预测理论与应用课件

1、金融计量学 张成思中国人民大学财政金融学院 第5章 预测理论与应用 5.1 基本概念与预测初步 5.2 基于MA模型的预测 5.3 基于AR模型的预测 5.4 预测准确性度量指标5.1 基本概念与预测初步 5.1.1 基本概念 预测集：考虑一个时序变量y，拥有历史数据从1到T。假定没有任何其他信息，那么对y的未来预测所依据的信息集可以写成： 这种信息集称为单变量信息集。 如果还有其他变量x也影响y的未来走势，那么就形成多变量信息集，即： 预测期 预测期（forecasting horizon）是指当期与预测对应的日期之间的时间间隔。 预测分析中经常使用“向前h-期预测”这样的表述，其中h就表示

2、预测期。 图5-1预测期为4期的点预测 最优预测 最优预测（optimal forecast）是指在给定信息集下，预测结果能够最小化预测损失（假定存在损失函数）。 在一般情况下，可以证明给定信息集下的条件期望就是最优预测，即E(yT+h|T)。 5.1.2 预测初步：基于时间趋势模型的预测（1）线性时间趋势模型 如果我们考虑变量yt对时间t进行计量回归，并且考虑带有常数项c，那么对应的线性时间趋势模型就是 其中表示随机扰动项，暂时假设为独立同分布；是回归模型的斜率系数，其正负决定了y是增长趋势还是减弱趋势序列，其大小决定了趋势序列的陡峭程度。另外，在模型中，t的取值完全和时间一一对应。在初始时

3、点t=1，在第二个时点t=2，以此类推。如果样本为T，那么t的取值就是（1，2，T-1，T）。 图5-2 基于不同参数取值的时间趋势序列基于EViews的程序：基于GAUSS的程序 ：图5-3 美国平民劳动力人口与线性时间趋势模型拟合结果 图5-3描绘了美国平民劳动力人口数量（Civilian Labor Force，以CLF表示）的原始序列，同时报告了以CLF作为因变量的线性时间趋势模型回归后（使用OLS回归）的拟合序列。 从图5-3中不难看出，CLF似乎可以大致用线性趋势模型来刻画其动态路径。从拟合结果来看，在1980年之后的区间内线性趋势模型对CLF的拟合程度相对之前更高。图5-4（2）

4、非线性时间趋势模型 图5-4描绘的从1995年6月至2011年4月上海证券交易所证券交易总额的月度时间序列，从中我们就看到非常明显的非线性走势。 二次型时间趋势模型是非线性趋势模型中比较简单和常见的类型之一，其模型可以写成 因为上面的模型中时间趋势项的最高阶是二次方的形式，所以这样的模型称为二次型时间趋势模型。 图5-5上交所证券交易总额与二次型时间趋势模型拟合结果 需要说明的是，单纯从拟合效果来判定模型设立形式并不一定是最合适的选择，因为计量模型设立的另外一个重要原则是简约（parsimony）。对于非线性时间趋势模型更是如此。 （3）基于时间趋势模型的预测分析 假定我们现在处于时刻T，我们

5、的预测期是h，那么根据线性时间趋势模型，我们可以写出h期以后序列y的点预测值对应的表达式，即实践中的预测结果实际上可以写成 获得了点预测值之后，还可以进一步计算其对应的置信区间。以95%的置信区间为例，置信区间上限界为 ，其中 表示回归模型中扰动项的标准差估计值。 上述过程以线性时间趋势模型为例，但对于非线性时间趋势模型，我们仍然可以用类似的过程来进行预测。 5.2 基于MA模型的预测 MA(2)模型可以写成 其中WN表示“服从正态分布的白噪音”，即“高斯白噪音”（Gaussian white noise）。 T+1时刻的点预测值就可以写成 继续对T+2期进行预测 依此类推的话，对于T+2期以

6、上（我们用T+h表示）的点预测值应该都为0，即 预测误差就是指实际值与预测值之间的差，即 从T+1时刻开始一直到T+h时刻对应的预测误差分别可以写成如下形式： 进一步得到预测误差对应的方差表达式，即 对于如下形式的MA（q）过程 对于hq的情形，y的点预测值则变成 对于无穷阶MA过程其中， 从而，5.3 基于AR模型的预测 AR(1)可以写成 从以上过程我们可以看出，基于AR模型的预测，实质上是运用了所谓的“链式法则”（Chain Rule），一环一环地套下去，可以获得未来任意一期的预测值。 将AR（1）写成MA()的形式，即，对比得出， 可以得到AR(1)模型对应的预测误差项的方差及其标准差

7、表达式表5-1 预测准确度的常用度量指标5.4 预测准确定的度量指标 金融计量学张成思目录 金融计量学初步差分方程、滞后运算与动态模型平稳AR模型平稳ARMA模型预测理论与应用6. 非平稳时间序列模型 7. 单位根检验法8. 向量自回归（VAR）模型9. 结构向量自回归（SVAR）模型10. 协整与误差修正模型11. GARCH模型 12. 非线性时序模型13. CAPM理论与应用14. 事件研究方法 第一章 金融计量学初步 1.1 金融计量学的范畴 1.2 金融时间序列数据 1.3 金融计量分析中的基本概念 1.4 金融计量软件介绍 1.1 金融计量学的范畴 金融计量学的范畴涵盖微观和宏观两

8、个层面。资产定价模型（CAPM）、行为金融分析中的事件研究方法等属于微观金融领域的计量分析，而动态时间序列模型更多地用在宏观金融领域。 随着学科的发展，金融计量方法的微观与宏观分析也不是绝对泾渭分明的，微宏观分析的结合也是金融计量分析中经常遇到的现象。 从具体内容上看，金融计量学涵盖了宏微观金融理论检验、资本资产定价、金融变量相关关系的假设检验、经济状态对金融市场的影响分析以及金融变量预测等多方面的内容。 1.2 金融时间序列数据 广义地讲，将某种金融随机变量按出现时间的顺序排列起来称为金融时间序列。 从现实世界的角度看，金融时间序列就是指在一定时期内按时间先后顺序排列的金融随机变量。 图1.

9、1 上证综合指数时间序列数据2000年1月-2010年10月数据来源： 国泰安数据库图1.1 上证综合指数时间序列数据(b) 2004年7月1日-2010年10月29日（5天/周） 数据来源： 国泰安数据库图1.2 人民币/美元汇率 2005年7月1日2010年11月12日数据来源：Federal Reserve Bank of St. Louis图1.3 美元/英镑汇率 1971年1月4日2010年11月12日数据来源： Federal Reserve Bank of St. Louis图1.4 中国CPI通胀率 1995年1月2010年9月数据来源：中国国家统计局、经济景气月报图1.5 中

10、国M1增长率（环比） 2002年M012010年M11数据来源：中国人民银行（经作者计算） 从这几幅图中可以看到，不同的金融时间序列变量展示出各种各样的变动轨迹，经济学者经常把金融时间序列变量的这种随时间变化的轨迹称为“动态路径”，其中“动态”一词的含义实质上就是指“随时间变化”。 1.3 金融计量分析中的基本概念1.3.1 增长率和收益率简单净收益率（Simple Net Return）: 连续复合收益率（Continuously Compounded Return）： 对于多期（multi-period）来说, 对于季度频率数据，年度化的增长率计算公式为: 对于月度频率数据，年度化的增长率

11、计算公式是: 1.3.2 随机变量与随机过程 例如： 其中：表示表示 随机变量: 误差项 就是一个随机变量，这里假设这一随机误差变量服从正态分布。在更多的情形下，随机变量 被假设服从独立一致性分布（independently and identically distributed），或者简记做 i.i.d.。 与随机变量紧密相关但又有区别的一个概念就是随机过程。当我们希望对一个金融时间序列进行分析时，通常把 看作是一个随机过程的实现。宽泛地说， 随机过程就是定义在一定概率空间的一组具有相同特性的随机变量。 1.3.3 随机分布: X和Y的联合分布可定义为： 其中： 为联合分布函数中的参数。假定

12、 X与Y的联合概率密度函数 ，并且严格有定义，则有： 与联合分布相对的概念是边际分布。例如，X的边际分布可以通过将联合分布中与X不相关的赋值设为 来获得: 当X是一个一维的随机变量而不是向量形式时，边际分布的定义就成为下面常见的形式： 这一公式在统计学中也称为X的累积分布函数，其取值范围在0与1之间。虽然CDF的概念稍微有些抽象，但是其在金融计量学中有着广泛的应用，特别是在计算统计量的p-值过程中非常有用。例如，利用F分布的累积分布函数可以计算F检验统计量的p-值。 条件分布，顾名思义，就是随机变量在给定条件下的分布。例如，给定 的条件，X的条件分布可以定义为： 如果利用前面提到的概率密度函数的概念，还可以写成： 其中, 表示边际分布函数，并且满足1.3.4 随机变量的期望与矩 从统计学角度来说，一个随机变量X的第 n 阶矩可以定义为： 一些定义: 随机变量的1阶矩叫做均值。 随机变量的2阶矩叫做方差。 随机变量的3阶矩又称为偏度，它度量了随机变量分布的非对称程度。 随机变量的4阶矩又称尾峰度，其衡量随机变量分布的尖峰程度或平坦程度。 样本矩:有用的运算规则: 1.3.5 金融模型与金融计量模型 金融模型是依据一定的金融理论所建立的确定的等式关系。 例如依据资产定价模型，写出确定的等式： 其中，rt表示单项资产的预期收益率，rf表示无风险收益率，rm表