新人教版高中数学必修第二册：专题强化练7 空间角和距离

1、专题强化练7空间角和距离一、选择题 1.(2020四川资阳高二上期末,)一个正方体的平面展开图如图所示,在该正方体中,给出如下3个命题:AFCG;AG与MN是异面直线且夹角为60;BG与平面ABCD所成的角为45.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.(2020四川成都七中高三二模,)如图所示,三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形,ACB=90,且PA=PB=AB=2,PC=3,则点C到平面PAB的距离等于()A.13B.63C.33D.233.(2020湖南长沙明德中学高一上月考,)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且

2、A1F平面D1AE,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是()A.t|255t23B.t|255t2C.t|2t23D.t|2t224.(多选)(2020海南海口高三模拟,)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC=23AB=2,ABAC,D,E分别是线段BC,B1C上的动点(不含端点),且ECB1C=DCBC.则下列说法正确的是()A.ED平面ACC1B.该三棱柱的外接球的表面积为68C.异面直线B1C与AA1所成角的正切值为32D.二面角A-EC-D的余弦值为413二、填空题5.(2020浙江杭州学军中学高二上期中,)如图,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,

3、点E满足CE=3EB,点P在棱AB上运动,设EP与平面BCD所成的角为,则sin 的最大值为.6.(2020浙江宁波九校高二上期末联考,)边长为2的等边ABC和直角ABC1所在半平面构成60的二面角,当AC1B=90,C1AB=30时,线段CC1的长度为.三、解答题7.(2020黑龙江哈尔滨三中高三上期末,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC,D、E分别为AA1、B1C的中点.(1)证明:DE平面BCC1B1;(2)若AB=2,直线B1B与直线CD所成的角为45,求点B到平面B1CD的距离.8.(2020福建宁德高三上期末,)如图,平面ABCD平面EBC,四边形AB

4、CD为矩形,AB=1,EBC=3,且M、N分别为AB、CE的中点.(1)证明:MN平面AED;(2)若BC=BE=2,求二面角E-AD-B的大小.9.(2020天津实验中学高一上期末,)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2,(1)求证:PD平面PBC;(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.10.(2020湖北武汉武昌高二月考,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为a,E为AB的中点.(1)若a=1,证明B1E平面A1EC;(2)若a=2,求直线B1E与平面A1EC所成角的正弦值.答案全

5、解全析一、选择题1.C将平面展开图还原成正方体,如图所示:对于,连接MB,易知MBCG,MBAF,AFCG,正确;对于,连接AC,易知MNAC,GAC是异面直线AG与MN所成的角,易知GAC为等边三角形,GAC=60,正确;对于,连接BD,易知GBD为BG与平面ABCD所成的角,GBD45,错误.故选C.2.C取AB的中点G,连接PG、CG,作CHPG,垂足为H,如图所示,PA=PB=AB=2,PAB为等边三角形.G为AB的中点,PGAB,ABC为等腰直角三角形,ACB=90,CGAB,又PGCG=G,AB平面PCG,又CH平面PCG,ABCH.又CHPG,PGAB=G,CH平面PAB,即CH

6、就是点C到平面PAB的距离.在等边三角形PAB中,PG=322=62,在RtABC中,CG=112=22,在PCG中,由余弦定理的推论可得cosPGC=PG2+CG2-PC22PGCG=622+222-(3)226222=-33,sinPGC=1cos 2PGC=1-332=63,在RtCHG中,CH=CGsin(-PGC)=2263=33,点C到平面PAB的距离为33.故选C.3.D设平面AD1E与直线BC交于点G,则G为BC的中点,连接AG、EG,分别取B1B、B1C1的中点M、N,连接A1M、MN、A1N,则A1MD1E,MNEG.A1M平面D1AE,D1E平面D1AE,A1M平面D1A

7、E,同理可得MN平面D1AE.A1M、MN是平面A1MN内的两条相交直线,平面A1MN平面D1AE.A1F平面D1AE,F是线段MN上的动点.连接B1F,设直线A1F与平面BCC1B1所成的角为,当点F与点M(或N)重合时,A1F与平面BCC1B1所成角等于A1MB1,此时所成角达到最小值,满足tan =A1B1B1M=2.当点F为MN的中点时,A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值,此时tan =A1B1B1F=A1B122B1M=22.t构成的集合为t|2t22.4.AD在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BCC1B1是矩形,因为ECB1C=DCBC,所以EDBB1CC1,因为ED平

8、面ACC1,CC1平面ACC1,所以ED平面ACC1,A项正确;因为AA1=AC=23AB=2,所以AB=3,因为ABAC,所以BC=22+32=13,所以B1C=13+4=17,易知B1C是三棱柱外接球的直径,所以外接球的表面积为41722=17,故B错误;AA1BB1,所以BB1C为异面直线B1C与AA1所成的角.在RtB1BC中,BB1=2,BC=13,所以tanBB1C=BCBB1=132,所以C错误;过A作AFBC于F,由直三棱柱的定义可知AFCC1,因为CC1BC=C,所以AF平面BCC1B1,过F作FGB1C于G,连接AG,则AGB1C,所以AGF是二面角A-EC-D的平面角.在

9、RtBAC中,可得AF=613,CF=413,因为sinB1CB=217,所以FG=413217,所以AG=3613+641317,所以cosAGF=FGAG=4132173613+641317=413,所以D正确.故选AD.二、填空题5.答案223解析依题意可知,该几何体为正四面体,设顶点A在底面内的射影是O,则O为BCD的中心,连接OB,过P作PHOB,交OB于H,连接HE,如图.易知PEH是直线EP与平面BCD所成的角,设为,设正四面体的棱长为4a,PB=x(0 x4a),在三角形PBE中,PBE=3,由余弦定理得PE=x2+a2-ax,在AOB中,AO=(4a)2-433a2=463a

10、,PHAO=x4a,解得PH=63x,sin =PHPE=63xx2+a2-ax=63ax-122+34,当x=2a时,sin 取得最大值,最大值为223.6.答案102解析如图1,作C1DAB于D,C1O平面ABC于O,连接DO,AB平面ABC,C1OAB,又C1OC1D=C1,AB平面C1DO,又DO平面C1DO,ABDO,C1DO为等边ABC和直角ABC1所在半平面构成的二面角,即C1DO=60,又AC1B=90,C1AB=30,C1B=ABsin 30=1,C1D=C1Bsin 60=32,C1O=C1Dsin 60=34,DO=C1Dcos 60=34,BD=C1Bcos 60=12

11、,画出底面ABC如图2,分析可知:CO=ED2+(CE-OD)2=122+3342=314,CC1=C1O2+CO2=916+3116=102.图1图2三、解答题7.解析(1)证明:如图,取BC的中点G,连接EG、AG,则EGDA,且EG=DA,四边形ADEG为平行四边形,DEAG.B1B平面ABC,AG平面ABC,B1BAG,AB=AC,且G为BC的中点,BCAG,又B1BBC=B,AG平面BCC1B1,又DEAG,DE平面BCC1B1.(2)B1BAD,ADC就是直线B1B与直线CD所成的角,ADC=45,AD=AC=2.设点B到平面B1CD的距离为d,由VB-B1CD=VC-B1BD,可

12、得13d12226=1321242,解得d=433,故点B到平面B1CD的距离d=433.8.解析(1)证明:取DE的中点F,连接AF、FN,又N为BC的中点,FNCD,FN=12CD.矩形ABCD中,M为AB的中点,AMCD,AM=12CD,AMFN,AM=FN,四边形AMNF为平行四边形,AFMN.又AF平面AED,MN平面AED,MN平面AED.(2)过点E作EHBC于H,平面ABCD平面EBC,平面ABCD平面EBC=BC,EH平面ABCD,过H作HGAD于G,连接EG.AD平面ABCD,EHAD,又EHHG=H,AD平面EHG,EG平面EHG,ADEG,EGH即为二面角E-AD-B的

13、平面角.在RtEHB中,EH=EBsin 3=232=3,又HG=AB=1,tanEGH=EHHG=3,EGH=3,二面角E-AD-B的大小为3.9.解析(1)证明:AD平面PDC,PD平面PDC,ADPD,BCAD,PDBC,又PDPB,PBBC=B,PD平面PBC.(2)过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.PD平面PBC,PF为DF在平面PBC上的射影,DFP为直线DF与平面PBC所成的角.ADBC,DFAB,四边形DABF为平行四边形,BF=AD=1.CF=BC-BF=2.ADDC,BCDC.在RtDCF中,可得DF=CD2+CF2=25.在RtDPF中,可得sinDFP=PDDF=55,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为55.10.解析(1)证明:ABC是正三角形,E为AB的中点,CEAB.三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,平面ABB1A1平面ABC=AB,CE平面A1ABB1,CEB1E.四边形A1ABB1是矩形,且AA1=1,AB=2,A1E2+B1E2=AE2+AA12+EB2+BB12=4=A1B12,A1EB1E.CEB1E,A1EB1E,CEA1E=E,B1E