新人教版高中数学必修第二册第六章平面及其应用：6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

1、6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 1.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件,会根据平面向量的坐标判断向量是否共线.本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 平面向量的正交分解及坐标表示 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i, j,取i,j作为基底

2、.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),此式叫做向量a的坐标表示. (2)在直角坐标平面中,以原点O为起点作=a,则点A的位置由向量a唯一确定.设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标. (3)向量i,j,0的坐标表示:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 平面向量加、减、数乘运算的坐标表示 文字叙述坐标表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+

3、b=(x1+x2,y1+y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标若a=(x,y),R,则a=(x,y)向量的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1) 平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,向量a,b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0. 向量的坐标表示的重要结论 1.中点向量坐标 若A(x1,y1),B(x2,

4、y2),P为AB的中点,则=(O为平面内任一点). 2.三角形的重心向量坐标 ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),若ABC的重心为G,则=(O为平面内任一点).1.两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同. ()提示：两个向量的终点不同,但这两个向量可能相等,即坐标有可能相同.2.向量的坐标就是向量终点的坐标.()判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” .提示：只有以坐标原点O为起点的向量的坐标才是其终点的坐标.3.在平面直角坐标系中,两个相等向量的坐标相同. ()4.已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若ab,则=.()5.向量a=(1,2)与

5、b=(-3,-6)共线且同向.()提示：b=(-3,-6)=-3(1,2)=-3a,所以a与b共线且反向. 平面向量坐标运算的应用 利用平面向量的坐标运算解决有关问题的基本思路 1.向量的坐标运算一般是利用加、减、数乘运算法则进行的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,然后进行向量的坐标运算,另外解题过程中要注意方程思想的运用. 2.利用向量的坐标运算解题,主要根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解. 3.利用坐标运算求向量的基底时,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出相应系数.在直角梯形ABCD中,ABAD,DCAB,AD=DC=2,AB=4,E,F分别为AB,BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧上运动(如图所示).若= +,其中,R,则2-的取值范围是(A)A.-,1 B.-,C.D. 思路点拨建立适当的平面直角坐标系,转化为向量的坐标运算,从而求出2-的取值范围.解析建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),E(2,0),D(0,2),F(3,1).设P(2cos ,2sin ),则=(2cos ,2sin ),=(-2,2),=(3,1).=+,(2cos ,2sin )=(-2,2