2011年全国入学统一考试数学一试题及答案

1、2011 年入学数学一试题速查：一、选择题二、填空题三、解答题 1（15） e2d 2 z|12 (1,1)（16）x1 y 1dxdy当 k 1时，原方程有三个根；当 k 1 时，原方程有一个根.略I a（20）（I） a 5 ；（II） 1 21 42 3 ， 2 1 22 ， 3 51 102 23（21）（I） A 的特征值为-1，1，0，对应的特征向量为k11 k1 0 ， k22 k2 0 ， 01 000（II） A 00k 0k 3 33 10 X ,Y 的概率分布为（22）（I）Y-101X001/3011/301/3（II） Z XY 的概率分布为Z-101P1/31/31

2、/3XY 0（III）（9）（10）（11）（12）（13）（14）ln 1 2 e x sin x41 2 2 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）CCABDDDB2 4n1（23）（） 2 ( X )2 ；（） E( 2 ) 2 ， D( ) 2i0nni1一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 曲线 y ( 3)3 (x 4)4 的拐点是 （）（A） (1, 0)（B） (2, 0)（C） (3, 0)（D） (4, 0)【】（C）【考点】函数图形的拐点【难易度】【详解

3、】x1xx 44 可知1, 2, 3,4 分别是：由 yy 33 x 4 4 0 的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知 y(1) 0 ， y(2) y(3) y(4) 0y(2) 0 ， y(3) y(4) 0 ， y(3) 0, y(4) 0 ，故（3，0）是一拐点.n设数列an 单调减少， lim an 0 ， Sn ak (n 1, 2,)，则幂级数k 1（2）n a (x 1)n 的收敛域为 （）nn1（A） (1,1（B） 1,1)（C） 0, 2)（D） (0, 2【】（C）【考点】【难易度】【详解】定理；幂级数的收敛区间和收敛域n： n 1，说明幂级数 a x 1

4、n 的收敛半径 R 1；nknk 1n1a 单调减少， lim a 0 ，说明级数 a1n 收敛，可知幂级数 a x 1n 的收敛nnnnnn1n1半径 R 1.因此，幂级数 a x 1n 的收敛半径 R 1 ，收敛区间为0, 2 .又由于 x 0 时幂级数收nn1敛， x 2 时幂级数发散.可知收敛域为0, 2 .（3） 设函数 f (x) 具有二阶连续导数，且 f (x) 0 ， f (0) 0 ，则函数 z f (x) ln f ( y)在点(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（）（A） f (0) 1， f (0) 0f (0) 1， f (0) 0（B）（C） f (0) 1

5、， f (0) 0】（A）f (0) 1 ， f (0) 0（D）【考点】多元函数的极值【难易度】【详解】f (x)y) 知 z f (x) ln f ( y), z f (x) f ( y) ， z：由 z f ( ) nf (y )xyxyf ( y)f ( y)f ( y) f ( y) ( f ( y) 2 f (x) ln f ( y) ， zyy f (x)zxxf 2 ( y)f (0)f (0) 0 ， z f (0) ln f (0) ，所以 zxyf (0)x0 y 00y 02z(0)yyx0 y 0要使得函数 z f ( ) ln( y) 在点(0,0)处取得极小值，仅

6、需f (0) ln f (0) 0 ，(0) 00() 1，) 0所以有I ln sin x dxJ ln cot x dxK ln cos x dxI , J , K 的大小（4） 设4，4，4，则000关系是（）（A） I J K（B） I K J（C） J I K（D） K J I】（B）【考点】定积分的基本性质【难易度】【详解】，因为0 x 时，4：0 sin/4，因此ln sin444ln sin xdx ln cos xdx ln cot xdx ，故选（B）000（5） 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第 3 行 1

7、0 10 0001得矩阵，记 P 110 ， P 01 , 则 A=（）12 01 00 0（B） P1P（D） P P1（A） PP（C） P P1 2122 12 1【】（D）【考点】矩阵的初等变换【难易度】【详解】：由初等矩阵与初等变换的关系知 AP1 B ， P2 B E ，所以 A BP 1 P 1P 1 P P 1 ，故选（D）1212 1（6） 设 A (1,2 ,3 ,4 ) 是 4 阶矩阵，A 为 A 的伴随矩阵，若(1, 0,1, 0) 是方程组 Ax=0*T的一个基础解系，则 A* x 0 的基础解系可为（）（A） 1 ,32 ,3 ,4（B） 1 ,2（C） 1 ,2

8、,3（D）】（D）【考点】【难易度】矩阵的秩；【详解】线性方程组的基础解系：由 x 0 的基础解系只有一个知 r( A) 3 ，所以 r( A ) 1 ，又由 A A A E 0 知，1 ,2 ,3 ,4 都是 x 0 的解，且 x 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又1 1 0 0 A 1 ,2 ,3 ,4 0 ， 所以 , 线性相关， 故 ， ， 或13131241 1 0 0 为极大无关组，故应选（D）.（7） 设 F1 (x) , F2 (x) 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1 (x) , f2 (x) 是连续函数，则必为概率密度的是 （）（A） f1 (x) f2 (x)（B

9、） 2 f2 (x) F1 (x)（C） f1 (x) F2 (x)】（D）（D） f1 (x) F2 (x) + f2 (x) F1 (x)【考点】连续型随【难易度】【详解】量的概率密度的性质f1 x F2 x f2 x F1 x 0 ；：检验概率密度的性质： f1 x F2 x f2 x F1 x fx Fx fx F x dx F x Fx 1 . 可知 122112为概率密度，故选（ D ）.（8） 设随量 X 与Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 maxX ,Y ,V min X ,Y , 则 E(UV ) U（）（B） EX EYEU EV】（B）EU EYEX EV（A）

10、【（C）（D）【考点】随【难易度】【详解】量数学期望的性质：由于UV maxX ,Y minX ,Y XY可知 E(UV ) E(maxX ,YminX ,Y) E( XY ) E( X )E(Y )故应选（B）二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将写在答题纸指定位置上.x（9） 曲线 y tan tdt(0 x ) 的弧长 s .40】 ln 1 2 【考点】定积分的几何应用平面曲线的弧长【难易度】【详解】： ds 1 y2 dx 1 tan2 xdx sec xdx04 y 002dx 4 tan2 xdx 4 sec2 x 1ds 4 1.04（10） 微分方程 y

11、 y e x cos x 满足条件 y(0) 0 的解为 y .】 y e x sin x【考点】一阶线性微分方程【难易度】【详解】：原方程的通解为y e1dx ecos xdx C e xsin x C 由 y(0 ，得C 0 ，故所求解为 y sin xe x2 Fsin txy（11） 设函数 F (x, y) dt ，则1 t 2 .x20 x0 y 2【】4【考点】积分上限的函数及其导数；二阶偏导数【难易度】【详解】Fsin xy： yx1 (xy)22 Fy cos(xy)(1 x2 y2 ) 2xy2 sin(xy)2 F y 4 .，故x2(1 x2 y2 )2x2x0 y 2

12、设 L 是柱面 x2 y2 1与平面 z x y 的交线，从 z向往 z 轴负向看去为逆时（12） y2针方向，则曲线积分 L xzdx xdy dz .2】 【考点】第二类曲线积分的计算【难易度】【详解】x cos t，其中t 从0 到 2 .因此：曲线 L 的参数方程为 y sin tz cos t sin ty2 xzdx xdy dz2L2cos t(cos t sin t)( sin t) cos t cos t sin t (cos t sin t)dt22023(sin t cos2 t sin 2 t cos t cos2 t sin t cos t sin t)dt2222t

13、dt sin t d (sin t)sin t(cos t cos t)dt cos2222cos 2t 1111dt sin tsin 2t 4t2 0 326（13） 若二次曲面的方程 x2 3y2 z2 2axy 2xz 2yz 4，经正交变换化为y 2 4z 2 4 ，则 a .11【】 a 1 .【考点】二次型的标准形【难易度】【详解】：由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵 A 的特征值， 11a31故 A 的特征值为 0，1，4.由于二次型所对应的矩阵为 A a1 111a3113 i 0 ，故 a1 0 a 1.A而i111量 X ,Y 服从正态分布 N

14、 , ; 2 , 2 ; 0 ，则 E XY 2 = .（14） 设二维随【】 2 2 【考点】二维正态分布的性质【难易度】【详解】： 0 ，由二维正态分布的性质可知随量 X ,Y 独立.因此 E( XY 2 ) EX EY 2 . , EY 2 DY EY 2 2 2 ，则由于( X ,Y ) 服从 N (, ; 2 , 2 ; 0) ，可知 EXE( XY 2 ) 2 2 .三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 10 分） 1 ) ex 1 .ln(1 x)求极限lim(xx0【考点】两个重要

15、极限；【难易度】法则【详解】1 ln(1 x) 1 1 1 ) ex 1ln(1 x) 1xln(1 x)ln(1 x)xex 1 lim1 (1)： lim(xxx0 x01ln(1 x)ln(1 x)ln(1 x) 1x（ x 0 时，1 0 ， lim1 (1) e ）xxx0lim ln(1 x) 1 1 ex0 xex 1 （ x 0 时， ex 1 x ） 11xln(1 x) x x2 1 2 .lim 1 x limlim ex0 ex0 2) e（16）（本题满分 9 分）设函数 z f (xy, yg (x) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x) 可导且在 x

16、 12 z处取得极值 g(1) 1，求.xyx1 y 1【考点】多元复合函数二阶偏导数的求法【难易度】【详解】： z f (xy, yg (x)zx f (xy, yg(x) y f (xy, yg (x) yg (x)122 z f1 (xy, yg(x) y f11 (xy, yg (x)x f12 (xy, yg (x)g (x)xyg(x) f2(xy, yg(x) yg(x) f21 (xy, yg(x) x f22 (xy, yg(x)g(x) g(x) 在 x 1 可导，且为极值.2 z g(1) 0 ，则|12 (1,1).x1 y 1xy（17） （本题满分 10 分）求方程

17、k arctan x x 0 不同实根的个数，其中 k 为参数.【考点】零点定理；函数单调性的判别【难易度】【详解】：令 f (x) k arctan x x ，则 f (x) 是(, ) 上的奇函数，且k 1 x2f (0) 0 ， f (x) .1 x2当k 1 0 即 k 1 时， f (x) 0(x 0) ， f (x) 在(, ) 内单调减少，方程 f (x) 0 只有一个实根 x 0 .当k 1 0 即 k 1时，在(0, k 1) 内， f (x) 0 ， f (x) 单调增加；在( k 1, ) 内，f (x) 0 ， f (x) 单调减少，所以 f ( k 1) 是 f (x

18、) 在(0, ) 内的最大值.由于 f (0) 0 ，所以 f ( k 1) 0 .an x 1) ，所以存在 ( k 1, ) ，使得又因为 lim f (xf ( ) 0 .由 f (x) 是奇函数及其单调性可知，当 k 1时，方程 f (x) 0 有且仅有三个不同实根x ， x 0 ， x .（18） （本题满分 10 分）1 ln(1 1 ) 1 成立.（I）证明：对任意的正整数 n，都有n 1nn 1 1 1 ln n(n 1, 2,) ，证明数列a 收敛.（II）设 ann2n日中值定理；比较审敛法【考点】单调有界准则；【难易度】【详解】 0, 1 f 证明：（）设n 显然 f (

19、x) 在0, 1 上满足日中值定理n f 1 0 ln1 1 ln1 ln1 1 1 , 0, 1 1f n n n n 1 n1 1 1 1 1 1 111 1 1 0,时，n ,即1nn1 n1 0 nn 11 nn1 ln 1 1 11n n 1n结论得证111n1（II）方法一：设 an 1 ln n ln n .23nk 1 k先证数列an 单调递减. n1 11n1n11 an1 anln n 1ln n lnln 1n 1n 1n 1kkn k 1 k 11 1 ln(1 1 ) ，所以n1ln 1 0 得到 a a ，即利用（I）的结论可以得到n n1nn 1n 1数列an 单

20、调递减.再证数列an 有下界.1 n1knk 1an ln n ln 1 ln nkk 1 k 1 2n 11 nn3 4 ln n1 ln 1 ln lnkk 1 k 1 2 3nk 1n1kn1 an ln n ln 1 ln n ln n 1 ln n 0kk 1k 1得到数列an 有下界.利用单调递减数列且有下界得到an 收敛.111n1方法二：设an 1 ln n ln n23nk 1 k n 1 n 2 3 2 1ln n ln n n 1 n 2 n 32 1 ln n 1 ln 3 ln 2n lnn 1n 22 ln 11 ln 11 ln 11 ln 1 1 ln 11 n

21、 1n 2 n 3 2 n11 ln 1k k 1nn 1 1 n1 11 n1 1ln 1 k ln 1 k nk kk 1 k 1k 11 ln 1 1 10 1 ln 1 1 1 1又k k k 1kk 1kkn1 11 n1 1 1 0 k ln 1 k k k 1k 1 k 1 n1 11又 sn 收敛kk 1k 1 11 ln 1收敛由正项级数的比较判别法可知：kkk 1 n1 11 s ln 1收敛 kk nk 1 a s 1 收敛nnn数列an 收敛（19） （本题满分 11 分）已知函数 f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 f (1, y) 0 ，f (x,1) 0 ，

22、 f (x, y)dxdy a ，D其中 D(x, y)| 0 x 1,0 y 1，计算二重积分 I xy f (x, y)dxdy .xyD【考点】利用直角坐标计算二重积分；定积分的换；定积分的分部积分法【难易度】【详解】1111： I xdxyf (x, y )dy xdxydf (x, y)xyx0000 x, y dy 10(x, y)dy 10 f (x,1) 0 f (x,1) 0 x1111I xdxf x (x, y)dy dyxf (x, y)dxx0000 dy xf (x, y) |1 f (x, y)dx dy f (1, y) f (x, y)dx111100000

23、f (x, y)dxdy a .D（20） （本题满分 11 分）设向量组 (1,0,1) , (0,1,1) , (1,3,5) ，不能由向量组 (1,1,1) , (1, 2,3)T ,TTTT123123 (3, 4, a) 线性表示.T（I）求 a 的值；（II）将 1 , 2 , 3 用1 ,2 ,3 线性表示.【考点】向量组线性相关的充分必要条件；向量的线性表示【难易度】【详解】1011135：（I）因为 1 ,2 ,3 0 1 0 ，所以1 ,2 ,3 线性无关.1那么1 ,2 ,3 不能由 1 , 2 , 3 线性表示 1 , 2 , 3 线性相关，即1 1112334a111

24、231a 31 , 2 , 3 0 a 5 0 ，0所以 a 51011 1（II）令 A 4 0210 210 4 1从而 1 21 42 3 ， 2 1 22 ， 3 51 102 23 .（21） （本题满分 11 分）1 1 1 1设 A 为 3 阶实对称矩阵， A 的秩为 2，且 A 00 0 .01 11 1 求 A 的所有特征值与特征向量；求矩阵 A .【考点】矩阵的特征值的概念、矩阵的特征向量的概念、实对称矩阵的特性、实对称矩阵的相似对角矩阵【难易度】【详解】：（I）因 r( A) 2 知 0 ，所以 0 是 A 的特征值.A 1 1 1 11又 A 0 0 0 ， A 0 0

25、 ，1 1 1 11所以-1，1 是 A 的两个特征值，对应的特征向量分别为1 (1, 0, 1) ， (1, 0,1) .TT2设3 (T3 ) 是 A 属于特征值 0 的特征向量.由于 A 为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此 x1 x1 x 0,x(1, 0, 1) x 0 ， (1, 0,1) x 0 ，即132 2 x x 0 13 x x 3 3 于是属于 0 的特征向量为3 (0,1, 0) .T故矩阵 A 的特征值为-1，1，0；特征向量依次为 k (1, 0, 1)T ， k (1, 0,1)T ， k (0,1, 0)T ，其123中k1 , k2 , k3

26、 为任意非零常数. 10 011010（II）令 P ( , , ) 001 ，则 P1 AP 00 ，于是123 1 100 0 10 11 / 2 00100 110101001 / 20010001 A P 00 P 1 1 01 / 2 00 0001 / 200 10 0 10 00（22）（本题满分 11 分）设随量 X 与Y 的概率分布分别为且 P( X 2 Y 2 ) 1 .求二维随量( X ,Y ) 的概率分布；求 Z XY 的概率分布；求 X 与Y 的相关系数 XY .【考点】二维离散型随的概念量的概率分布；二维离散型随量分布函数的计算；相关系数Y101P1 / 31 / 31 / 3X01P1 / 32/ 3【难易度】【详解】：（I）由于 P X 2 Y 2 1，因此 P X 2 Y 2 0 .故 P X 1 P X 0 P X 1 0 0,Y 1,Y 0,Y. P Y 1 P X 1 P X 1 P X 1 1 / 3 ， 1,Y 0,Y 1,YP Y 0 P X 0 P X 0 P X 0 1 / 3 1,Y 0,Y 0,Y，P Y 1 P X 1 P X 1