（将其限制在点的“ ”域中），证明：取，限：, 使成立，拿去吧。讨论1：限制的目的是什么？半径不取，可以吗？示例：证明：函数在原点 (0,0) 的极限为 0。在原点（0,0）定义的函数。 （不！）证明： 0，（分两种情况讨论。? 进入以(0,0)为中心的域时，函数值有两种情况）；1）当时，显然两者2) 什么时候， 总之：从这个问题可以

10、看出，(0,0)处没有定义，但是有一个限制。 函数在P 0点的极限与是否在P点定义无关。讨论2：沿着固定的路径可以说是有限制的，趋向于：（不能）。示例：证明原点 (0,0) 没有限制分析： 极限的定义是指：无论点如何以任何方式超过时间，无论是什么路径，都没有极限，所以要证明没有极限，只需要证明时间超过沿着两条不同路径的时间，时间超过不同的两个数；或者沿着某个路径没有限制。 （ 可以通过观察走两条特殊路径来证明）。证明：当运动点趋向于沿直线的点 时，有：.当移动点沿抛物线接近 (0,0)时。 (0,0) 点没有限制。课堂作业：证明： (0,0) 处没有限制。走路径： 1) ; 2)作业：P155

11、 1、3、4前面我们谈到了时间的极限概念，下面对这个概念进行扩展。一元函数有： ，类似的定义：1):2):3):上面我们讲的二元函数的双极限，本质上是：两个不相关且独立的变量，当它们以独立且任意的方式同时存在时，则称A在该点的双极限（即：limit ) 的二元函数。双极限的性质及相关定理与一元函数的极限类似，省略：先说一个新的极限：二次累积极限(2) 第二次累计限额：(1)如果在那个时候（作为一个常数），函数有一个极限， let ，并且在那个时候，有一个极限: ，那么 B 称为点 :之前的二次累积极限，(1)如果在那个时候（作为一个常数），函数有一个极限 let ，并且在那个时候，有一个极限:

12、 ，那么在点 :之前称为二次累积极限，注：一般情况下，不一定等于 C。实际上，二次累积极限就是两次求一维函数的极限。例子：问因为双重极限和第二次累积极限是两个完全不同的概念， 它们没有必然联系。注：1 、因为两个累积界限：实际上是右一元函数不同阶的界限，所以两个累积界限可能不同，甚至一个存在另一个不存在；例如：不存在（存在，不存在）；并且可能不存在累积限制。注 2.有双重限制，但可能不存在累积限制；或两个累积限制相等，但可能不存在双重限制：例如： ，在原点（0,0），两个累积极限存在且相等，但双极限不存在；例子。证明：函数存在于(0,0)双极限，但不存在于累积极限。证明： 很明显，累积限制的计

13、算比双倍垂直限制要简单得多，所以我们要通过累积限制来计算双倍限制，那么在什么条件下它们相等呢？4. 定理：如果一个二元函数的双重极限和累积极限(存在，则：推论：（充分条件）：如果存在以下三个极限：，则两个累积极限存在且相等；等于它们的两个垂直限制：例子：已知：在点（0,0）有一个双重极限，找到；作业：P156 74. 二元函数的连续性我们曾经定义过一元函数 unary function at a point： continuous: if ，则称它在该点是连续的。我们可以将此定义推广到二元函数和元函数：(1) 定义：假设在区域中定义一个二元函数，点(a, b) ，如果： ，则称它在( , )中

14、是连续的。讨论：如何将上述定义写成“点符号”：该函数定义在区域、点、if中，则称为二元函数。即：设为区域的点，在，示例：已知。定义：如果二元函数在区域内的每一点上都是连续的，则称该二元函数在该区域内是连续的。2. 连续函数的性质（ 150 ）1) 如果所有点都是连续的，那么; , ( )在点上也是连续的，称为连续函数的四次运算。2) 连续函数的复合函数也相连。 （第150 页）3）Th4（号码保护）4) 如果二元函数的一元关于或是初等函数，则称为二元初等函数。二元初等函数在定义点处是连续的（通常，以解析表达式表示的二元函数是初等函数）。研究Th3-Th8下面介绍不连续点的概念：请想一想点续时应

15、该满足的几个条件：1) In有定义； 2）有限制； 3）在极限值等于它的函数值。以上三项中的任何一项都破坏一项，并且功能在该点不连续。定义：如果是不连续的，则称为不连续点（或不连续点）。二元函数的不连续点集通常是平面中的曲线。 （裂缝）示例：找到以下函数的不连续点并指出其图形1) 2)解决方案：1）你得到. 不连续点集合 (0,0) 和.示例：找到以下限制：1) 2) (Let , then) 3)4)二元函数的上述定义和性质可以扩展到元函数。作业：（参考）5； 6.10作业评论：1. 以下做法是否正确，为什么？（正确与否的关键在于判断是否存在）上述做法是错误的。 由定理可知：只有存在双重极限

16、和累积极限时，才能做到以上。正确方法： make ，然后公式 = =2( ) =2( )2、注意：订购，然后。3. 如果函数限于区域=(x,y)|y|x 2 ，则示例函数在原点 (0,0 ) 处有一个限制 (about )。分析：这里移动点P(x,y)的变化范围为，P只能取的点：|y|x 2 ，只需要证明：（即：满足条件的点P |y|x 2 ( x, y): 是的，搜索方法同上一个。证明： ;使随便取（注：不包括在不等式中，表示可以保证任何时间）证明： ,两者都取.#。讨论：能量可以说是处于 (0, 0) 的双重极限吗？ （不，双极限的移动点必须是邻域的整个点： , ，但是上题中的P不能取整个

17、M域的点，只能取）。 不是双重极限，而只是限制在，实际上在 (0,0) 处没有双重极限。当移动点沿 x=c轴趋向于 (0,0)时，当y=0 沿 x 轴趋向于 (0,0) 时， .作业： 1（1），（2）； 6； 7; 10个； 11.10.3 多元函数的微分在说多元函数的导数之前，我们先回忆一下导数的概念：假设有一个定义：如果将单变量函数导数的概念扩展到多变量函数是偏导数的概念，下面将讨论：偏差变量：设置区域定义的二进制函数，是的，该点将被视为一个常数，给一个变量，然后得到另一个点（ ） ，这两个点的函数值之差：称为该点大约x 的偏置变量。同样：将变量称为关于点的偏导数。函数在该点的偏转变量与

18、它的比值存在极限，则该极限称为x点的偏导数，记为( )。出于同样的原因：，称为关于 的偏导数，表示为示例：已知： ，查找解决方案：当它是该区域的任何一点时：二元函数在任意点的偏导数为：（称为关于 的偏导数）（称为关于 y的偏导数）它们仍然是 , 的二元函数，也称为偏导数。由于偏导本质上是导数的概念，所以求偏导时，只要把它看成一个常数，就可以得到导数。 示例：知道，询问，示例：给定： ，求关于,的偏导数。分析：是分段函数，对于不同的表达式，应该分不同的情况来计算。解：当, （是连续可导函数，可以直接求偏导数）当 ( , ) = (0, 0) 时（就是求节点的导数，只能根据定义求） ,示例：设置。

19、解析：求 时，将其视为常数，求导。解开：示例：让, , 找到分析：函数是和=的复合函数 eq r( , ) ，由函数的求导规则组成：（也可以两边取对数再取导数）。解：通过复合函数的推导规则请学生自己计算以下两项。课堂作业，计算和推导，解：让，则，由复合函数的推导规则在单变量函数中，导数在一点的几何意义是曲线在 处的切线斜率。那么偏导数的几何意义是什么？的几何意义：曲面与过轴点且垂直于y轴的平面的交点方程为：偏导数的几何意义：表示通过交点上的点的切线的斜率；表示通过曲线上一点的切线的斜率。在单变量函数中，若可微，则为连续，即连续是可微的必要条件。那么这个属性在二元函数中是否成立？实际上：注意：在

20、二元函数中，即使点有两个偏导数，也不存在连续性，这是多元函数和单变量函数的区别。示例：证明在 处有两个偏导数，但在原点处不连续。证明：相似地（要证明不连续性，只要证明没有极限）当倾向于, _当趋于, , , 如此连续。作业：P176 1、2、2全微分：我们曾经在一元函数的情况下定义了函数在一点的微分的概念：如果函数在一点的变化可以表示为：（即表示为和的线性函数的高阶无穷小）据说在微中可用，并且把就差异化而言，我们将进一步介绍： 。这个概念可以推广到多元函数，也就是下面的全微分概念：2、全微分的定义：如果二元函数在该点的全变：可以表示为：, 其中是一个独立于 , 的常数。称二元函数在该点可微，线

21、性主部分称为函数在该点的全微分，记为注：全微分的定义必须满足两点： 1）线性（一阶）函数（即A、B和不相关常数）。 2)是高阶差小( )，即在上面的定义中，我们自然要问系数A和B是什么？3. 定理：（可微的必要条件）：如果二元函数在一点可微，则该函数有两个偏导数和，和， 。的必要条件，上述定理实际上告诉了我们什么？证明： 在点存在全微分。 , make , 想想它变成了什么？但 存在，出于同样的原因： = 。由上述定理： ，当它在区域 中的任意一点可微时，称它在区域中可微，并且。这里我们要指出：在一个变量的函数中，一点可微是可微的，但在两个变量（或多变量）的函数中：微分存在于两个偏导数（即：

22、; 但微分中有两个偏导数（可微） 。注意：在二元函数中，“可微”只是“可微”的必要条件而非充分条件。示例：设，证明可微但不可微。证明：从第 17 页的上一个示例： ，在点是可微的，并且 ，拿。那么, 不是高阶无穷小 , , 。所以自然要问，在什么条件下可以区分？也就是充分条件。4. 定理（可微的充分条件）：如果存在偏导数， ， ，并且两个偏导数在二元函数的邻域中是连续的，那么它是可微的。注意：点 的偏导数，连续只是可微性的充分而非必要条件。示例： set = ，则函数的两个偏导数在 点不连续，但在 点可微。分析：首先计算偏导数。证人：当时，当时，因为：=相似地（以下证明导函数是不连续的）取坐标

23、轴，当移动点P轴超过, 在 (0,0) 处没有双重限制，并且在原点处不连续。（以下证明它在点（0, 0）处可微，只需证明：）因为：，所以：（注： ） 。点, 0.01, 0.03处数字的总微分，并计算：的近似值。解： , 函数在 (2, 01, 1, 03)+0.0278=0.6944上述全微分的概念也可以推广到多元函数：点的全微分：示例：计算= 的总微分。注：在单变量函数中，一阶微分具有形式不变性，而高阶微分不具有形式不变性。这个属性对于多元函数是真的吗？多元函数也具有一阶全微分的形式不变性，而高阶全微分没有形式不变性。作业：P177 9、10、11、16、154、全可微的几何意义（偏导数在

24、几何中的应用）：一元函数的可微函数的几何意义是：曲线在该点有切线，斜率为： 。那么二元函数的可微函数的几何意义是什么？(1) 切割直角和法线：在空间解析几何中，我们知道一个三元线性方程代表一个平面，一个三元高阶方程代表一个曲面S ：。假设空间中有一个曲面S，它的方程为，该点是曲面S上的一个点，那么曲面S可以看成是由通过点M的无数条平滑曲线组成，每条平滑曲线都有一条切线在点，通过点 M。点也有无数条切线（由立体几何知识：）这些无数的切线位于同一个平面上，所以这无数的切线构成了一个平面，称为曲面S在该点的切平面，通过该点并垂直于该切线的直线平面称为该点的表面 S。法线称为切点。(2) 定理：二元函

25、数是点P 0 (x 0 , y 0 ) 处的可微平面 ：是表面 S：在切平面上。曲面S：在切平面内，切平面的法向量为：.而这个法向量正是法线的方向向量，所以法线方程：注：（必然：）函数在一点可微的几何意义是：从曲面S有一个切平面：z=，该切平面的法向量为： 。这为我们理解全微分提供了一个很好的几何模型。顶点不存在切面, 函数点(0,0,0) 不可微。注：在解析几何中，我们知道：空间矢量与三个坐标轴的正夹角；称为向量的方向角。方向角的余弦称为向量的方向余弦。矢量也称为空间直线的方向余弦。从解析几何已知：如果，则.示例：求点 M (2 1 4) 处曲面法线的切平面、法线和方向余弦。解： , , 切

26、平面的法向量：正常： , , .作业：P188：12、15、165. 复合函数的微分现在说一下多元函数的复合函数的微分法：1. 定理：若二元函数在点的邻域存在连续偏导（可微） ，且可微分，则复合函数可在地面上微分，且。定理的含义是：函数和复合函数的导数：是：z对第一个中间变量的偏导乘以第一个中间变量的导数，加上第二个中间变量的偏导数乘以第二个中间变量关于 t 的导数。示例：让, where , , 计算解决方案： , 和,熟悉后，可以直接计算：讨论：这个问题是否可以从一元函数的复合函数导出： _当然，一般情况下，使用一元函数的复合函数来求导数在计算上比较麻烦。课堂作业：计算以下导数1, , ,

27、 (.2, , , 问注意：函数本身包含自变量。此时，我们可以将复合函数中包含的自变量视为中间变量。此时，自变量是相对于其他自变量的常数。即：复合函数是由函数和中间变量组成的，复合成复合函数：） 解：那么可以直接写成：上述定理实际上解决了复合函数为一元函数的求导问题，那么如果复合函数不是一元函数而是二元函数怎么办？例如： by , and , , seek 。推论：如果二元函数在该点处可微，且在该点处存在偏导数，则； .例子。已知, , , 发现.解决方案： +课堂作业：找出以下偏导数：1.其中, , 计算,2.请求分析：这里是自变量。如果直接计算困难，为了简化计算，可以考虑复合函数的求导方法

28、，这需要引入适当的中间变量。解决方案：让，然后由，注：如果函数的解析表达式包含中间变量和自变量，解析表达式中的自变量也应视为中间变量，并适用复合函数的推导规则：如果在点 ( )处存在偏导数，但：例子。假设：解决方案：设函数由 组成。 =（注意上面计算偏导数的时候，首先要找出哪两个量是自变量，这两个自变量是独立的，即：把导数当作常数！）课堂作业：讨论如何使用复合函数的导数规则来计算以下偏导数：(1) (2) ( ,为自变量，阶)然后。（变化时，t不变，相对于为常数）2、但：当中间变量个数大于2，且满足定理条件时，结果类似：若点可微，且完全存在偏导，则复合函数：也存在关于s 和 t 在, 和 :讨

29、论：如果中间卷有四、五等，如何求偏导数示例：让, , , , , 找到解开：（对于该字母的派生，将此字母视为变量，其他字母视为常量）例子：让解决方案：让它被视为复合函数）作业：已知：询问解决方案：让,作业：已知：询问解决方案：让,示例：让where ，计算。分析：这道题的作用与上面的例子不同。 函数本身包含自变量和中间变量。这时，我们可以把函数中的自变量看作中间变量，所以函数可以看作是中间变量。 ,一个复合函数组成： 。再由复合涵洞的微分法：= 。作业 P 174 , 2 (1) (3) (6) (7) (8)（使用复合函数的推导规则）； 5、6、11、125.方向导数在研究方向导数之前，我们

30、先来看看导数中一元函数的含义：在一元函数中，我们称函数的变化与自变量的变化之比：平均变化率函数，函数的瞬时变化率at 也称为at的导数。 的导数实际上是函数的瞬时变化率。那么，这个瞬时变化率的物理意义是什么：？设表示质点点的运动方程，（表示距离，表示时间），表示此时质点的瞬时速度。瞬时速度不是瞬时速度，速度有方向。 , 而 at表示粒子沿轴正负方向的速度。函数的瞬时变化率?表示曲线在该点的切线斜率为： 。在二元（或多元）函数中，偏导数的含义：实际上表示函数沿轴（二）方向的变化量，（移动点P是从点沿轴方向的变化量P 0的）。实际上表示二元函数在平行于轴（二）的方向上的平均变化率，而偏导数表示函数

31、在该点平行于轴的两个方向上的瞬时变化率，其几何意义表示相交线，在点，切线的斜率。同理，它表示函数沿y轴在点P 0处的瞬时变化率，其几何意义是在点处的交点切线的斜率。但在物理、化学或其他斜向研究中，往往需要研究函数在P 0点沿任意方向的瞬时变化率，这就是我们下面要介绍的方向导数的概念。1.方向导数：设射线的顶点为，得到任意变化点，使用，然后：（其中是射线的方向角） 。定义 1任意设置在作为顶点的射线上，如果存在极限，则称极限为函数沿射线在点P 0 处的方向导数，记为或。即： /方向导数是沿射线方向的瞬时变化率吗？ ( )等价于自变量的变化， 在射线方向上的方向导数就是点在方向上的瞬时变化率。讨论

32、2：偏导数是方向导数吗？偏导数实际上是一种特殊的方向导数，当时，偏导数（射线）相反，方向导数是偏导数在任何方向上的推广。我们还可以将方向导数（二元函数）推广到三元或多元函数：定义 2，设空间射线 的顶点，取 上的任意一点，令，如果极限：存在，则该极限值称为P0处的函数。同理：三元函数的偏导数与方向导数的关系为：分别表示函数沿平行轴方向的方向导数；而任意方向的方向导数实际上是任意方向的偏导数的推广。注意：方向导数本质上是函数在点 P 0处相对于任何方向的变化量：限制比较：（其中：）这个概念也可以扩展到多元函数。介绍了方向导数的概念后，我们来研究方向导数存在的条件。下面以三元函数为例，介绍方向导数

33、存在的条件。Th5，若函数在点 处可微，则函数沿任意射线方向的导数存在于点处，且。（其中： 是射线的方向余弦。）注：Th5告诉我们在任意方向的一点上，方向导数存在的充分条件是：可微分，进一步指出方向导数可以用偏导数表示：证明：（分析：从可微分处可以得出什么结论：点处的总变化）= ，那么这个等式怎么算结论： ，除以等式两边证明：是可微的，完全改变了变量。是存在。讨论：我们表示该点的射线相对于射线反向的方向导数，那么，它是否存在，如果存在（存在， 和的方向余弦只是一个页码， ）讨论：分别利用点轴正负方向的方向导数，则：偏导数存在的充要条件：最后我们指出 Th 的条件只是充分的，不是必要的：也就是说

34、，如果它在该点不可微，则导数可能沿任何射线存在。示例： 证明：函数在点 (0,0) 处不可微，但方向导数沿任何射线存在。证明（证明在（0,0）处不可微，只需证明在（0,0）处不存在两个偏导数） ,那时，不存在 ，在 (0,0) 处没有 的偏导数，同样也没有的偏导数。 在 (0,0) 处不可微。点 (0,0) 沿任意射线方向的余弦为,取点0+ , 0+ 在任意点,所以，有。作业：P177、6 P188：13、1410.3 二元函数的泰勒公式1. 高阶偏导数：前面我们看到二元函数的两个偏导数仍然是二元函数，例如。所以我们可以再次取偏导数的导数。记该对关于 x的偏导数为或，即： ，还有： f xy

35、(x 1 y) ( )讨论：或；或者表格是什么意思？函数, , f yx (x 1 y),的导数函数的四个偏导数称为该函数的二阶偏导数。 （其中 f xy和 f yx 被称为混合.）。讨论1：如何写出函数在一点的二阶偏导数的定义？讨论2：二阶混合偏导数f xy和f yx是自度量x 和y 不同阶的偏导数。它们是根等吗？ （见下面的例子）示例：已知 f(x 1 y) = proof 。证明： ,当时 ，=类似地： = .所以：两个混合偏导数是关于不同阶的偏导数，它们不一定相等。那么在什么条件下两个混合偏导数相等呢？定理：如果二元函数在区域 D 中具有二阶混合偏导数并且它们在点处是连续的，则这个定理

36、告诉我们，二阶混合偏导数在连续条件下是相等的。由于二阶偏导是偏导的偏导，所以在计算二阶偏导时只需要计算一阶偏导的偏导即可。示例：的二阶偏导数解决方案： ,课业，求二阶偏导数：(1)（根据课堂作业（2），见后文） 1. 已知： 。2. 设置。解决方案：让，然后，所以;课堂作业：查找( )课堂作业：示例。认为让: , 然后: ,例 1，证明：如果,但：分析：实际证明是偏微分方程的解。这只需要找到三个二阶导数。证明：P168 例 2 已知： =- , = , =-，代入等式左边得到：补充作业： 1. 证明：满足微分方程：2. 让, 找到: ,3. 让, , , 找到, , .4.设置，证明：2.二元

37、函数的中值定理和二元函数的泰勒公式1. 二元函数的中值定理：如果函数 f(x, y) 在点 P 0 (x o , y o ) 的邻域 G 有两个偏导数，则完全变化变量：其中，这个定理称为二元函数的中值定理。在第一卷中，我介绍了一元函数 y=f(x) 的泰勒公式：若a的邻域有n+1阶连续导数，则有：(0 )，设a=0，我们在a点得到f(x)的麦克劳克林公式。将这个定理推广到两个函数就是下面两个变量的泰勒公式。2. (P163) 定理 2：如果函数 f(x, y) 在点 P(a, b) 附近有 n+1 阶导数，则有+ .其中符号 (在点 P(a,b) 的值处。当点P(a,b)=(0,0)时，就是麦

38、克劳克林公式：f(h,k)=f(0,0)+（想一想：h=x, k=y 的公式是什么形式？）。在二元函数的泰勒公式中，当n=0时，有：f(a+h,b+k)=f(a,b)+ 。这是我们之前为二元函数介绍的中值定理的另一种形式。2、二元函数的极值：第一本书学习了单变量函数的极值，将单变量函数的极值扩展为二元函数，即二元函数的极值下面研究。(1) 定义：设点邻域的函数有定义：如果调用函数的最大值，并将点称为函数的最大值；如果称为函数的最大值，该点称为函数的最大值点；(2)稳定点的定义：方程组解所确定的点称为函数的稳定点。(3) 定理：若该点为函数的极值点，则.注意：该定理表明极值点必须是稳定点，反之则

39、不然。(4) 极值充分判别法：假设函数有一个稳定点，在 的某个邻域内存在一个二阶连续偏导数。让，然后：如果， 是函数的极值点，和如果，那么它不是函数的极值点，如果，它可能是也可能不是函数的极值点。示例 1. 查找函数的极值。解：因为解是稳定的：, (计算, 先求二阶偏导数) , ,A 或 C不要走极端不要走极端不要走极端最大所以它是一个最大值点，最大值是。(4) 二元函数的最大值：假设函数定义在区域中，（或），称为函数在区域中的最大值（或最小值） ，称为其最大值点（最小值点）。注意：最大值可能在区域部分或区域边界处获得，因此必须计算区域部分的整体极值和边界的整体最大值并进行比较，以获得区域内函

40、数的最大值。示例 2. 求函数的最大值。解：（先求定义域）函数的域，稳定点， ，边界， （因为是常数，可视为最大值或最小值） 所以： ，所以函数最小值为0，最大值为注意：在一些实际问题中，函数的最大值可以根据实际含义来判断：如果函数有最大值（或最小值），并且区域内只有一个稳定点，那么这个稳定点必须是最大值点。例子。用钢板制作一个没有盖子的长方形水箱。当问水箱的长宽高分别是多少时，水箱的最大容积是多少？分析：设水箱的长、宽、高分别为；最经济的钢板表面积最小，所以：问题转化为：每个最小时，表面积最小。关键是找出和 之间的函数关系。解决方法：将水箱的长宽高设为表面积，然后（想办法把它转成二元函数-？

41、）改为：得到：函数在区域内有唯一的稳定点，由于函数在区域内有最小值，此时唯一的稳定点就是它的最小点。所以当：长、宽、高时，钢板是最经济的。给定一个半径为 的连通三角形，什么样的连通三角形面积最大？解析：设面积为，三个中心角为。因为的形状是由三个中心角唯一确定的，所以问问题换算成多少，面积最大。三边对着的圆心角为：，面积为。 , 定义域为: ,，因为函数在区域 中只有一个稳定点，并且由于函数在区域中存在最大值，所以唯一的稳定点是最大值点，当最大时，则三角形为等边三角形。作业：P210: 12.: (1) (3) (4), 13., 14, 11.第11章隐函数存在定理11.1 隐式函数的存在17

42、7中已经介绍过，一个二元方程F(x,y)=0可以在一定条件下确定一个函数，由方程F(x,y)=0确定的函数可以确定的称为隐藏数。如果用方程 F(x, y)=0 确定的隐函数表代数为: 例如: , 可以求解: , 那么方程确定的隐函数表示为显函数, 而这个隐函数都是初等函数。示例：找到由方程确定的隐函数。事实上，隐函数系统也可以从方程组中确定，例如：在以下条件下确定一个隐函数群：一般来说，由一个元素方程组成的方程组在一定条件下也可以确定一组由一个函数组成的隐函数。现在我们问一个问题：如何研究隐函数（或隐函数群）的解析性质？ （即：连续、可微、可微）显然，如果隐函数可以表示为显函数，则隐函数的解析

43、性质可以转化为显函数来研究，但大多数隐函数不是初等函数，因此无法用代数方法求解。例如，隐函数是在原点（0,0）的某个邻域确定的，但隐函数不能用显函数的形式表示。那么如何研究由方程确定的隐函数的解析性质呢？这就是我们下面想要的隐函数存在定理。1、二元方程确定的隐函数存在定理：(1)隐函数存在定理1：若函数在以点P(x 0, y 0 )为中心的矩形区域D内满足下列条件：1)2)3) 。那么： )隐函数使得, , 和二）三） 。讨论：定理结论中的 I) II) III) 说明了什么？示例：验证方程确定原点 (0,0) 的某个邻域中的唯一隐函数并找到它。解： ，以点（0,0）为中心的矩形邻域是连续的；

44、 2) F(0,0), 3)由定理 1：在的附近，而注意：求隐函数的导数时，可以同时取等式两边的导数，求导时，应将隐函数作为中间变量，复合函数的求导规则应用于计算。解：取两边的导数：y+xy , .示例：验证方程确定点 (1,0) 附近的隐函数解决方案：订购，= ，邻域 D 在点 (1,0) 处是连续的。 2) F(1,0) , 3)所以由点邻域中的方程（1-确定隐函数和）注：以后不需要title的时候，可以直接求推导，不用验证。示例：找到由方程确定的曲线点处的切线和法线。解： ，切线：2. 定理2 （Book P205）：如果点心矩形邻域中的函数满足条件：i） 。 ii) =0 iii) ，

45、则在该点的邻域内只有一个具有连续偏导数的隐函数并且注意：上述定理 2 是定理 1 扩展到元隐式函数的情况。应用定理 2 时，关键是要弄清楚哪个变量是隐函数。示例：求由方程确定的隐函数的偏导数。解决方案：让,=注意：计算多元隐函数的偏导数时，还可以计算方程两边对自变量的偏导数。在计算偏导数时，只需将隐函数作为中间变量，应用复合函数的导数法则进行计算即可。解：对等式两边取偏导数： cosz , .作业：P216：1. 2. 3. 11.1 隐式函数的存在在开始一个新类之前，让我们回顾一下转换的概念： Let , let a mapping from A to R :调用一个从A到R的转换，也称为定

46、义在A上的函数，记为，这样AA的函数就是从 A 到 R 的转换。同样，双函数是二维空间的子集 A（A到 R）的变换。元函数是二维空间的子集A到 R的变换。这个概念也可以扩展到功能组它是从维空间的子集A到二维空间的变换。函数群是从多维空间到多维空间的变换，它把点变换为。1. 函数行列式（Jacobian determinant）：有一个由元函数组成的元函数组：(1)特点与记忆方法.公式记为： ( , if ( I =1,2, ; j=1,2,n) 都存在，则称为行列式：函数群 (1) (的函数行列式记为as: (or ) = ，请观察函数行列式的结构当然，函数行列式的结果仍然是一个函数，而当移动

47、点为已知点时，函数行列式： =是一个数字。示例：求函数组的行列式和解： =2z(-3=前面我们介绍过，一个n+1元的方程可以确定一个元函数：其实，一个隐函数群也可以由一个方程组来确定，那么这个隐函数群的连续性和可导性呢？让我们讨论一下这个问题。首先，我们将讨论四元方程组的情况：定理 3：给定一个四元方程组：如果函数在点), ) 的 G 邻域满足以下条件：1)函数 和 的所有偏导数在 G 中是连续的（因此也是连续的）。2) ; 3) 行列式那么有一个点的邻域V，并且在V中存在一组具有连续偏导数的唯一隐函数：和讨论：1）这样，确定隐函数是哪两个变量（确定隐函数）2) 该定理有几个条件和几个结论。3

48、）在这个隐函数组下，平面上的点映射到平面上的点。这个定理只告诉我们隐函数群的存在，那么如何求隐函数群的偏导数呢？只需要在方程组两边求自变量的偏导数，隐函数可以看成中间变量。 （见本书第225页）, ,其实在求解问题时，可以不使用公式直接计算，只需将隐函数作为中间变量，应用复合函数的推导规则即可。例子：为了验证方程组，在一个点的邻域内满足定理 3 的条件，使得在一个点的某个邻域内只有一组具有连续偏导数的函数，求。解：（为了验证定理3的条件成立，先求偏导数） , , , , ,在点的某个邻域内是连续的： ; , , 所以从定理 3:在点 的某个邻域内只有一组具有连续偏导数的函数,（同时对方程组两边

49、求导，求导时把隐函数作为中间变量，应用复合函数的求导法则计算）同时对方程组两边求导时间例子：为了验证方程组，定理的条件在点的邻域内满足，并且在该点的邻域内存在唯一的一组具有连续导数的隐函数，并且并找到.分析：方程组确定的隐函数群是一元函数，所以使用导数符号。解： =2z在点(1,-2,1)的邻域是连续的，方程组的邻域只有一个偏导数的隐函数群： .作业：第 229 册第 5.8 页。2. 功能决定因素的性质前面我们介绍了函数行列式的概念：)，下面介绍函数行列式的性质。我们看到一元函数的导数在函数性质的研究中起着重要的作用，雅可比行列式在函数群效应的研究中也有类似的作用。在复合函数求导规则中：如果

50、，则复合函数对自变量:的导数，类似：2. 定理1若函数群具有连续偏导和连续偏导，则： 。即复合函数群对自变量群的雅可比等于函数群对中间变量的雅可比乘以中间变量对自变量的雅可比。反函数的导数等于其正函数的导数的倒数： ，类似于：3. 定理2：存在连续的偏导数， ， ，则反函数群也有连续的偏导数， ， 。4. 功能行列式的几何性质一元函数实际上是一个变换：取，给一个变化量，对应的图像点也有一个变化量，线段的比例称为映射到的平均膨胀系数（变化率） 。如果极限存在，则称为极限值。称为该点映射的膨胀系数， （即：导数值的绝对值：称为该点映射的膨胀系数）这就是导数的几何性质。二元函数的雅可比也有类似的含义

51、。假设二元函数群在开域有连续偏导数，这个函数群是飞机的开放区域点：今天：考虑一个不动点作为边长的微方，其面积为，称为平面上的面积微元，变换上空域的中点变换为平面上空域的中点，变换下：（是对应的面积元素），那么变换下的答案是否定的！事实上：在transformation: 下，它的形状和大小都会发生变化。但它们的面积微元之比是一个常数，等于： ，即：这就是雅可比的几何意义。函数行列式的几何意义：在变换下，平面上的面积元与平面上的面积元之比为，这是：5、条件极值：前面学过的函数的极值表示和是相互独立的（和没有关系），没有条件限制。例如，函数的极值意味着与没有条件限制。我们来看一个问题：示例 3.给

52、定一个半径为 的圆的连通三角形，连通三角形的最大面积是多少？设面积为，三个中心角为。那么，三个自变量之间存在条件限制：（他们不是独立的！）(1)条件极值的概念：函数处于一组条件约束下：( )称为条件极值。其中，方程组（1）称为约束条件（或约束条件）。当约束比较简单时，可以将条件极值转化为无条件极值计算：代入函数： ，从而将求条件极值的问题转化为求无条件极值的问题。但一般情况下，将条件极值转换为普通极值计算是不可能的，因此有必要研究条件极值的计算方法。(2) 拉格朗日乘子规则：设置函数,连续的偏导数，则( )在约束条件下的条件极值点必定是方程组的确定点： ，（即： ） 。其中+ （称为拉格朗日函

53、数）注：上述定理：指出约束条件（拉格朗日函数）。这其实就是指出了求条件极值点的方法：函数的所有条件极值点只有找到拉格朗日函数的稳定点，然后一一判别才能找到。给定一个半径为 的连通三角形，什么样的连通三角形面积最大？三边所对的圆心角为： ，面积为。, 和, 得到;拉格朗日函数：所以： ，由所以： , 有一个实际意义上的最大值，所以该点就是函数的最大值点。所以在那个时候，当它是一个等边三角形时，它的面积是最大的。讨论：找到条件极值需要多少步骤？ （三步：构造拉格朗日函数；求拉格朗日函数的稳定点；求函数的极值点。）课堂作业：示例。求抛物线和直线之间的距离。解析：距离是指抛物线到直线上任意两点的最小距

54、离。在抛物线和直线上的任意一点上的AND ，让（问题是最低要求！）让并且，让，然后： , , , .求解这个方程组给出：，所以函数在点取最小值： 。例子。证明不定式： .分析：设，则不定式为，所以问题转化为求函数在条件为的最小值。解：让, , , 让, 求解方程组, 的稳定点因为函数域是一个闭合三角形因为边界上的值总和: ,，所以函数取最小值，所以.隐函数存在的几何 Th空间曲线的切面和法线平面首先复习空间正切的两点公式。假设空间曲线L(P 1 P 2 )上有两个已知点P 1 (x 1, y 1, z 1 )和P 2 (x 2, y 2, z 2 )，则L的方程为：或, 其中 T=(a, b, c) 3 是直线的方向向量。现在我们来讨论空间曲线的切面和法线平面1、设空间曲线C的参数方程为：让它们在区间 I 内可微，并且有请阅读 P 238 ) 那么如何