新人教版高中数学必修第二册第八章立体几何初步：8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

1、8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式. 2.能利用计算公式求多面体的表面积与体积. 3.能用计算公式解决与多面体相关的简单实际问题. 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. 2.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积公式棱柱V棱柱=Sh(其中S为棱柱的底面积,h为棱柱的高)棱锥V棱锥=Sh(其中S为棱锥的底面积,h为棱锥的高)棱台V棱台=(S+S)h(其中S,S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高) 棱柱、棱锥、棱台的

2、体积公式之间的关系 1.底面积相等且高相等的两个同类几何体的体积相等.()2.在三棱锥P-ABC中,VP-ABC=VA-PBC=VB-PAC=VC-PAB. ()3.锥体的体积等于底面面积与高之积.()4.棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差.()5.三棱柱的侧面积也可以用cl来求解,其中l为侧棱长,c为底面周长.()提示：当三棱柱为直棱柱时,侧面积可以用cl来求解,若为斜棱柱,则不能.判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” . 运用“等体积转换法”求三棱锥的体积 在平面几何中,可利用“等积变换”求三角形的面积,通常有两种方案:一是同一三角形选不同的边作为底边所得面积相等;二是不同的三角形利

3、用“等底同高”或“等高同底”得到的三角形面积相等.在空间图形中能否借鉴平面几何的“等积变换”求三棱锥的体积呢? 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,在求三棱锥A-DED1的体积时,随着E点的变化,底面DED1的面积在变化,点A到底面DED1的距离也在变化,导致体积难求. 1.能否利用“等体积转换法”求解三棱锥A-DED1的体积?提示:能.三棱锥A-DED1的体积等于三棱锥E-ADD1的体积. 2.求三棱锥E-ADD1的体积的关键是求高,即求E点到平面AA1D1D的距离,如何求出 E点到平面AA1D1D的距离?提示:由于正方体的侧面AA1D1D与侧面BB

4、1C1C平行,因此E点到平面AA1D1D的距离等于C点到平面AA1D1D的距离. 3.如何求出三棱锥A-DED1的体积?提示:由问题1、2,得=111=. 当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某个量(底面积或高)不易求解时,可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算.具体作法是选择合适的底面,使得底面面积和高易于计算.该方法适用于求三棱锥的体积,由于三棱锥是由4个三角形面围成的四面体,其中任何一个三角形面都可以看成其底面,所得三棱锥的体积保持不变.其他棱锥求体积时不能随意换底.在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等

5、腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.思路点拨把三棱锥P-A1MN的体积转化为三棱锥A1-PMN的体积,再转化为三棱锥P-AMN的体积.解析由题意知三棱柱ABC-A1B1C1是一个直三棱柱,三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形,高为1,如图所示,则=VA-PMN=VP-AMN=1=. 答案如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA是四棱锥P-ABCD的高,且PA=2,求三棱锥C-PBD的体积. 思路点拨由VC-PBD=VP-BCD,结合三棱锥的体积公式即可求解.解析因为PA是四棱锥P-ABCD的高,所以PA是三棱锥P

6、-BCD的高,所以VC-PBD=VP-BCD=SBCDPA=112=. 运用“割补法”求几何体的体积 孔明锁,也叫八卦锁、鲁班锁,是中国古代民族传统的土木建筑固定结合器,是曾广泛流传于中国民间的智力玩具,它还有“别闷棍”“六子联芳”“莫奈何”“难人木”等叫法. 孔明锁,不用钉子和绳子,完全靠自身结构的连接支撑,就像一张纸对折一下就能够立起来,展现了一种看似简单,却凝结着不平凡的智慧.如图是一个六柱孔明锁. 如上图所示,六柱孔明锁是一个组合体,其体积等于六根木棒的体积和,那么如何求号木棒的体积呢?提示:可将号木棒分割成3个长方体后再求体积,或者将号木棒割补为一个完整的长方体后再求体积. 求解不规

7、则几何体的体积时,若几何体是组合体,一般将其转化为求若干个柱、锥、台的体积的和或差,从而使不规则几何体转化为常见的简单几何体的形式. 1.可将正四面体补为正方体,如图所示. 3.可将三棱柱补成平行六面体,如图所示.2.可将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体,如图所示(PAPB,PAPC,PBPC). 4.可将台体补成锥体,如图所示.如图所示,多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为3的正方形,EFAB,EF=,EF到平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积V为( D)A.B.5C.6D. 思路点拨将不规则几何体通过割(或补)转化成易于求解的几何体.解析如图,连接EB,EC,AC,则VE-ABCD=322=6.AB=2EF,EFAB,SEAB=2SBEF.VF-EBC=VC-EFB=VC-ABE=VE-ABC=VE-ABCD= .V=VE-ABCD+VF-EBC=6+ = .答案D如图,已知三棱柱ABC-A