多元函数微分法和其具体应用-偏导数

1、多元函数微分法和其具体应用偏 导 数 多元函数微分法和其具体应用偏导数推广第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同多元函数微分法和其具体应用偏导数一、 偏导数概念及其计算二 、高阶偏导数 第九章 多元函数微分法和其具体应用偏导数一、 偏导数定义及其计算法引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,就是中的 x 固定于 x0 处,求一阶导数与二阶导数.关于 t 的将振幅多元函数微分法和其具体应用偏导数定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:多元函数微分法和其具体应用偏导数同样可定义对 y 的偏导数若函数 z = f ( x , y

2、 ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数 ,记为或 y 偏导数存在 ,多元函数微分法和其具体应用偏导数例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .偏导数定义为(请自己写出)多元函数微分法和其具体应用偏导数二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的多元函数微分法和其具体应用偏导数函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.上节例 在上节已证 f (x , y) 在点(

3、0 , 0)并不连续!多元函数微分法和其具体应用偏导数例1 . 求解法1解法2在点(1 , 2) 处的偏导数.先求后代先代后求多元函数微分法和其具体应用偏导数例2. 设证:例3. 求的偏导数 . 解:求证多元函数微分法和其具体应用偏导数偏导数记号是一个例4. 已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R 为常数) , 不能看作分子与分母的商 !此例表明,整体记号,多元函数微分法和其具体应用偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:多元函

4、数微分法和其具体应用偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导数为多元函数微分法和其具体应用偏导数例5. 求函数解 :注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 多元函数微分法和其具体应用偏导数例如,二者不等多元函数微分法和其具体应用偏导数例6. 证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性 , 有方程多元函数微分法和其具体应用偏导数则定理.例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是

5、连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续时, 有而初等(证明略) 证明 多元函数微分法和其具体应用偏导数定理.证:令则则又令多元函数微分法和其具体应用偏导数同样在点连续,得多元函数微分法和其具体应用偏导数内容小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)多元函数微分法和其具体

6、应用偏导数思考与练习解答提示:P129 题 5P129 题 5 , 6即 xy0 时,多元函数微分法和其具体应用偏导数P129 题6(1)(2)多元函数微分法和其具体应用偏导数作业P68 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2）第三节 多元函数微分法和其具体应用偏导数备用题 设方程确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且求解:多元函数微分法和其具体应用偏导数 第九章 *二、全微分在近似计算中的应用 应用 第三节一元函数 y = f (x) 的微分近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义 全微分多元函数微分法和其具体应用偏导数一、全微分的定义 定义: 如果

7、函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可表示成其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，处全增量则称此函数在D 内可微.多元函数微分法和其具体应用偏导数(2) 偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微当函数可微时 :得函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即多元函数微分法和其具体应用偏导数定理1(必要条件)若函数 z = f (

8、x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点的偏导数同样可证证:因函数在点(x, y) 可微, 故 必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 多元函数微分法和其具体应用偏导数反例: 函数易知 但因此,函数在点 (0,0) 不可微 .注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !即:多元函数微分法和其具体应用偏导数定理2 (充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.多元函数微分法和其具体应用偏导数所以函数在点可微.注意到, 故有多元函数微分法和其具体应用偏导数推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下

9、述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是多元函数微分法和其具体应用偏导数例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解:例2. 计算函数的全微分. 解: 多元函数微分法和其具体应用偏导数可知当*二、全微分在近似计算中的应用1. 近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于误差分析或近似计算) (可用于近似计算) 多元函数微分法和其具体应用偏导数半径由 20cm 增大解: 已知即受压后圆柱体体积减少了 例3. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 求此圆柱体多元函数微分法和其具体应用偏导数例4.计算的近似值. 解:

10、设,则取则多元函数微分法和其具体应用偏导数分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计利用令z 的绝对误差界约为z 的相对误差界约为则多元函数微分法和其具体应用偏导数特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形. 乘除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数多元函数微分法和其具体应用偏导数例5. 利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：故绝对误差约为又所以 S 的相对误差约为计算三角形面积.现测得多元函数微分法和其具体应用偏导数例6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 V ,解: 由欧姆定律可知( )所以 R 的相对误差约为0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为 ;定律计

11、算电阻为 R 时产生的相对误差和绝对误差 .相对误差为 测得电流 I = 6A, 相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( ) 求用欧姆多元函数微分法和其具体应用偏导数内容小结1. 微分定义:2. 重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续定义多元函数微分法和其具体应用偏导数3. 微分应用 近似计算 估计误差绝对误差相对误差多元函数微分法和其具体应用偏导数思考与练习1. P75 题5 ；P129 题 1 函数在可微的充分条件是( )的某邻域内存在 ;时是无穷小量 ;时是无穷小量 .2. 选择题多元函数微分法和其具体应用偏导数答案:也可写作:当 x = 2 , y =1 , x = , y =

12、 时 z = , d z = 3. P129 题 7多元函数微分法和其具体应用偏导数4. 设解: 利用轮换对称性 , 可得注意: x , y , z 具有 轮换对称性 多元函数微分法和其具体应用偏导数答案: 作业 P74 1 (3) , (4) ; 3 ; *6 ; *9 ; *11 5. 已知第四节 多元函数微分法和其具体应用偏导数在点 (0,0) 可微 .备用题在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证: 1)因故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 证明函数所以多元函数微分法和其具体应用偏导数同理极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;同理 ,在点(0,0)也不

13、连续.2)3)题目 多元函数微分法和其具体应用偏导数4) 下面证明可微 :说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目 多元函数微分法和其具体应用偏导数第四节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则多元复合函数的求导法则 第九章 多元函数微分法和其具体应用偏导数一、多元复合函数求导的链式法则定理. 若函数处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量且有链式法则有增量u ,v ,多元函数微分法和其具体应用偏导数( 全导数公式 )(t0 时,根式前加“”号)多元函数微分法和其具体应用偏导数若定理

14、中 说明: 例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在, 则定理结论不一定成立.多元函数微分法和其具体应用偏导数推广:1) 中间变量多于两个的情形. 设下面所涉及的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形.例如,例如,多元函数微分法和其具体应用偏导数又如,当它们都具有可微条件时, 有注意:这里表示 f ( x, ( x, y ) )固定 y 对 x 求导表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导口诀 :与不同,分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导多元函数微分法和其具体应用偏导数例1. 设解:多元函数微分法和其具体应用偏导数例2.解:多元函数微分法和其具体应用偏导数例3.

15、设 求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.多元函数微分法和其具体应用偏导数为简便起见 , 引入记号例4. 设 f 具有二阶连续偏导数,求解: 令则多元函数微分法和其具体应用偏导数(当 在二、三象限时, )例5. 设二阶偏导数连续,求下列表达式在解: 已知极坐标系下的形式(1), 则多元函数微分法和其具体应用偏导数题目 多元函数微分法和其具体应用偏导数 已知注意利用已有公式多元函数微分法和其具体应用偏导数同理可得题目 多元函数微分法和其具体应用偏导数二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论

16、 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.多元函数微分法和其具体应用偏导数例1 .例 6.利用全微分形式不变性再解例1. 解:所以多元函数微分法和其具体应用偏导数内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2. 全微分形式不变性不论 u , v 是自变量还是中间变量,多元函数微分法和其具体应用偏导数思考与练习解答提示:P81 题7P81 题7; 8(2); P130 题11多元函数微分法和其具体应用偏导数P81 题8(2) 多元函数微分法和其具体应用偏导数 作业 P81 2; 4;

17、6; 9; 10; *12(4); *13P130 题 11第五节 多元函数微分法和其具体应用偏导数备用题1. 已知求解: 由两边对 x 求导, 得多元函数微分法和其具体应用偏导数2. 求在点处可微 , 且设函数解: 由题设(2001考研)多元函数微分法和其具体应用偏导数 第九章 第五节一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数隐函数的求导方法 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程C 0 时, 不能确定隐函数2) 方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论:多元函数微分法和其具体应用偏导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定

18、理1. 设函数则方程单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数多元函数微分法和其具体应用偏导数两边对 x 求导在的某邻域内则多元函数微分法和其具体应用偏导数若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :则还可求隐函数的 多元函数微分法和其具体应用偏导数例1. 验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解: 令连续 ;由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且并求多元函数微分法和其具体应用偏导数多元函数微分法和其

19、具体应用偏导数两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时导数的另一求法 利用隐函数求导多元函数微分法和其具体应用偏导数定理2 .若函数 的某邻域内具有连续偏导数 ;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确多元函数微分法和其具体应用偏导数两边对 x 求偏导同样可得则多元函数微分法和其具体应用偏导数例2. 设解法1 利用隐函数求导再对 x 求导多元函数微分法和其具体应用偏导数解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导多元函数微分法和其具体应用偏导数例3.设F( x , y)具

20、有连续偏导数,解法1 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故多元函数微分法和其具体应用偏导数对方程两边求微分:解法2 微分法.多元函数微分法和其具体应用偏导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比 行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即雅可比 多元函数微分法和其具体应用偏导数定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；多元函数微分法和其具体应用偏导数定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P85)多元函数微分法和其具体应用偏导数有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内解的公式 故得系数行列式多元函数微分法和其具体应用偏导数同样可得多元函数微分法和其具体应用偏导数例4. 设解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习: 求答案:由题设故有多元函数微分法和其具体应用偏导数例5.设函数在点(u,v) 的某一1) 证明函数组( x,