向量乘积高等数学卓越

1、第二节向量的乘积一、两向量的数量积二、两向量的向量积三、向量的混合积第八章一、两向量的数量积引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为则力F 所做的功为的直线移动,位移为 s ,cosW 1. 定义设向量MM 2的夹角为 , 称s,b记作cosaba的数量积(点积) .ba s2. 性质a a (1)(2)a ,b则有为两个非零向量,a 0, b 0a b 0 0则3. 运算律(1)交换律为实数）a ( b)(2)结合律 a ( b) (a b)( a ) ( b )a b c a c b c (3)分配律例1.证明三角形余弦定理b2 证: 如图. 设ab coAbcAB cC,C,C

2、a则Bbbco 2ba2c22 babab c bcb2 2ab cos4.数量积的坐标表示a ax i ayj az k ,b bx i byj bz k , 则设( bx i byj bz k )( ax i ayj az k ) k i 0 k k 1,i j j ki i j ja b axbx ayby azbz两向量的夹角公式b cos当a为非零向量时, 由于, 得a ba ba bxxyyzzcos aba2a2 b2 b2a2b2xyzxyz a a a a aa 222zc特别xy a2 a2a2即xyz a b a b 0axbx ayby azbz 0即例2. 已知三点

3、AMB .解: MA ,1,1(1,1),( 2, 2,1), B2(,1 , 2), 求A0 ,MB ,1,01Bcos AMB MA MBM则MAMB1 0 022AMB 故二、两向量的向量积引例. 设O 为杠杆L 的支点, 有一个与杠杆夹角为的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力矩是一个向量 M :OQsinMFOPFOP M OP符合右手规则FosinOQ POPMFOPLQ1. 定义的夹角为 ，定义,设方向 : c a ,c b 且符合右手规则向量 csin记作模 :acbb,称 c为向量的与c a b向量积a(叉积)引例中的力矩M OP Fc思考:右图三角形

4、面积aSb性质a a 0a b 0(2) a , b 为非零向量, 则a b当a 0, b 0 时,证明:sin 0aa b 0bsin 0，即 0 或a b运算律反交换律分配律结合律a b b a( a b ) c a c b c a ( b ) ( a b )( a ) b4. 向量积的坐标表示式a ax i ayj az k ,b bx i byj bz k ,设则( bx i byj bz k )( ai aj a k ) xyza bi ka bi j axbx ( i i )xzxya b ( j a bj kj )a bj iyyyzyxazbz ( k k )a bk ia b

5、k jzxzy (aybz azby ) i(azbxaxbz ) jk(axby aybx ) kji补充：二阶行列式的计算对角则a12a11主对角线1221 .a22a21副对角线aiji其中元素的第一个下标为行指标，第二个下标 j 为列指标。即第 j 列。aij 位于行列式的第i行a111213D a21列标2223a31行标3233三阶行列式的计算a1111121213D a21(1)沙路法21222223a3131323233D a11a31 .(2)对角则a11 a21a31121322233233 a13 a122133 a11a23a32 .2231注1.红线上三元素的乘积冠以

6、正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号注2.对角则只适用于二阶与三阶行列式21计算三阶行列式 D - 2- 41- 2例2-解按对角则，有D (4) (2) 41 2 (2)2 1 (3)(4) 2 (3) 2 (2) (2) 11 4 32 24 14.目录上页下页返回结束对于三阶行列式，容易验证：a11a21a12a22a13a23 a13 a1233 a11a23a32 .aaa223121313233a22a23a21a23a21a22 aaa111213aaaaaa323331333132目录上页下页返回结束向量积的行列式计算法(aybz azby ) i(azbxaxbz ) j(axb

7、yaybx ) kaaaaaxazbzyzxyikjbyi axbxbzbxbxbyj aybykazbzaxazbxbz,a ax i ayj az kb bx i byj bz k ay azax a b 0 /bbbxyzaxaz,bxbz例4. 已知三点(1,3),(3,5),C2(, 4 , 7 ), 求三B角形 ABC 的面积解:S ABC,12sinABACAC 1AB AC2j22k 1 1 2 4, 6,22 1 (6)2 224214224i21与 3 j k ，b i 2例 5的解求都垂直向量.ikij b 4a 10z1bzxy| c |105,1向量为 0,10, 5

8、2所求ec551 0,1 .2,555 5三、向量的混合积1.定义已知三向量 a, b , c ,称数量记作 a b c( a b ) c,c混合积.c几何意义以a , b , c 为棱作平行六面体,b则其a底面积 A a b ,高 hc故平行六面体体积为( a b ) cVA a b c 2. 混合积的坐标表示a ax ,ay ,az ,b bx ,by ,bz ,c cx ,cy ,cz 设iajakaaaaaa ayzxya b xz, ,zxybxbzbybzbxbybzbxbyaxbxaybyaxbxazbzayazbccc ( a b ) c a b czyxbyzaxayazbx

9、bybzcxcycz3. 性质三个非零向量轮换对称性:,c 0c 共面的充要条件是ab ccacabba(可用三阶行列式推出)bc已知一四面体的顶点 Ak xk , yk , zk k 1, 2, 3,4例6.求该四面体体积 .,31,解:已知四面体的体积等于以向量2114为棱的平行六面体体积的故A4V 1 A6 2113413A1A12216y3 yzz1例7. 证明四点A(1,1,D(10 ,15,17 ) 共面.,( 4,5),( 23,),BC解:因 ABAC4214AD D3195216A 0故 A , B , C , D 四点共面.a ax , ay , az , b bx ,by

10、 ,bz , c cx ,cy ,cz 设1. 向量运算加减:数乘:点积:a b ax bx , ay by , az bz a ax ,ay ,az a b axbjiak azbzzbzyaybyaxbx叉积:内容小结ax bx cxbxy yyz zzc a 混合积:2. 向量关系: by bz 0axazayaxb a 0 0zbzya,c 共面zzz 0b ,并求计算 a1. 设a i 2 j j及k夹角 的正弦与余弦., 1, 1, 3,1:111cos sin ,3212a , b 的夹角 3, | b | a,2. 已知向量,4a (b )b b解：22co 2aa2 3 cos 3 32(24 17ba173.在顶点为A(,1,12) ,和C(,13, )1BB(,10)的三角形中, 求 AC 边上的高 BD .解： AC 0, 4, 3AB 0, 2, 2