2022年《直线的倾斜角与斜率》教案及说明

1、直线的倾斜角与斜率的教学设计一、教学目标 1、探究确定直线位置的几何要素,感受倾斜角这个反映倾斜程度的 几何量的形成过程；2、通过教学,使同学从生活中的坡度,自然迁移到数学中直线的斜 率,感受数学概念来源于生活实际,数学概念的形成是自然的,从而 渗透辩证唯物主义思想；3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面,刻画直线相对于 x 轴 倾斜程度的两个量这一事实,渗透数形结合思想；4、经受用代数方法刻画直线斜率的过程,初步把握过已知两点的直 线的斜率运算公式,渗透几何问题代数化的解析几何争论思想；二、教学重点与难点 重点： 1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念； 2、推导并初步把握过两点的直线斜率公式

2、；、体会数形结合及分类争论思想在概念形成及公式推导中的 3 作用；难点： 用代数方法推导斜率的过程；三、教学方法运算机帮助教学与发觉法相结合；即在多媒体课件支持下, 让学生在老师引导下,积极探究,亲身经受概念的发觉与形成过程,体验 公式的推导过程,主动建构自己的认知结构；- 1 - 四、教学过程（一）创设情境,揭示课题问题 1、（出示幻灯片）给出的两点P、Q相同吗？从形的角度看,它们有位置之分,但无大小与外形之分；从数的角度看,如何区分两个点？（用坐标区分）问题 2、过这两点可作什么图形？唯独吗？只经过其中一点（如点 P）可作多少条直线？如只想定出其中的一条直线,有其他方法吗？可以增加一个什么

3、样的几何量？识到需要有一个角）除了再用一点外, 仍（估量不少同学能意由此引导同学归纳,确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度 问题 3、角的形成仍需一条线,也就是说要有刻画倾斜程度的角,就必需仍有一条形成角的参照的直线；在平面直角坐标系下, 以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（同学可能回答 x 轴或 y 轴）以 x 轴或 y 轴为基准都可以,习惯上我们用 x 轴；问题 4、过点 P与 x 轴形成 45 角的直线有几条？（同学可能答一条或两条,投影yL2pL1x演示结果）如何区分清晰这两条直线o；135呢？估量同学能想到仍需要确定方；45向；- 2

4、- 挑选哪个角来描述直线的倾斜程度,条直线都有唯独的角与它对应呢？就能保证坐标系下的任何一（老师引导同学选取不同的方一直描述角,并区分 L1 与 L2）；数学概念来刻画事物时, 讲求统一美与简洁美, 如何用数学语言 精确描述这个角呢？（揭示课题）1、倾斜角的定义 ：在直角坐标系下, 以 x 轴为基准, 当直线 l 与 x 轴相交时, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角,叫做直线 l 的 倾斜角；同学练习画出过点P的各种倾斜角的直线；yplxypxloypxyploooxl 1 2 3 4同学简单忽视与 x 轴平行的直线,补出图（4）,问倾斜角在哪儿？如何规定？规定：当直线 l 与 x

5、轴平行或重合时,它的倾斜角为 0 ；自然有倾斜角的范畴是 0 ,180 ）这样平面直角坐标系中每条直线都有唯独一个确定的倾斜角 与它对应；倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不同的直 线,其倾斜角不相等；以上定义了一个从 “ 形” 的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内 一条直线的倾斜程度；- 3 - （二）巩固旧知,同化新知 生活中,我们都有过爬山、爬坡的体验,对于斜坡的倾斜程度,可以用什么量来反映？（坡角与坡度）中学对坡度是如何定义的？上升量坡度（比） =（即坡角的正切值 ）前进量当坡角 增大时,坡度如何变化？当坡角 =90 与 0 时,上升量、前进量分别是什么？坡度又分别 是什么？坡角

6、、坡度都能反映倾斜程度, 迁移到数学中,坡角相当于直线 的倾斜角,而坡度就对应于直线的斜率；2、斜率 ：倾斜角不是90 的直线,其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率；即ktan90k上）问题 5、当为钝角时,直线的斜率如何求？（转化到其补角y 180是锐角tanktantan 180o x 如：倾斜角120 ,就斜率3问题 6、当在0 ,180 ）内变化时,斜率k 如何变化？- 4 - yplxypxloypxyploooxl0 90 = 9090 180= 0k 0k 不存在k 0k =0问题 7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度,哪个量更优越呢？倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度, 而斜率是比

7、值,实质是数值,它能从数的角度反映倾斜的程度,明显用斜率更细致入微些；（三）尝试推导,深化熟识 两点确定一条直线, 可见由两点也就确定了直线的倾斜程度,即 倾斜角与斜率；看来,直线上两点与直线的斜率有着密不行分的联系；问题 8、在平面直角坐标系中,已知直线上两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）且 x1 x 2,能否用 P1 、P2的坐标来表示直线斜率k？（同学活动）：随便在坐标系下画两点P1 、P2及直线 P1 P2,探究各种图形并尝试推导,可以先特别再一般,也可先一般再特别地去分析；老师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中,类似上升量, 前进 量,用点的坐标表示线段长, 并请同学表达

8、各个图的推导过程与结果；- 5 - y yP 2（ x2, y2）P 2（ x2, y2）Q （ x 2, y1）P 1（ x1, y1） P 1（ x1, y1）Q （ x2, y1）O x O xy yP 1（ x1, y1）P 1（ x1, y1）Q （ x 1, y2） P 2（ x2, y2）Q （ x 1, y2）P 2（ x2, y2）O x O x解：设直线 P1 P 2 倾斜角为（90 ）当直线 P1 P 2 方向向上时,过点 P1 作x 轴的平行线,过点P2作 y 轴的平行线,两线交于点Q,就点Q为（x 2,y 1）（1）当 为锐角时,QP 1P 2,x 1 x 2,y 1

9、 y 2在 Rt P 1 P 2 Q 中,tan tan QP 1 P 2 QP 2 y 2 y 1P 1 Q x 2 x 1（2）当 为钝角时,180（设 QP 1P 2 = ）,x 1 x 2,y 1 y 2tan = tan 180 tan在 Rt P 1 P 2 Q 中,tan QP 2 y 2 y 1 y 2 y 1QP 1 x 2 x 1 x 2 x 1tan y 2 y 1（可让同学分组推导）x 2 x 1同 理 , 当 直 线 P2P1 方 向 向 上 时 , 无 论 为 锐 角 或 钝 角 , 也 有t an y 2 y 1,即 k y 2 y 1x 2 x 1 x 2 x

10、1- 6 - 摸索： 1、各种一般情形得出的结论一样吗？与 序有关系吗？P1、P2 这两点坐标顺2、当直线垂直于 x 轴或 y 轴时,上述结论适用吗？3、斜率公式使用时应留意什么问题？巩固练习 ：求经过以下两点直线的斜率, 并判定倾斜角是锐角仍是钝 角；（1）A（3,2 ）,B （-4,1 ）（kAB1）7（2）A（3,2 ）,B （4,1 ）（k AB1）（3）A（3,2 ）,B （3,-1 ）（不存在）（4）A（3,2 ）,B （-4,2 ）（kAB0）（四）反思小结,概括提炼（同学们这节课有何收成？）1、明确了确定直线位置的几何要素；2、懂得了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率） ,知道了求

11、斜率的 两种方法（定义法、坐标法）k tan y 2 y 1x 2 x 13、经受了代数方法刻画斜率的过程 , 感受了数形结合与分类争论 的数学思想 五 板书设计 直线的倾斜角与斜率1、倾斜角的定义（同学展现推导斜 范畴 0,180 ）率公式的图形）2、直线的斜率ktan（90 ）为钝角时,ktantan 180tan- 7 - （六）作业： 自学课本 P85：例 1、例 2；作业本： P89：1、2、3；【教案说明】直线的倾斜角与斜率一、教学内容与位置作用解析本节课是新人教版 1、内容分析A版高一数学必修（ 2）的 3.1.1 节的内容；本节课的主要内容有两个概念（直线的倾斜角、直线的斜率）

12、及一个公式（斜率运算公式）直线的倾斜角是反映直线倾斜方向的量,它也是确定直线位置的一个重要的几何要素,它实质上能从“ 形” 的角度刻画直线的倾斜程 度；直线的斜率指倾斜角不是90 的直线, 其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率；教材是从生活中斜坡的坡度迁移到直线的斜率概念 的；直线的斜率可看作是比值,实质上是数值,所以直线的斜率从本质上可看成是从 “ 数” 的角度刻画直线的倾斜程度； 华罗庚先生说过：“ 数缺形时少直观,形少数时难入微”率刻画倾斜程度会更细致；明显,与倾斜角相比,用斜关于过已知两点的直线斜率公式： 由于过两点的直线是唯独确定 的,所以其倾斜程度也就确定（即直线的斜率也是确定的）；

13、从而在 直角坐标系中,直线的斜率与直线上两点的坐标就有密不行分的联- 8 - 系；斜率ky2y 1不仅反映了这种联系,并用代数方法表示了出来,x2x 1而且在公式的推导中包蕴了分类争论、想；2、位置作用分析数形结合、 化归等重要数学思本节课是高中解析几何部分的起始课,同学具备的学问基础是在 直角坐标系中会用坐标表示点, 明确了坐标平面上的点与有序数对可 建立一一对应的关系； 这节课的教学内容, 不仅能反映出数学概念离 不开生活,数学是自然有用的,而且包蕴了几何问题代数化的思想,从学问点及争论方法上, 为后继判定两条直线的位置关系以及建立直 线的方程等内容起着关键性的铺垫作用；二、教学目标解析

14、1、探究确定直线位置的几何要素,感受倾斜角这个反映倾斜程 度的几何量的形成过程；2、通过教学,使同学从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜 率的过程,感受数学概念来源于生活实际, 数学概念的形成是自然的,从而渗透辩证唯物主义思想；3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于 x 轴倾斜程度的两个量这一事实,渗透数形结合思想；4、经受用代数方法刻画直线斜率的过程,初步把握过已知两点 的直线的斜率运算公式,渗透几何问题代数化的解析几何争论思想；三、教学问题诊断分析 1、关于倾斜角的概念： 为什么要引入倾斜角？如何描述这个角？- 9 - 这些地方都是教学中易忽视的,也是同学最难懂得的地方；

15、直接给出倾斜角的定义, 会使同学误认为数学概念就是肯定抽象的,你只要接受就可以了,这样我们就把活生生的、 自然的数学演化成高不行攀的,为聪慧人预备的学科, 会慢慢使很多同学变得被动学习,缺乏数学学习爱好及自信心；所以,在引入这节课时,应重点让同学感受引入倾斜角的必要性,要描述清晰倾斜角必需规定“ 基准” 与“ 直线方向”,从而能自然地、精确地描述清晰定义；2、对于斜率,同学基本上能从斜坡的坡度中顺当迁移过来,当倾斜角为 90 及 0 时可以特别熟识,当倾斜角为钝角时 与斜坡稍有不同 斜率的求法应重点分析,突出转化思想的同时,引导同学熟识P83 页的脚注,使同学对全部直线的斜率情形有全面的熟识；

16、另外,倾斜角和斜率分别是从“ 形” 与“ 数” 的不同方面刻画直线的倾斜程度,相比较斜率更具有优越性；3、斜率运算公式的得出,同学有两点不易把握；一方面,怎样将两点坐标与 tan 相联系；另一方面,图形分析不够全面；对前者,可供应同学探究发觉的机会, 对后者老师可先让同学在直角坐标系下联想坡度,找上升量与前进量,再引导其转化为坐标表示；公式的推导过程是多数同学能独立解决的,教学中应放手让同学推导并体会数形结合与分类争论的思想,有助于培育同学争论问题的独立性、条理性、全面性；教学重点 ：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念； 2、推导并初步把握过两点的直线斜率公式；- 10 - 3、体会数形结合及

17、分类争论思想在概念形成及公式推导 中的作用；教学难点： 用代数方法推导斜率的过程；四、本节课的教学方法：运算机帮助教学与发觉法相结合；即在多媒体课件支持下, 让学生在老师引导下,积极探究,亲身经受概念的发觉与形成过程,体验 公式的推导过程,主动建构自己的认知结构；五、教学过程设计（一）创设情境,揭示课题 问题 1、给出的两点 P、Q相同吗？如何区分这两个点？问题 2、过这两点可作什么图形？只经过其中一点（如点 P）可作多少条直线？如只想定出其中的一条直线,方法吗？可以增加一个什么几何量？除了再用一点外, 仍有其他【设计意图】引导同学归纳确定直线位置的几何要素 问题 3、角的形成仍需一条线；即要

18、有刻画倾斜程度的角,就必需仍 有一条形成角的参照的直线； 在平面直角坐标系下, 以哪条轴线为基 准形成刻画倾斜程度的角？问题 4、过点 P 与 x 轴形成 45 角的直线有几条？如何区分这两条直 线？ 挑选哪个角来描述直线的倾斜程度,就能保证坐标系下的任何 一条直线都有唯独的角与它对应呢？【设计意图】倾斜角的形成离不开“ 基准” 与“ 直线方向” 的规定,同时让同学感受数学概念是自然的以及数学定义的统一美与简洁美,- 11 - 从而提示本节课的课题；同学练习画出过一点的各类倾斜角的直线, 并完善倾斜角的定义；（二）巩固旧知,同化新知 依据同学的生活体会, 将坡度自然迁移到斜率的概念上,通过坡

19、角（倾斜角）的变化,感受斜率的变化,使同学熟识到数学概念是亲 切的,激发其求知欲；问题 5：生活中坡角没钝角,当为钝角时,直线的斜率如何求？【设计意图】使同学会用转化思想求 为钝角时的斜率,明确课本脚 注的用法；问题 6、当在0 ,180 ）内变化时,斜率k 如何变化？【设计意图】更条理、更全面地熟识斜率与倾斜角的变化关系；问题 7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度,哪个量更优越呢？【设计意图】 突出斜率刻画倾斜程度的优越性是更细致入微,使用方 便简洁；（三）尝试推导,深化熟识 两点确定唯独一条直线,可见由两点也就确定了直线的倾斜程 度,即倾斜角与斜率；看来,直线上两点与直线的斜率有着密不行分 的联系；问题 8、在平面直角坐标系