湖北省高考数学考试说明分析选修2-1

1、PAGE PAGE 122014高考数学考试说明研究之选修2-1 一常用逻辑用语1.考点具体内容及层次要求：内 容知识点知识要求了解（A）理解（B）掌握（C）常用逻辑用语“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，及其相互关系充分条件、必要条件、充要条件简单的逻辑联结词全称量词与存在量词对含一个量词的命题进行否定2.变化：2014年与2013年考试说明对比：考点及要求相同。3.题型示例：例1（2013湖北卷理3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A. B. C. D.

2、【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。故选A。【相关知识点】命题及逻辑联结词.例2.（2012湖北卷理2）命题“，”的否定是（ ）A， B，C， D，【解析与答案】：根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。因此选D【相关知识点】本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别.4.考情分析及命题预测：常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考查形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题的重点主要有四个：一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条

3、件的判断，这也是历年高考命题的重中之重。三是常以逻辑联结词“或”“且”“非”为工具，考查函数、数列、立体几何、解析几何等知识四是全称命题、特称命题的考查，一般有两种方式：一是直接考查，判断含有全称量词与存在量词命题的真假，以命题为载体，综合考查已学过的其他知识点；二是考查含有全称量词与存在量词命题的否定，熟练掌握全称命题与特称命题的否定形式是关键。预测：2014年高考对本节内容的考查仍将以命题真假判断与充要条件、全称量词与存在量词为主，题型延续选择题、填空题的形式，分值约为5分以数学中其他知识为载体，考查充分条件、必要条件有加强的趋势，在高考备考中应予以高度重视.二圆锥曲线与方程1. 考点具体

4、内容及层次要求：内 容知识点知识要求了解（A）理解（B）掌握（C）圆锥曲线与方程圆锥曲线椭圆的定义及标准方程椭圆的简单几何性质抛物线的定义及标准方程（文科）（理科）抛物线的简单几何性质（文科）（理科）双曲线的定义及标准方程双曲线的简单几何性质直线与圆锥曲线的位置关系曲线与方程曲线与方程的对应关系（仅限理科）2.变化：2014年与2013年考试说明对比：考点及要求相同。3.题型示例：例3（2013湖北理5）已知，则双曲线与的（ ）A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等【解析与答案】双曲线的离心率是，双曲线的离心率，故选D【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形例4.（2

5、013湖北卷理21）如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，。记，和的面积分别为和。（I）当直线与轴重合时，若，求的值；（II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由。第21题图【解析与答案】依题意可设椭圆和的方程分别为：，：. 其中，（）解法1：如图1，若直线与轴重合，即直线的方程为，则，所以. 在C1和C2的方程中分别令，可得，于是.若，则，化简得. 由，可解得.故当直线与轴重合时，若，则. 解法2：如图1，若直线与轴重合，则，；，.所以. 若，则，化简得. 由，可解得.第21题解答图

6、1第21题解答图2故当直线与轴重合时，若，则. （）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，则因为，所以. 又，所以，即. 由对称性可知，所以，于是. 将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得，.根据对称性可知，于是. 从而由和式可得. 令，则由，可得，于是由可解得.因为，所以. 于是式关于有解，当且仅当，等价于. 由，可解得，即，由，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，

7、则因为，所以. 又，所以.因为，所以.由点，分别在C1，C2上，可得，两式相减可得，依题意，所以. 所以由上式解得. 因为，所以由，可解得.从而，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得. A1 A2 yB2 B1AO BCDF1 F2 x【相关知识点】直线与椭圆相交的问题（计算异常复杂）例5.（2012湖北卷理14）如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则（）双曲线的离心率 ；【解析与答案】（）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，因此的长为，那么在中，由三角

8、形的面积公式知，又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出【相关知识点】本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义.例6.（2012湖北卷理21）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线（）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析与答案】（）如图1，设，则由，可得，所以，. 因为点在单位圆上运动，所以. 将式代入式即得所求曲线

9、的方程为. 因为，所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，. （）解法1：如图2、3，设，则，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为，于是由韦达定理可得，即.因为点H在直线QN上，所以.于是，. 图2 图3 图1O D xyAM第21题解答图而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 解法2：如图2、3，设，则，因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得. 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三点共线，所以，即. 于是由式可得.而等价于

10、，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 【相关知识点】本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质，并能熟练运用代数方法解决几何问题，对运算能力有较高要求。4.考情分析及命题预测：从近几年高考试题可以看出，对于椭圆其定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，几乎每年必考尤其是离心率问题是各地高考考查的重点，多在选择、填空中出现，主要考查学生结合定义，几何性质，分析问题解决问题的能力以及运算能力在解答题中考查较为全面，在考查对椭圆基本概念与性质理解及应用的同时，又考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析问题、解决问题

11、的迁移能力及数形结合思想、转化与化归思想预测2014年高考会考查利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的问题；考查椭圆的标准方程及其几何性质，利用椭圆的几何性质求离心率等问题对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点：(1)求双曲线的方程(2)以双曲线的方程为载体，研究与参数a，b，c，e及渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点预测：2014年高考仍会延续这种情形，以双曲线的方程与性质为主，应注意与向量、直线、圆等知识的综合.对于抛物线，一方面以选择题、填空题的形式考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等基础知识，另一方面以解答题的形式考查抛物线的概念和性质、直线与抛物线的位置关系的综

12、合问题，着力于数学思想方法及数学语言的考查，题目的运算量一般不是很大，属于中档题预测：2014年对本节内容的考查仍将以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主，三种题型均有可能，与向量等知识综合命题的趋势较强.从近三年的高考试题来看，由定义法求曲线的方程、由已知条件直接求曲线的方程等是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中等偏高，主要考查曲线的定义，求曲线轨迹方程的方法，考查学生的运算能力，以及分析问题、解决问题的能力预测：2014年仍以求曲线的方程和研究曲线的性质为主，要多关注与向量知识的综合.对于直线与圆锥曲线的综合考查，主要涉及曲线方程的求法、位置关系的判定及应用、弦长问题、最值问题、定点定

13、值的探索问题等考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力同时着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目.预测：本节内容仍是2014年高考的热点之一，题型仍以解答题为主，难度可能会偏难内容会围绕直线与圆锥曲线的位置关系，展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查设计出探究性、存在性问题也属正常分值1318分会更加注重知识间的联系与综合，更加注重对综合应用知识解决问题的能力的考查，更加注重对数学思想方法尤其是函数思想、数形结合思想及分类讨论思想的考查.三空间向量与立体几何1. 考点具体内容及层次要求：内 容知识要求了解（A）理解（B）掌握（C）空间向量与立体几何空间直

14、角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离公式空间向量及其运算（仅限理科）空间向量的概念空间向量基本定理空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的线性运算及其坐标表示空间向量的数量积及其坐标表示运用向量的数量积判断向量的共线与垂直空间向量的应用（仅限理科）空间直线的方向向量空间平面的法向量用向量方法计算直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角用向量方法证明直线、平面位置关系的简单命题2.变化：2014年与2013年考试说明对比：考点及要求相同。3.题型示例：例7.（2013湖北卷理19）如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,分别是,的中点.( = 1 * ROMAN * MERGEFORM

15、AT I)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;第19题解答图1( = 2 * ROMAN * MERGEFORMAT II)设( = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足.记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:.第19题图【解析与答案】（）直线平面，证明如下：连接，因为，分别是，的中点，所以. 又平面，且平面，所以平面.而平面，且平面平面，所以. 因为平面，平面，所以直线平面. （）（综合法）如图1，连接，由（）可知交线即为直线，且. 因为是的直径，所以，于是.已知平面，而平面，所以.而

16、，所以平面.连接，因为平面，所以.故就是二面角的平面角，即. 由，作，且. 连接，因为是的中点，所以，从而四边形是平行四边形，.连接，因为平面，所以是在平面内的射影，故就是直线与平面所成的角，即. 又平面，有，知为锐角，故为异面直线与所成的角，即， 于是在，中，分别可得，从而，即. （）（向量法）如图2，由，作，且.连接，由（）可知交线即为直线.以点为原点，向量所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有第19题解答图2,. 于是，所以，从而. 又取平面的一个法向量为，可得，设平面的一个法向量为， 所以由 可得 取.于是，从而. 故，即. 【相关知识点】本题考察立体几何线面的基本关

17、系，同时考察异面直线所成的角、直线与平面所成角以及二面角。本题可用综合法和空间向量法都可以。运用空间向量法对计算的要求要高些。例8.（2012湖北卷理19）（本小题满分12分）如图1，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将折起，使（如图2所示） （）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小DABCACDB图2图1ME.【解析与答案】（）解法1：在如图1所示的中，设，则由，知，为等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如图2），且，所以平面又，所以于是 ，当且仅当，即时，等号成立，故当，

18、即时, 三棱锥的体积最大 解法2：同解法1，得 令，由，且，解得当时，；当时， 所以当时，取得最大值故当时, 三棱锥的体积最大 （）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系由（）知，当三棱锥的体积最大时，于是可得，且设，则. 因为等价于，即，故，.所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时， 设平面的一个法向量为，由 及，得 可取 设与平面所成角的大小为，则由，可得，即CADB图aEMxyz图bCADBEFMN 图cBDPCFNEBGMNEH图d第19题解答图N 故与平面所成角的大小为 解法2：由（）知，当三棱锥的体积最大时，如图b，取的中点，连结，则.由（）知平面，所以平面.如图c，延长

19、至P点使得，连，则四边形为正方形，所以. 取的中点，连结，又为的中点，则，所以. 因为平面，又面，所以. 又，所以面. 又面，所以.因为当且仅当，而点F是唯一的，所以点是唯一的.即当（即是的靠近点的一个四等分点）， 连接，由计算得，所以与是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取的中点，连接，则平面在平面中，过点作于，则平面故是与平面所成的角 在中，易得，所以是正三角形，故，即与平面所成角的大小为 【相关知识点】本题考察立体几何线面的基本关系，考察如何取到最值，用均值不等式和导数均可求最值。同时考察直线与平面所成角。本题可用综合法和空间向量法都可以。运用空间向量法对计算的要求要高些。4.考

20、情分析及命题预测：由于向量具有几何形式和代数形式的特点，所以使空间向量成为处理空间问题的重要工具，它可以将空间元素的位置关系转化为数量关系，将空间中的逻辑证明转化成数值计算，从而降低了题目的难度通过近几年的高考试题可以看出，对于空间向量及其运算很少单独考查，主要是通过空间向量的运算及应用去解决立体几何中有关的平行与垂直的证明，角与距离的探求等问题预测：2014年高考仍延续这种形式，作为基本工具解决空间角和距离问题，以解答题形式出现.从近两年高考试题来看，利用空间向量证明平行或垂直，求空间角是高考的热点内容，题型有选择、填空题，尤以解答题为主，难度中档偏上此类问题主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，运算能力要求较高考查形式有两种：一种是空间角和距离