培优探究与压轴2013答案

1、 27/272013九年级数学培优答案一、猜想、探究题1. （1）依据1：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶点的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）依据2：角平分线的性质（或角平分线上的点到角的两边距离相等）. （2）证明：，.是的中点， （3）（注：两个结论都正确只给1分，若考生此处未写两个结论，但在证明过程中有此结论，且证明正确，可不扣分） 证明如下： 证法一：如图（1）.连接，则是边上的中线.， 又，又四边形是矩形.，即即证法二：如图（2）.连接，则是边上的中线.， 又，.又同证法一可得，四边形是矩形.即评分说明：此题还有其它证法（如过点作于点，于点，通过证明得证），可参照给分.2

2、. （2）图2： 图3： 图2证明如下：过点作，交于点.四边形为菱形又是等边三角形 又又是等边三角形又又 图3证明如下：过点作交延长线于点四边形为菱形又是等边三角形 又又是等边三角形又又3. 解：（1）D1M=D2N.证明：ACD1=90，ACH+D1CK=90AHK=ACD1=90，ACH+HAC=90D1CK=HAC.AC=CD1，ACHCD1MD1M=CH.同理可证D2N=CHD1M=D2N.（2）证明：D1M=D2N成立.过点C作CGAB，垂足为点G.H1AC+ACH1+AH1C=180，D1CM+ACH1+ACD1=180，AH1C=ACD1，H1AC=D1CM.AC=CD1，AGC

3、=CMD1=90，ACGCD1M.CG=D1M.同理可证CG=D2N.D1M=D2N.作图正确.还成立.图1图2图34. 解：（1）点在双曲线上双曲线的解析式为与轴之间的距离是点到轴的距离的4倍可设点坐标为代入双曲线解析式得抛物线过点，抛物线的解析式为（2）抛物线的解析式为顶点，对称轴为 ，由，两点坐标为，可求得直线的解析式为：设抛物线对称轴与交于点，则点坐标为（3）当点 点重合时，显然满足条件当点与点不重合时，过点作的平行线，其对应的一次函数解析式为令解得，（舍去）当时，存在另一点满足条件5. 解：（1）当时，,令得，当时，.抛物线的对称轴为直线又关于对称轴对称，（2）过点作轴于点（如图1）

4、，由已知得，又抛物线的对称轴为直线，其中，又关于对称轴对称,，又，（3）不重合，（）当时，（i）若点在轴上(如图1)，又，此时点的坐标是(2，0).（ii）若点在轴上（如图2）过点作轴于点，易证，此时点的坐标是（0,4）.E（）当时，（i）若点在轴上（如图3），易证，此时点的坐标是（ii）若点在轴上（如图4），过点作轴于点，易证，M（舍去），综上所述，当时，点的坐标是（2，0）或（0，4）；当，点的坐标是.6. 解（1）不是； 据题意：，中， （2）方法一：证明：，即为等腰三角形 在等腰和中， 方法二：（见方法一）证得两边对应成比例： 由此可得结论（3）方法一：四边形为平行四边形，证明两个角相

5、等，得 ，即， 方法二：过点作，四边形为平行四边形， 方法三：证明，则有，则有， 四边形为平行四边形，方法一：解关于的一元二次方程，得， 由题意，即， 为中点，且为正方形，方法二：设关于的一元二次方程的两根为，得：，由题意，即， 为中点，且为正方形， 7. 拓展: ， ,又,. 1 =2, ，,. 又AB=AC，ABECAF . 应用: 6 8. （2）探究2：在AB上截取AM=EC，连接ME.由（1）知EAM=FEC.AM=EC，AB=BC，BM=BE.BME=45。AME=ECF=135.AEMEFC（ASA）.AE=EF.（3）探究3：成立.证明如下：延长BA到M，使得AM=CE，连接M

6、E.BM=BE.BME=45，BME=ECF.又ADBE，DAE=BEA.MAE=CEF.MAECEF（ASA）.AE=EF.9. 8分）解（1）发现：（1分）证明：在等边中，在等边中，即，.（2分）(2)猜测：AF=BD（3分）(3)探究：）（5分）证明：同理可证.）（6分）证明：同理可证，又，.（8分）10. (本题满分12分)解:（1）B（，），D(，). 2分（每空1分）（2）过点E作EGBC，垂足为G. 由旋转性质及矩形性质知： ，= = = 3分 E（，）4分 把B（，），E（，）代入中，得 解得 二次函数的解析式为：5分（评分说明：二元一次方程组解正确也得分）（3）存在符合条件的

7、点P，点Q. 矩形OABC的面积=OAOC= 以O、A、P、Q为顶点的平行四边形的面积是2 OA为平行四边形一边，且OA= OA边上的高为2 6分 点P在的图象上且在轴上方设P（，2） 解得， P1（，），P2（，） 7分 以O、A、P、Q为顶点的四边形是平行四边形 PQOA且PQ=OA=8分 当P1（，）时，则Q1（，），Q2（，）10分 当P2（，）时，则Q3（，），Q4（，）12分（评分说明：写出一个Q点的坐标给1分）二、动态几何11. （1）方法一：解：如图交轴和轴于四边形是平行四边形，过点作轴于则四边形是矩形 代入得 方法二：解：如图交轴和轴于延长交轴于点交轴和轴于四边形是平行四边形

8、 （2）方法一：解：如图，延长交轴于，分别过点作轴的垂线，垂足分别是则四边形、四边形、四边形是矩形； 交轴和轴于，又 方法二：解：如图设把代入得 把代入得 （）（3）方法一：解：如图四边形是平行四边形， 以为直径的圆经过点 解得 即， 方法二：解：如图四边形是平行四边形，以为直径的圆经过点 ，解得 过点作于点，方法三：解：如图由勾股定理得 以为直径的圆经过点， 四边形是平行四边形，即，即12. 解：（1）把点与点代入抛物线，得：解得：抛物线的函数解析式为：.（2）连交于，直线切于，弦，作于，秒时，若，则中，秒（3）令，作轴于，作于，交轴于则，中，中，于是=当时，最大最大这时点13. （1）当时

9、，解得点在点的左侧，的坐标分别为.当时，点的坐标为设直线的解析式为则解得直线的解析式为顶点的坐标为 评分说明：求出直线的解析式给2分，求出两点的坐标各1分，共4分.（2）抛物线上有三个这样的点，分别为： （3）过点作于点，使，则为点关于直线的对称点.连接交直线于点，则点为所求. 过点作轴于点.和都是的余角，.由得 由可得即点的坐标为设直线的解析式为解得 由解得点的坐标为 评分说明：其它解法可参照给分.14. （1）证明: 如图1CNDP, 90，PDC=NCB . 在DCP与CBN中PDC=NCB, DC=CB, DCP=CBN=90DCPCBN. CP=BN . 在COP与BON中CO=BO

10、, OCP=OBN=45,CP=BN，COPBON， OP=ON . COP=BON, 而COP+POB=90，BON+POB=90, 即OPON. 证明: 如图2CNDP, 90，PDC=PCM=NCB. 在DCP与CBN中PDC=NCB, DC=CB, DCP=CBN=90，DCPCBN ， CP=BN . 在COP与BON中CO=BO, OCP=OBN=135,CP=BN，COPBON，OP=ON . COP=BON, 而BON+NOC=90，COP+NOC=90, 即OPON. (2)讨论： 当P在BC上，即时， 当P在BC的延长线上，即时，连结PN，则（无此步骤不扣分）说明：P运动到

11、C点，即时，四边形退化为OBC，这时面积，无论讨论与否，均不扣分.15. 解：（1）解得， ， (2)由题意得，可分两种情况讨论：当时，如图1 解得所以可得当时，如图2 解得所以可得（3）存在 ，说明：以上各题，如果有其它正确解法，可酌情给分。16. 解：（1）将点和点的坐标代入,得,解得,二次函数的表达式为 (2)当点在点处时,直线与相切,理由如下:点,圆心的坐标为,的半径为,又抛物线的顶点坐标为(0,1),即直线l上所有点的纵坐标均为1,从而圆心C到直线l的距离为,直线与相切. 在点运动的过程中,直线与始终保持相切的位置关系,理由如下:方法一: 设点,则圆心的坐标为,圆心C到直线l的距离为

12、,又,则的半径为,来源:Zxxk.Com直线与始终相切. 方法二: 设点1),则圆心的坐标为,的半径为,而圆心C到直线l的距离为,直线与始终相切. 由知,圆C的半径为.又圆心C的纵坐标为,直线l上的点的纵坐标为,所以()当,即时,圆心C到直线l的距离为,则由,得,解得, 此时； ()当,即时,圆心C到直线l的距离为,则由,得,解得, 此时；综上所述,当时,直线与相交. (说明: 若学生就写成或,得全分；若学生依据直观,只考虑圆心C在直线l下方的情况,解出后,就得,也给全分)当时,圆心C到直线l的距离为,又半径为, 当时, 取得最大值为.17. 解：（1）抛物线经过（0，4）， 顶点在直线上 ，

13、 所求函数关系式为： （2）在中，四边形是菱形 、两点的坐标分别是、 当时，当时，点和点都在所求抛物线上 （3）设与对称轴交于点，则为所求的点 设直线对应的函数关系式为则，解得： 当时，P（，）， （4） 即 得 设对称轴交轴于点F，则 （ 存在最大值 由 当时，S取得最大值为 此时点的坐标为（0，） CAxOBAx= EQ F(5,2) E饿xDCANAMCAPCAFCAy18. 解：（1）令，则，解得，（2）抛物线的对称轴为，与轴交点的坐标为，直线的解析式为，且当时，有，直线与对称轴的交点坐标为，不妨设点的坐标为，当点位于上方时，的面积；解方程得：，当点位于下方时，的面积；解方程得：，点的

14、坐标为或；（3）如图，以为直径作，当且仅当直线与相切时符合题意，中，由勾股定理可得：；利用三角形相似可以求得点的坐标设直线的解析式为，代入、可得方程组；解方程组得：直线的解析式为同理可得：直线的另一个解析式为19. 解：（8，0）、（0，4）. 连结，根据题意得点在抛物线上，点P的坐标为（，） 点、的坐标分别为（8，0）、（0，4），垂直平分 ， 即 （0t4）当t=2时，有最大值为64.四边形的最大面积为64个平方单位.（3）抛物线上存在点，使得是直角三角形. 显然，当时， 来源:Zxxk.Com 在和中，即解得，（不符合题意，舍去）当时，点的坐标为（，）（此题解法较多，只要正确，可参考以上评分标准给分）20. 解：（1）当时，；当时，的坐标是， （2）为等边，点，的坐标是，的坐标是， （算出中一个点的坐标即可评1分）把代入，解得：（3）方法一：如图，设切点分别是，连接，过点作轴，为垂足，过作，为垂足为等边，分别与相切，四边形为矩形，四边形为正方形