测量误差以及其产生原因

1、关于测量误差及其产生的原因1第一张，PPT共七十七页，创作于2022年6月2一、观测误差 当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存在或理论值)之差，称为测量误差。 用数学式子表达： i = Li X (i=1,2n) L 观测值 X真值 5-1 测量误差概述 1、仪器的原因 仪器结构、制造方面，每一种仪器具有一定的精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。二、测量误差的来源 测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有以下三个方面：第二张，PPT共七十七页，创作于2022年6月3 例如： DJ6型光学经纬仪基本分划为1，难以确保分以下 估读值完全准确无误。 使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难

2、以保证厘米以下估读值的准确性。 仪器构造本身也有一定误差。 例如：水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角误差或交叉误差。水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。第三张，PPT共七十七页，创作于2022年6月4 2、人的原因 观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。 3、外界条件 例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸

3、缩阳光曝晒使水准气泡偏移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。第四张，PPT共七十七页，创作于2022年6月5三、测量误差的分类 先作两个前提假设： 观测条件相同. 对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值 、符号及变化规律。第五张，PPT共七十七页，创作于2022年6月6 先看两个实例：例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。 丈量结果见下表5-1： 表5-1 尺段数 一二三四五 N观测值 306090120150 30 n真实长度30.0460.0890.12120.16150.20 30.04n真误差-0.04-0.08-0.

4、12-0.16-0.20-0.04 n可以看出： 误差符号始终不变，具有规律性。 误差大小与所量直线成 正比，具有累积性。 误差对观测结果的危害性很大。第六张，PPT共七十七页，创作于2022年6月7例 2： 在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。 大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右。可以看出： 从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任 何规律性。 多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。第七张，PPT共七十七页，创作于2022年6月81.系统误差 - 在相同的观测条件下，对某一量进行一

5、系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。 系统误差具有规律性。2.偶然误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面 上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。 个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。3.粗差-观测中的错误叫粗差。 例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。 错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。 一旦发现，应及时更正或重测。引进如下概念：第八张，PPT共七十七页，创作于2022年6月9(二) 测量误差的处理原则在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同

6、时产生。系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。消除系统误差的常用的有效方法： 检校仪器：使系统误差降低到最小程度。 求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。 采用合理的观测方法：如对向观测。 研究偶然误差是测量学的重要课题。消除或削弱偶然误差的有效方法： 适当提高仪器等级。 进行多余观测，求最或是值。第九张，PPT共七十七页，创作于2022年6月10 四、 偶然误差的特性 若i= Li X （i=1,2,3,358）表5-2第十张，PPT共七十七页，创作于2022年6月11从表5-2中可以归纳出偶

7、然误差的特性 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值； 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小； 绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率； 当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。 用公式表示为： 实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大 时，这种特性就表现得愈明显。第十一张，PPT共七十七页，创作于2022年6月12-24-21-18-16-12 -9 -6 3 0 +3 +6 +9+12+15+18+21+24 x= 图5-1 频率直方图 为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可以按表5-2的数据作

8、误差频率直方图(见下图)。第十二张，PPT共七十七页，创作于2022年6月13 若误差的个数无限增大(n)，同时又无限缩小误差的区间d，则图5-1中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线”，它完整地表示了偶然误差出现的概率P。 即当n时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。 正态分布曲线的数学方程式为 : (5-3) 为标准差，标准差的平方为 方差。 方差为偶然误差平方的理论平均值：第十三张，PPT共七十七页，创作于2022年6月14正态分布曲线的数学方程式为 : (5-3) 第十四张，PPT共七十七页，创作于2022年6月15从

9、5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即: 1.f()是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f()相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。 2.愈小，f()愈大。当=0时，f()有最大值; 反之，愈大，f()愈小。当n时，f() 0,这就是偶然误差的第一和第二特性。 3.如果求f()二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标： 拐= 如果求f()在区间 的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特征。第十五张，PPT共七十七页

10、，创作于2022年6月16f()+-11121-+f()2+-221221第十六张，PPT共七十七页，创作于2022年6月17观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数 ；观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数 ； 具有较小 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降； 具有 较大 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。最大纵坐标点：第十七张，PPT共七十七页，创作于2022年6月185-2 衡量观测值精度的标准一.中误差 误差的概率密度函数为： 标准差 在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式： 标准差中误差 m 的不同在于

11、观测个数 n 上； 标准差表征了一组同精度观测在(n)时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指标； 而中误差则是一组同精度观测在为 n 有限个数时求得的观测精度指标； 所以中误差是标准差的近似值估值； 随着 n 的增大，m 将趋近于。 第十八张，PPT共七十七页，创作于2022年6月19必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为 第一组： +3, -2, -4,+2,0,-4,+3, +2, -3, -1；

12、第二组： 0, -1, -7,+2,+1,+1,- 8, 0, +3, -1. 试求这两组观测值的中误差。 由 解得：m1=2.7 m2=3.6 可见：第一组的观测精度较第二组观测精度高。第十九张，PPT共七十七页，创作于2022年6月20二、容许误差（极限误差） 根据正态分布曲线，误差在微小区间d中的概率： p()=f() d 设以k倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的概率为： 分别以k=1,2,3代入上式，可得： P(m)=0.683=68.3 P(2m)=0.955=95.5 P(3m)=0.997=99.7 由此可见：偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5，而大于3倍的误差

13、仅占误差总数的0.3。 由于一般情况下测量次数有限，3倍中误差很少遇到， 故以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差”，或 称为“限差”即容=2m第二十张，PPT共七十七页，创作于2022年6月21三、相对误差 在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。 例如: 用钢卷尺量200米和40米两段距离，量距的中误差都是2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。 为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。 相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即 。 上例为 K1= m1/L1

14、=1/10000, K2= m2/L2=1/2000 可见: 前者的精度比后者高。 与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。第二十一张，PPT共七十七页，创作于2022年6月225-3 算术平均值及其中误差 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次出该未知量的最或然值。 ，观测值为L1、L2Ln，现在要根据这n个观测值确定 设未知量的真值为X，写出观测值的真误差公式为i= Li-X (i=1,2n)将上式相加得或故一、观测值的算术平均值第二十二张，PPT共七十七页，创作于2022年6月23 设以x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值， 即以X表示算术平均值的真误差，即 代入上

15、式，则得由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时， x趋近于零，即:也就是说，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。第二十三张，PPT共七十七页，创作于2022年6月24 现在来推导算术平均值的中误差公式。 因为式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。现以mx表示算术平均值的中误差，则可得算术平均值的中误差为故 该式即算术平均值的中误差公式。 二、算术平均值的中误差公式第二十四张，PPT共七十七页，创作于2022年6月25 三、同精度观测值的中误差 同精度观测值中误差的计算公式为而 这是利用观测值真误差求观测值中误差的定义公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真误差也

16、就不知道了。所以，一般不能直接利用上式求观测值的中误差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和观测值的差数也可以求得，即第二十五张，PPT共七十七页，创作于2022年6月26因n为有限值，故在实用上可以用x的中误差近似地代替x的真误差，即 为用改正数来求观测值中误差的公式，称为白塞尔公式。 用改正数计算最或然值中误差的公式为 第二十六张，PPT共七十七页，创作于2022年6月27 5-4 误差传播定律 在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差h1hn求和得出的。

17、这时未知点B的高程H。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？ 阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。第二十七张，PPT共七十七页，创作于2022年6月28 一、倍数的函数 设有函数： Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。 设x和z的真误差分别为x和z则： 若对x 共观测了n次，则： 将上式平方，得： 求和，并除以n，得第二十八张，PPT共七十七页，创作于2022年6月29 即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。因为：所以：第二十九张，PPT共七十七页，创作于2022年6月

18、30 例： 在1：500比例尺地形图上，量得A、 B两点间的距离SAB=23.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。 解：由题意： SAB=500Sab=50023.4=11700mm=11.7m mSAB500mSab500（士0.2） =土100mm土0.1m 最后答案为：SAB=11.7m士0.1m第三十张，PPT共七十七页，创作于2022年6月31 二、和或差的函数 设有函数： Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为mx、my，求Z的中误差mZ。 设x、y和z的真误差分别为x、y和z则 若对x、y 均观测了n次，则

19、将上式平方，得第三十一张，PPT共七十七页，创作于2022年6月32 由于x、y均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，因为x、y为独立误差，它们出现的正、负号互不相关，所以其乘积xy也具有正负机会相同的性质，在求xy时其正值与负值有互相抵消的可能；当n愈大时，上式中最后一项xy/n将趋近于零，即求和，并除以n，得 第三十二张，PPT共七十七页，创作于2022年6月33 将满足上式的误差x、y称为互相独立的误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，即使n是有限量，由于 式残存的值不大， 一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得 即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观测

20、值中误差的平方之和。第三十三张，PPT共七十七页，创作于2022年6月34 当z是一组观测值X1、X2Xn代数和（差）的函数时，即可以得出函数Z的中误差平方为： 式中mxi是观测值xi的中误差。即，n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。第三十四张，PPT共七十七页，创作于2022年6月35 当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为m，即 mx1=mx2=mxn=m则为这就是说，在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。 例设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。解：因为全长S=L

21、LL（式中共有n个L）。而L的中误差为m。 量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。第三十五张，PPT共七十七页，创作于2022年6月36 例如以 30m长的钢尺丈量 90m的距离，当每尺段量距的中误差为5mm时，全长的中误差为第三十六张，PPT共七十七页，创作于2022年6月37 当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为 式中，S的单位是公里。即：在距离丈量中，距离S的量距中误差与长度S的平方根成正比。第三十七张，PPT共七十七页，创作于20

22、22年6月38 例: 为了求得A、B两水准点间的高差，今自A点开始进行水准测量，经n站后测完。已知每站高差的中误差均为m站，求A、B两点间高差的中误差。 解：因为A、B两点间高差hAB等于各站的观测高差hi（i=l，2n）之和， 即: hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 则 即水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。 第三十八张，PPT共七十七页，创作于2022年6月39 在不同的水准路线上，即使两点间的路线长度相同，设站数不同时，则两点间高差的中误差也不同。但是，当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测量高差的中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两点间的水准路线为S公里时，

23、A、B点间高差的中误差为即，水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。或第三十九张，PPT共七十七页，创作于2022年6月40 在水准测量作业时，对于地形起伏不大的地区或平坦地区，可用 式计算高差的中误差； 对于起伏较大的地区，则用 式计算高差的中误差。 例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量时，每公里高差的中误差为20mm，则按这种水准测量进行了25km后，测得高差的中误差为 第四十张，PPT共七十七页，创作于2022年6月41三、线性函数 设有线性函数： 则有 例 设有线性函救观测量的中误差分别为，求Z的中误差 第四十一张，PPT共七十七页，创作于2022年6月42四、一般函数

24、 式中 xi (i=1，2n)为独立观测值，已知其中误差为mi(i=1 2n)，求z的中误差。 当xi具有真误差时，函数Z相应地产生真误差z。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。第四十二张，PPT共七十七页，创作于2022年6月43式中 （i=l，2n）是函数对各个变量所取的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，因此上式是线性函数可为：第四十三张，PPT共七十七页，创作于2022年6月44 例 设有某函数z=Ssin 式中S=150.11m，其中误差ms=士005m； =1194500，其中误差m=20.6；求z的中

25、误差mz。解：因为z=Ssin，所以z是S及a的一般函数。第四十四张，PPT共七十七页，创作于2022年6月45求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步： 1）按问题的要求写出函数式： 2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中， 是用观测值代入求得的值。 3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式： 第四十五张，PPT共七十七页，创作于2022年6月46例如，设有函数z=xy，而y=3x，此时， 。因为x与y不是独立观测值， 因为不论n值多少，恒有因此，应把Z化成独立观测值的函数，即z=x+3x=4x上式中X与3X两项是由同一个观测值X组成的，必须先并项为z= 4x

26、 而后求其中误差，即mz= 4mx第四十六张，PPT共七十七页，创作于2022年6月47 5-5 广义算术平均值及权 如果对某个未知量进行n次同精度观测，则其最或然值即为n次观测量的算术平均值：一、广义算术平均值第四十七张，PPT共七十七页，创作于2022年6月48在相同条件下对某段长度进行两组丈量：第一组：第二组： 算术平均值分别为第四十八张，PPT共七十七页，创作于2022年6月49其中误差分别为：第四十九张，PPT共七十七页，创作于2022年6月50全部同精度观测值的最或然值为：第五十张，PPT共七十七页，创作于2022年6月51在值的大小体现了中比重的大小，称为的权。令第五十一张，PP

27、T共七十七页，创作于2022年6月52若有不同精度观测值其权分别为该量的最或然值可扩充为：称之为广义算术平均值（加权平均值）。第五十二张，PPT共七十七页，创作于2022年6月53当各观测值精度相同时第五十三张，PPT共七十七页，创作于2022年6月54二、 权定权的基本公式：称为中误差，为单位权观测值，当观测值称为单位权，单位权中误差。第五十四张，PPT共七十七页，创作于2022年6月55权的特性 1 反映了观测值的相互精度关系。 3 不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系 。值的 大小，对X值毫无影响。2第五十五张，PPT共七十七页，创作于2022年6月56 4 若同类量的观测值，此

28、时，权无单位。若 是不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视具体情况而定。第五十六张，PPT共七十七页，创作于2022年6月57例：已知的中误差分别为：设若设第五十七张，PPT共七十七页，创作于2022年6月581 水准路线观测高差的权例：常用定权公式第五十八张，PPT共七十七页，创作于2022年6月59 当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比。四条水准路线分别观测了3, 4, 6, 5 测站。第五十九张，PPT共七十七页，创作于2022年6月60令c=3,令c=4,第六十张，PPT共七十七页，创作于2022年6月61 水准路线的长分别为设每公里水准测量观测的

29、中误差为第六十一张，PPT共七十七页，创作于2022年6月62 当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测的权与路线长度成反比。第六十二张，PPT共七十七页，创作于2022年6月63当 S= c =10公里 的水准路线的观测高差为单位权观测。每测站观测高差精度相同时：每公里观测高差精度相同时：第六十三张，PPT共七十七页，创作于2022年6月64例 对某角作三组同精度观测： 第一组测4测回，算术平均值为 第二组测6测回，算术平均值为 第三组测8测回，算术平均值为 三 、不同个数的同精度观测值求得的算术平均值的权。第六十四张，PPT共七十七页，创作于2022年6月65由不同个数的同精度观测值求得

30、的算术平均值，其权与观测值个数成正比。第六十五张，PPT共七十七页，创作于2022年6月66令第六十六张，PPT共七十七页，创作于2022年6月675-6 单位权中误差的计算公式 在同精度观测中，观测值的精度是相同的，因此可用来计算观测值的中误差。在不同精度观测中，每个观测值的精度不同，就必须先求出单位权中误差，然后根据 求出各观测值的中误差。 以推导计算单位权中误差的公式为第六十七张，PPT共七十七页，创作于2022年6月68 5-7 由真误差计算中误差 对于一组同精度或不同精度观测值来说，如果已经知道它们的真误差，则可按式 计算观测值的中误差； 用 式计算单位权中误差。第六十八张，PPT共七十七页，创作于2022年6月69一、由三角形闭合差求测角中误差 上式就是由三角形闭合差计算的测角中误差的公式，名为菲列罗公式。 在三角测量中，通常用它来初步评定测角精度。 第六十九张，PPT共七十七页，创作于2022年6月70二、由同精度双观测值的差数来观测