2022年《概率统计》作业题参考答案

1、概率统计作业题参考答案概率统计作业题参考答案概率统计作业题答案cy091017 王少玲1. 某工厂生产的产品以 批抽取 3 100 个为一批 . 在进行抽样检查时 , 只从每个来检查 , 假如发觉其有次品 , 就认为这批产品不合格 . 假定每批产品率. 求12 在一批产品能通过检查的条件下 , 这批产品没有次品的概 解 1 记 A = 产品能通过检查 , B i =产品有 i 个次品 i =0,1,2,就3.0, 4.0,3.0210=B P B P B P 941.0|,97.0|,1|3100 3982310039910=C C B A P C C B A P B A P 由全概率公式,

2、得所求概率为 970.0|2 0=i i i B A P B P A P 2 我们要求的概率是1 / 27 概率统计作业题参考答案309.0970 P .03.01|0000. =A P B P B A P A P AB P A B 2. 发报台分别以概率 0.6 及 0.4 发出信号“ ” 及“- ” ；由于通讯系统受到干扰 , 当发出信号“ ” 时 , 收报台以概率 0.8 及 0.2 收到信号“ ” 及“- ” ; 又当发出信号“-” 时 , 收报台以概率 0.9 及 0.1 收到信号“- ” 及“ ” ；求 : 1 收报台收到信号“ ” 的概率 ; 2 当收报台收到信号“- ” 时 ,

3、 发报台确系发出信号“- ” 的概率； 解 1 记 A = 收报台收到信号“ ”,B = 发报台发出信号“ ”, 就4.0,6.0=B P B P 9.0|,1.0|,2.0|,8.0|=B A P B A P B A P B A P 由 全 概 率 公 式 , 收 报 台 收 到 信 号 “ ”的 概 率 为52.0|=+=B A P B P B A P B P A P 2 当收报台收到信号“- ” 时 , 发报台确系发出信号“- ” 的概率是75.048 2 / 27 概率统计作业题参考答案P .04.09.01|= . =-=A P B P B A P A P B A P A B 3.

4、两台机床加工同样的零件 , 第一台显现废品的概率为 0.05, 第二台显现废品的概率为 0.02, 加工的零件混放在一起；如第一台车床与其次台车床加工的零件数比例为 5 : 4, 求: 1 任意从这些零件取出一个恰为合格品的概率 ; 2 任意从这些零件取出一个 车床加工的可能性有多大 . , 发觉恰为合格品；试问它为其次台 解 i A =“所取的零件由第 i 台机床加工” i =1,2, B =“取出的零件为合格品”; 就1 由全概率公式 , 任意从这些零件取出一个恰为合格品的概率是 : 2 由贝叶斯 Bayes 公式知 , 所求概率为 : 3 / 27 概率统计作业题参考答案4. 用甲胎蛋白

5、法普查肝癌, 由过去的资料得到灵敏度 即癌症患者检测结果呈阳性的概率 是 95%、特异度 即正常人检测结果呈阴性的概率 是90%；又已知广州肝癌发病率为0.02%1999 年数据 , 即每一万广州人有两人得肝癌；假设某人的检验结果是阳性 , 试问 : 他应当懊丧到什么 程度. 解 答案是令人惊奇的 , 他甚至应当保持谨慎乐观的态度；为 什么呢 .我们来求一下他真的患有肝癌的 条件 概率；令 A = 检 验结果是阳性 ,B = 他真的患病 , 就 | |B A P B P B A P B P B A P B P A B P += %19.0% 901%02.01%95%02.0% 95%02.0

6、- . -+. . = 5. 设连续随机变量 X 的概率密度为 : 2 1A f x x =+,x -求:1 常数 A ;2X 落在区间 0,1 内的概率 ;3X Y e = 的概率 密度； 解 1 由概率密度的性质 , 有4 / 27 概率统计作业题参考答案2211arctan 11A f x dx dx A dx A x A x x - - - =+. . . , 故 1A =； 2 由概率运算公式知 , 所求概率为 1 1 02 111101arctan 144P X dx x x = . =+. ; 3随机变量函数 X Y e = 的分布函数为 ln 20, 0;1 ln ,0.1X

7、y Y y F y P e y P X y dx y x - . . =. . +. .20, 0;1 ,0.1ln 故 X Y e = 的概率密度是Y Y y f y F y y y y . .= . . +.5 / 27 概率统计作业题参考答案6. 设随机变量X 的分布函数为 arctan F x A B x =+,x -+； 1求常数 ,A B ;2 求|1P X ;3求概率密度； 解 1由 0lim =-x F x 及 1l im =+ x F x , 得02=- + B A , 12=+ B A 解得 1 ,21=B A ; 2|1P X 其它 求:1 常数 C ;2 概率3P X

8、Y + ; 3X 、Y 的边缘概率密度 ; 并判定 X 与 Y 是否独立； 解 1 由联合概率密度的性质 , 有 220220 1,2x y x y C f x y dxdy Ce dxdy C e dx e dy -+- - =. . . . . . , 故 2C = ；2 由概率运算公式知 , 所求概率为 3 33 2 22330 ,0 3221x x y x y x x x y x y P X Y e dxdy e dx e dy e e dx -+-+= =- . .7 / 27 概率统计作业题参考答案. . .3 3 6 6 320 1x x x x e e dx e e e -=-

9、=-+=-. ; 3X 、Y 的边缘概率密度分别为 2 02,0;,0,0.x y x X e dy e x f x f x y dy x -+- - . =. =. . . .22,0; 0, 0.y Y e y f y y -. =. 明显,X Y f x y f x f y =, 故 X 与 Y 独立；8. 设二维随机变量 ,X Y 的联合概率密度为8 / 27 概率统计作业题参考答案23,0,0; ,0, .x y Ae x y f x y -+. =.Y 落 在 区 域 :0,0,236R x y x . 其 它求 1 系 数 A ;2,X y + 内的概率为632,0,0=Y X

10、Y X P 2 360 230 ,06 3232236y x y y x y x y x dx e dy . . . . -=-+- . . .0,0;0,26,2032x x e dy e dy y x f x f x y x X . . =- . .0,0; 0,3,3y y e dx y x f y f y Y f y =, 故 X 与 Y 独立；明显,X Y f x y f x 9. 设随机变量 0,2X U 与2Y e 独立, 求: 10 / 27 概率统计作业题参考答案1 二维随机变量 ,X Y 的联合概率密度;2 概率P X Y ； 解 1随机变量 0,2X U 的密度为. .

11、. . . =-其它； , 0; 0,22y e y f y Y 随机变量 ,X Y 的联合概率密度为. . . -= 20 20 202x y x y x y 11 / 27 概率统计作业题参考答案dy e dx dxdy e 141 412142022 2|-=-= . e e dx e x x ；10. 设袋有 2 个白球和 3 个黑球 , 每次从其任取 1 个球, 直至取到 黑球为止 , 分别就 1 不放回取球与 2 有放回取球两种情形 运算取球次数的数学期望、方差与标准差 . 解 设 X 与 Y 分别表示情形 1 与2 的 取球次数 , 就不难知道 ,X 的又 7.21.033.02

12、6.012222= . +. +. =X E 故 45.022=-=X E X E X D ,67.0=X D X 而 Y 的概率分布为 : 6.04.01. =-k k Y P ,1,2,3,k = ,即6.0G Y =Y D Y 从而356.01=Y E ,9106.06.012=-=Y D ,05.111. 设随机变量 ,0 U X , 求随机变量函数 X Y cos = 的数学期 望与方差 . 解 随机变量 ,0 U X 的密度为 . . . . . =其它； ,0; 12 / 27 概率统计作业题参考答案0,1 x x f 就函数 X Y cos = 的数学期望与方差分别为. - .

13、 =dx x f x X E Y E cos cos 0sin 1 cos 1 |0 = = . x xdx ; . - . =-=dx x f x X E Y E Y E Y D cos cos 2222 21 13 / 27 概率统计作业题参考答案2sin21212cos121cos 1 |00 02 =+=+=. . x x dx x xdx12. 设二维连续随机变量 ,X Y 2,0,1; ,0, .x y x y f x y - . =.的联合概率密度为. 其它, 试求 X 与 Y 的协方差； 解 由随机变量函数的数学期望的运算公式即知111 10000,22E - - . . =-

14、=- . . . . . . . . 1 1315 X xf x y dxdy x x y dxdy xdx x y dy 224312x x dx =-=-= .同理可得 12 14 / 27 概率统计作业题参考答案5 =Y E ；又 11002E XY xy x y dxdy =-. . 1 021111 23366x x dx -=-=-= .故 X 与 Y 的协方差为 144 1 ,- =-=Y E Y E XY E Y X Cov 13. 设随机变量 4,4N X ,求: d , 使 得 0.9P X 1210P X - ; 3 确 定d ； 解 1332 4 1024242 102

15、- - =- =-=X P X P 3 由28.19.02 42412424 = - =- -=-=d d d X P d X P 得 28.12 4-d , 故 44.1 d14. 设随机变量 1,4X N ,求以下概率 : 4.56P X ； 解 1 1.6 5.8P X - ;2| 13.14.22 1 8.521216.1 8.56.1- - =- - =-X P X P 895.09032.019918.0=-= 2| 4.56P X 2 1 56.4212156.4 156.456.41-= 时, .- - = -=y x y y x dx e dx e y X y P y F 0

16、 22222221 故|Y X = 的概率密度为 .17 / 27 概率统计作业题参考答案. . . . =-0, 00 ,222 2 2y y e y F y f y 2 222 2222220 22 2 222 2= = =. . . - 18 / 27 概率统计作业题参考答案- - x d e dx xe dy e y Y E x x y 2222 =+=X E X D X E Y E 故 2222 1 -=-=Y E Y E Y D 16. 某工厂有 200 台同类型的机器 , 每台机器工作时需要的电功率 为 10 千瓦；由于工艺等缘由 , 每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的 7

17、5%,各台机器是否工作是相互独立的；求 : 1 任一时刻有 140至 160 台机器正在工作的概率 ; 2 需要供应多少电功率可以保证全部机器正常工作的概率不小 于 0.95. 解 设大事 A 表示机器工作 , 就可把 200 台机器是否工作视19 / 27 概率统计作业题参考答案作 200 重 贝 努 利 试 验 ； 设Y 表 示 任 一 时 刻 正 在 工 作 的机 器 数 ,就75.0,200N Y . 1由 De Moivre -Laplace 心极限定理知 5 .37150 1605.371505.37150140160140- - =Y P Y P 8968.019484.0216

18、3.12=-. =- 2 设任一时刻正在工作的机器数不超过m , 就题目要求95.00 m Y P 即有 5.245.37150 5.3715005.37150 0- - - - m m m Y P 645.15 .37150 - m , 故645.15 .37150 -m ,1.160 m , 取 161=m ,即需要供应 1610 千瓦的电功率 . 17. 设总体 p G X ,抽取样本 12,n X X X ；求: 1 样本均值 X 的数学期望与方差 ;2 样本方差 2S 的数学期望； 解 由于p G X , 故 21,1p p X D p X E -= 20 / 27 概率统计作业题参考答案； 1p X E X E 1= =,21np p n X D X D -=; 2221p p X D S E -= =；18. 设总体 40,25X N ；1 抽取容量为 36 的样本 , 求样本均值 X 在 38 与 43 之间的概率 ; 2 抽取样本容量 n 多大时 , 才能使概率 |40|10.95P X -. 3 抽 取样本容量 n 多大时 , 才能使 |0.5E X - . 解 设样本容量为 n , 就 1,02540 N n X u -= ； 1 此时 36=n , 1,036 2540 N