原子物理第三章课件

1、 第三 章 量子力学初步波尔理论氢原子光谱光谱类氢原子光谱玻尔理论定态跃迁角动量量子化量子化通则史特恩盖拉赫实验弗兰克赫兹实验索末菲椭圆轨道理论前 言一、原子结构按电子的轨道运动来描述在原子物理的发展中是一个重要的成就，但也有其局限性。【波尔理论的局限性】（1） 只适应于单电子原子，而不适合于多电子原子，因为玻尔理论中没有考虑电子与电子之间的相互作用。（2）玻尔理论无法解释谱线的这种精细结构（3）不能计算出不同谱线的相对强度。（4）处在n=3态上的电子有多少次直接跳到1态上，有多少次先跳到2再到1上发出两种光。对此玻尔理论无能为力。 如果仔细分析氢原子或其它原子的辐射光谱的话，我们发现许多谱线

2、并不是单一的波长，而是由两条或两条以上的靠得很近的谱线组成的。二、量子力学发展简史 1924年:德布罗意（L。deBroglie）从光的二象性推断微粒的波动性。 L. de Broglie(1892-1987)1925年:薛定谔（E.Schrodinger）描述原子的新理论-波动力学。E. Schrodinger(1887-1961)1925年：海森伯（W.heisenberg）又独自提出了矩阵力学.这两种理论在数学形式上差别较大,而结论却相同,实质上是相同的理论,W. Heisenberg1901-1976 现在的量子力学融合了原来薛定谔和海森伯的理论以及其他好多人的贡献,成为微观体系的基本

3、理论.三、本章内容简介 本章初步介绍量子力学的概念和方法和它对单电子的描述.量子力学处理问题的结论更符合实验事实,从其创造以来,在微观物理中发挥了很大的作用.本书今后的讨论中常常要采用量子力学的概念和结论.3.3 波函数及其物理意义3.2 测不准原理3.1 物质的二象性3.4 薛定谔波动方程 3.5 量子力学问题几个简例 3.6 量子力学对氢原子的描述3.1 物质的二象性经典物理中的波和粒子波和粒子是两种仅有的、又完全不同的能量传播方式。在经典物理中，无法同时用波和粒子这两个概念去描述同一现象。粒子可视为质点，具有完全的定域性，其位置、动量可精确测定。波具有空间扩展性，其特征量为波长和频率，也

4、可精确测定。1. 光的二象性 1）人类认识光的历史1627年 牛顿提出光的微粒说1678年 惠更斯提出光的波动说十九世纪初 菲湟耳、夫朗和费等人建立干涉、衍射、偏振等实验，证实光的波动性。十九世纪末，麦克斯韦肯定光是电磁波，这时人们认识到：在干涉、衍射、偏振这些现象上，光显出波动性；2）爱因斯坦提出光子概念在涉及能量的问题中，例如黑体辐射、光电效应等问题，光又显出微粒性。爱因斯坦提出：光子概念。 一个光子的能量：相对论原理：这里的m是与能量E联系的质量那么光子也有动量，其数值： 上两式中，将标志波动的物理量与标志微粒的物理量通过普朗克常量h联系起来。 上两式表明光的波粒二象性。2、微粒的波动性

5、德布罗意分析了以上历史认为： 过去太强调光的波动性，忽略了它的微粒性，以至于许多实验事实无法解释。 反过来,对实物粒子太强调它的微粒性，就会忽略了它的波动性。这显然是一种辨证唯物主义的观点。L. de Broglie(1892-1987)德布罗意在1924年提出了设想：实物粒子也具有二象性，那么关于光的两公式（1）和（3）也能用于实物粒子。但实物粒子的动量等于mv，由上述（3）式，同实物粒子联系着的波应具有波长（4） 人们把与实物粒子运动联系着的波称为德布罗意波，（4）式表示的波长为德布罗意波长。光:实物粒子光:此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当.【例】在一束电子中，电子的动能为 20

6、0eV ，求此电子的德布罗意波长?【解】：德布罗意波的实验验证 实物粒子的波动性已由实验证实。戴维孙（C。J。Davisson）和孔斯曼（Kunsman）在德布罗意的建议提出以前，在1921到1923年间就观察到，电子被多晶体的金属表面散射时，在几个角度上散射较强，当时未有合适的解释。其实这已经显示了电子的波动性。戴维孙和革未（L。S。Germer）继续进行了电子在晶体上散射的实验，到1927年发表了较准确的测量结果，证实了德布罗意的设想。3、德布罗意关系式的实验验证戴维孙革末实验 德布罗意曾指出由于实物粒子的波粒二象性，当加速后的电子穿过晶体时，将会发生电子波的衍射现象，1925年戴维孙革末

7、在一次偶然的事故中将镍单晶化，电子穿过镍单晶时，观察到电子的衍射图象（如图）当 时加强-布拉格公式。 波程差：实验测值： =50o 差不到1度。 这个差值还是由于电子进入晶格内波长变小的缘故，动量和能量在晶格中都会增大，使衍射角 小于50.9o。理论计算：【理论分析】：波程差：Ni单晶电子束检测器散射强度（1）结果讨论：（2）结果讨论：这些峰值应该等间距但实际上，有所差别，只有当V大是才符合得较好下图是波长与X射线相同的电子衍射图与X光衍射图的比较 同年汤姆逊给出电子穿过多晶薄膜的衍射图（a）1961年约恩还给出了电子的单缝和多缝衍射图 随后人们从实验还发现质子、中子、原子、分子都具有波动性。

8、德布罗意假设被大量事实证实，为此获1929年诺贝尔物理奖。高压电源电子源加速区电磁线圈（聚光焦）被观测的样品电磁线圈（物镜）第一个像电磁线圈（像投影仪）最后的像电子显微镜里的磁聚焦透镜排列原理图电子波动性的实际应用电子显微镜影视扫描隧道显微镜影视观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie-1993 3.2 测不准原理3.2 测不准关系1）电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出)大部分电子落在中央明纹x方向上，粒子坐标的不确定度为又粒子动量的不确定度为 电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为 ，经过狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置：考虑更高衍射级次 狭

9、缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子的坐标，又能避免动量发生变化。如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。 海森堡（Heisenberg）在1927年从理论上得到：第1个式子说明:粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置 和相应的动量(坐标-动量测不准关系）第2个式子说明:粒子在客观上不能同时在确定的时间具有相应确定的能量（时间-能量测不准关系）1901-1976，量子力学创立者之一，1932年诺贝尔物理学奖 2）不确定关系附录

10、：能量与时间的测不准关系. 推导如下 ：为了使推得的关系具有普遍性，用具有普遍性的相对论能量公式 （3）式中E是总能量，m是总质量，p是动量， 是静止的质量，c是光速.由上式,例1 设电子与 的子弹均沿x方向运动， 精确度为 ，求测定x坐标所能达到的最大准确度。电子：子弹：解：例 2 求在波尔模型中氢原子中电子绕核运动的速度。上式代入数据后，为：解：例 3 原子的线度约为 10-10 m ，求原子中电子速度的不确定量。原子中电子的位置不确定量 10-10 m，由不确定关系氢原子中电子速率约为 106 m/s。速度及其变化为同一数量级，因此原子中电子的位置和速度不能同时完全确定，也没有确定的轨道

11、。 解：1927年，海森堡首先推导出不确定关系：3）常见的不确定关系公式表示出同时测定一个微粒的位置和动量的精密度的极限。*不确定关系的应用举例不确定关系测不准原理4）不确定关系的几点说明a）不确定关系来源于物质的二象性。 既是微粒，又是波，这是微观物质表现出的性质。所以测不准原理是物质的客观规律。 它不是测量技术和主观能力的问题。 对微粒不可能如经典力学的要求，既可以知道它的精确位置，又同时知道它的动量的确定值。因此对微观物体位置的恰当描述是说它处于某一位置的几率，而在它可能出现的空间中有一个位置几率的分布。 在下一节描述原子中电子的情况时就要用到这个概念。b）原子能级的平均寿命 实际能级都

12、不是单一值，而是有一定的宽度 。也就是说电子处在某能级时，实际的能量有一不确定的范围，即 。在同类大量原子中电子中，停留在相同能级上的电子有的停留时间长，有的停留时间短。可以用一个平均寿命 来表示。 根据 的测不准关系， 宽的 小 ，这就是说，平均寿命长的能级，它的宽度小，这样的能级我们说比较稳定。反之，平均寿命短的，能级宽度就大。能级宽度可以通过实验测出，从而可以推知能级的平均寿命， 例子：波长为4000的谱线宽度为 ，求有关原子能级的平均寿命。解：又：3）还可以解释电子不是原子核的组成部分。4）测不准原理不但适用于原子中核外电子的能级。也适用于原子核状态，又适用于基本粒子问题。本书第十，十

13、一章中将接触到这类问题，并有从而推得的重要结论的例子。 3.3 波函数及其物理意义1、自由粒子的机械波对自由粒子：复数形式：量子力学文献一般采用上式的复共轭形式:以上描写的是一般意义(经典)的波. （1）上式是描述微观粒子(自由粒子)波粒二象性的波函数. （2）非自由粒子的波函数可用自由粒子的波函数线性迭加而得.2、波函数说明2.对波函数的两种解释. 波包是由不同的频率组成,不同的频率的波在媒质中传播 速度不同,这样波包在媒质中会逐渐扩散,直至消失. 实验中电子不会在媒质中会逐渐扩散消失.1)、认为波是基本的, 粒子只是许多波组成的一个波包. 波包的速度是粒子的速度, 波包的性质表现出粒子的性

14、质.被实验否定:波在二媒质界面上可分为反射和折射两部分,而一粒电子是不可分的.2)认为粒子是基本的,波是大量粒子分布密度的变化.被电子双缝干涉实验否定 电子束减至很弱（那怕弱到一个一个的通过窄缝）只要时间足够长，也会出现干涉条纹。 足见波动现象不是很多粒子同时存在相联系的。似乎波动性是各个粒子具有的性质3.玻恩（M.Born）统计解释光子在某处出现的几率和该处光振幅的平方成正比关于光的干涉极大的解释波动说：干涉极大的地方，光的强度有极大值，而强度与振幅的平方成正比。 粒子说：光强与来到该处的光子数成正比。 统一于光子数 N I E02 I大， 光子出现几率大I小， 光子出现几率小 体积 中发现

15、一个粒子的几率表达为玻恩（M.Born）提出了德布罗意波的统计意义，认为波函数代表发现粒子的几率，这是每个粒子在它所在环境中所具有的性质。如果有大量的粒子，那么某处粒子的密度就与此处发现一个粒子的几率成正比。波函数的统计解释（哥本哈根学派观点） 代表在单位体积内发现一个粒子的几率。因而称几率密度。这就是德布罗意波函数的物理意义。4、波函数需要满足的条件1). 波函数的单值、有限性、连续以上要求称为波函数的标准化条件因为，粒子的几率在任何地方 只能有一个值； 不可能无限大； 不可能在某处发生突变。 根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到粒子的几率必须为单值、有限、连续的2). 波函数的归

16、一性若归一化因子The Nobel Prize in Physics 1954 (shared with W. Bothe)for his fundamental research in quantum mechanics, especially for his statistical interpretation of the wavefunctionM. Born (1882-1970) 一电子玻尔轨道中运动同这电子的德布罗意波沿轨道传播相联系，对一个可能的轨道，波函数必须是单值的，这就要求轨道的一周等于波尔长的整倍数：-玻尔量子条件5.对玻尔轨道量子化条件的说明 3.4 薛定谔波动方程d

17、e Broglie波的存在虽然已被证实，但还缺少一个描述它存在于时空中的波动方程. 1926年, E.Schrdinger创立波动力学，其核心就是今天众所周知的薛定谔方程，它在量子力学中的地位和作用相当于牛顿力学中的牛顿方程，它描述了量子系统状态的演化规律。1、 薛定谔方程的建立一般形式的薛定谔方程:E. Schrdinger (1887-1961)1933年与狄拉克分享诺奖一般形式的薛定谔方程:拉普拉斯算符：一个自由粒子的薛定谔方程：波函数具有形式（定态波函数）: 一般说来该方程不是对任意的E(能量)值才有解，只对一系列特定、分立值才有解，故这些特定的E值可以用整数n编序成En，表明能量是量

18、子化的。可见能量量子化自然蕴含在薛定谔方程中。2、 定态薛定谔方程1）动量算符 每一个力学量可以用一个算符来代表3.代表力学量的算符 -以上是代表动量的微分算符.坐标算符：代表位置r 算符就是r本身，运算于一个函数时就是r乘 ，即势能算符：只与坐标有关的势能V（r），其算符就是本身，运算于一个函数 是V（r）乘 。即2）坐标算符和势能算符所以算符 与 是完全相当的，都是能量算符。 3）能量算符哈密顿算符本征方程：本征函数与本征值 知道了代表力学量的算符，就可以很方便地列出关于这个力学量的薛定谔方程，也就是关于这个力学量的本征值方程。 例如要计算某一具体体系的能量，就把代表能量的哈密顿算符运算于

19、一个待定的波函数，列出需要的方程 ，然后解这个方程，这时必须引用前面提到的波函数的条件。这样解得的u就是能量算符的本征函数。 为了得到符合条件的本征函数，在解方程过程中会知道E只能取某些值，这些E值就是这个方程的本征函数所从属的本征值。 对于其它力学量，如动量，角动量等，也可以用力学量的算符 运算于一个待解的波函数 ，列出本征值方程 ，然后解这个方程，求出本征函数 和本征值 。 用算符 代表的力学量的本征值是对这个力学量进行精密测量可能获得的仅有结果。 3.5 量子力学问题几个简例 上一节的讨论是原则性的，比较抽象的，为了更具体的了解量子力学处理问题的方法和步骤，本节将讨论三个例子。1、一维无

20、限深势阱中运动粒子2、一维谐振子3、隧道效应及势垒贯穿 第一个例子最简单，将讨论得详细一些。 后两个例子同本书以后要讨论的某些问题有关，只说明处理的步骤和结论，不进行详细计算。Ux例1 一维无限深势阱中运动粒子的能量和波函数在势阱内:受力为零,自由运动,势能为零在势阱外:势能为无穷大【分析】1、能量本征值与波函数归一化：粒子在区各点出现的几率总和等于1。1、波函数归一化一维无限深方势阱中粒子的波函数和几率密度-a/2a/2-a/2a/2宇称 u（-x）= u （ x ） 宇称是偶性的u （- x ）= - u （ x ） 宇称是奇性的。 宇称不仅是函数的性质，在物理学中也是函数所代表的物理状态

21、的性质。能量量子化普朗克量子化假设 En=nhv E0= 0量子力学结果 En=(n+1/2)hv E0= hv/2 零点能讨论室温下分子热运动动能kT E kT宏观振子的能量相应的 n1025 E10-33J 能量取连续值！对应原理能量间隔：图3.9显示简谐振子的几个本征函数图中横直线,代表EV那一段x范围.从图中可以看出,n为偶数时,函数宇称是偶性的, n为奇数时,函数宇称是奇性的,线性谐振子波函数线性谐振子位置几率密度图3.8是简谐振子能级图例3、 隧道效应及势垒贯穿势垒0 aU0 区 U ( x ) = 0 x a区 U ( x ) = 0 x 0区 U ( x ) = U0 0 x

22、aE 经典：粒子动能 E U0 , R0, 即粒子总能量大于势垒高度，入射粒子也并非全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。 0 a U0 E(2) E U0 , T0, 即粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入 III 区 隧道效应，它是粒子波动性的表现。透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变化，随着势垒的加宽、加高，透射系数减小。 粒子类型粒子能量势垒高度势垒宽度透射系数电子1eV2eV1eV2eV1eV2eV210-10m510-10m0.024210-10m0.51质子310-38穿透系数会非常的小，势垒宽度 、高度达到一定程度时，此时量子概念过渡

23、到经典物理范围隧道效应的应用：量子力学隧道效应是许多物理现象和物理器件的核心，如隧道二极管、超导Josophson结、衰变现象. 某些质子转移反应也与隧道效应有关. (1) 原子核的 衰变核内粒子在核力作用下，处于很低负势阱中的某一能级上。在核外核力为零(短程力)，仅受库仑静电斥力作用，在核边界上形成很高的势垒。rRU35MeV4.25MeV0U Th + He2382344理论及实验证明 粒子通过隧道效应出来的附录：【例】 中微子的发现 问题的提出: 问题何在？是动量守恒有问题？ 物理学家坚信动量守恒。 1930年泡利(W.Pauli)提出中微子假说, 以解释衰变各种现象. 1956年(26

24、年后)终于在实验上直接找到中微子。 1962实验上正式确定有两种中微子: 电子中微子e , 子中微子 如果核 A静止, 则由动量守恒应有 PB +Pe = 0. 但 衰变云室照片表明, B、e 的径迹并不在一条直线上.还是有其它未知粒子参与？ 衰变: 核A 核 B + e中微子望远镜大亚湾反应堆中微子实验 中微子是当前粒子物理、天体物理、宇宙学、地球物理的交叉前沿学科，本身性质也有大量谜团尚未解开。在这一领域，大部分成绩均为日本和美国取得。1942年，中国科学家王淦昌提出利用轨道电子俘获检测中微子的可行方案，美国人艾伦成功地用这种方法证明了中微子的存在。 80年代，中国原子能科学研究院进行了中

25、微子静止质量的测量，证明电子反中微子的静止质量在30电子伏特以下。 一代大师王淦昌（2.）扫描隧道显微镜（STM）（Scanning Tunneling Microscopy）1986年荣获诺贝尔奖的扫描隧穿显微镜利用了隧道效应。电子利用隧穿本领从探针越过势垒到达待测材料表面，形成隧道电流，记录这种电流可以获得表面状态的信息隧道电流id探针样品ABUSTM 结构原理示意图隧道电流I与样品和针尖间的距离d关系敏感 A常量，U样品与针尖间的微小电压， 样品表面平均势垒高度扫描隧道显微镜(Scanning Tunneling MicroscopySTM)STM原理 . 0.1nm, 0.01nm19

26、86年，宾尼博士和罗雷尔与发明电子显微镜的鲁斯卡获诺贝尔物理学奖。 用STM得到的神经细胞象硅表面STM扫描图象 1991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子，拼成了字母IBM，每个字母长5纳米。 移动分子实验的成功，表明人们朝着用单一原子和小分子构成新分子的目标又前进了一步，其内在意义目前尚无法估量。镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的STM照片Fe原子间距：0.95 nm，圆圈平均半径：7.13 nm48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。 3.6 量子力学对氢原子的描述1. 氢原子的定态薛定谔方程氢原子中电子的电势能 U和方向无关，为中心力场U( r ) 3.6 氢原子

27、的量子力学处理球坐标的定态薛定谔方程2. 能量量子化采用分离变量的方法可解得原子的能量为主量子数主量子数 n和能量有关 n = 1 ，2 ，3 ，设波函数形式为3. 角动量量子化原子中电子的轨道角动量大小为4. 角动量的空间量子化 解方程得出电子的轨道角动量在Z方向的分量是磁量子数ml 决定轨道角动量在Z方向投影对同一个 l 角动量Z方向分量可能有 2l+1个不同值角量子数l决定电子的轨道角动量 的大小 l = 2 例：角动量大小为Z方向分量有5种取值磁量子数有5种取值即角动量在z 轴上仅能取分立的5种取值本征波函数径向角向电子在（n, l, ml）态下在空间 ( ) 处出现的概率密度是4. 电子的概率分布角向波函数主量子数 n = 1 ，2 ，3 ，角量子数磁量子数径向概率密度：（1）径向分布在 r 的球壳内找到电子的概率（2）角分布角向几率密度：角向几率与角无关，即几率函数为绕z轴旋