微分方程建模方法课件

1、第3章微分方程建模方法3.1微分方程建模原理和方法3.2Newton冷却(加热)定律及应用3.3车间空气清洁问题3.4古物年代测定法3.5掷铅球问题3.6森林救火的数学模型3.7肿瘤生长模型3.8放射性废物的处理问题3.9人口增长预测模型3.10经济模型返回3.1微分方程建模原理和方法 一般来说.任何时变问题中随时间发生变化的量与其他一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现.因此.对该类问题可用微分方程模型来描述.先来看这样一个问题:有一容器装有某种浓度的溶液.以流量v1注入该容器浓度为c1的同样溶液.假定溶液立即被搅拌均匀.并以、少:的流量流出混合后的溶液.试建立反映容器内浓度变化的数学模

2、型. 注意到 溶液浓度=溶质质量/溶液体积因此.容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积变化而发生变化.不妨设r时刻容器中溶质质量为s(t).初始值为s0, t时刻容器中溶液体积为V(t).初始值为V0.则在时间段t, t+ t内有下一页返回3.1微分方程建模原理和方法其中c1表示单位时间内注入溶液的浓度.c2表示单位时间内流出溶液的浓度.当t很小时.在t, t+ t内对式(3.1.1)两端同除以t.令0.则有上一页下一页返回3.1微分方程建模原理和方法此即问题的数学模型.它虽是钊对液体溶液变化建立的.但它对气体和固体浓度变化同样适用.实际中.对许多的时变问题都可取微小时间段t去考察某些量与其他一

3、些量之间的变化规律.从而建立问题的数学模型.这是数学建模中微分建模常用手段之一. 通过对上述例子的了解下面介绍几种简单常用微分建模方法. (1)按实验定律或规律建立的微分方程模型. 此法建模充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理.如本章将要介绍的冷却(加热)定律、牛顿运动定律以及放射性物质的衰变规律等建立的微分方程模型.此法建模要求建模者必须有宽阔的知识视野才能对某些具体问题采用某些熟知的实验定律.经过实践检验过的某种规律和已知定理去从事建模工作.上一页下一页返回3.1微分方程建模原理和方法 (2)分析微元变化规律建立的微分方程模型. 求解某些实际问题时.寻求一些微元

4、之间的关系可以建立问题的数学模型.如上述问题中考察时间微元t.从而建立的反映溶液浓度随时间变化的模型(3. 1. 3).此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化.即微元分析.找出其他一些变量与该微元间的关系式.从微分定义出发建立问题的数学模型. (3)近似模拟法. 在许多的实际问题中.有些现象的规律性并非一目了然.或有所了解亦是很复杂的.这类问题常用近似模拟的方法来建立问题的数学模型.上一页下一页返回3.1微分方程建模原理和方法一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象.将问题做某些规范化处理后建立微分方程模型.然后分析.求解再与实际问题做比较.观察模型是否能近似刻实际现象.近似模拟法建模思路是

5、建立能够近似反映或刻实际现象的数学模型.因此在建模过程中.经常做一些较合理的模型假设使问题简化.然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型. 当然数学模型的建立方法不是一成不变的.在实际中要根据具体问题采用不同的建模方法才会使建模过程更简洁.才会有新的创意.这也正是建模的意义之所在.因此.我们在学习过程中要勇于探索.大胆创新.灵活运用建模方法.以提高自己解决实际问题的能力. 上一页返回3.2 Newton冷却(加热)定律及应用实际间题假设夏天在有空调的房间内用温度计测得室内温度为2 0 ,为了了解室外温度.把室内的一支读数为20的温度计放到室外.10min后观察到读数变为25. 2 ,20 m

6、in后再观察读数变为28. 32.请问你能根据温度计的变化推算户外温度吗?是否可以建立一般模型来求出户外温度? 思路与启发通常我们可以从直觉上做出这样的推理:20的温度计.70min后升温25. 2 -20 = 5. 2 .又过10 min后.升温为28. 32-2 5. 2 = 3. 12 .是5. 2的0. 6倍.可以想象以后每隔10 min后的升温是前一个升温的0. 6倍.于是得总升温为下一页返回3.2 Newton冷却(加热)定律及应用5.2(1十0.6十0.62十0.63十)=5.21/(1-0.6) =13()则可以得到户外温度是20十13 =33 . 模型及求解下面我们来看这样的

7、想法是否合理. Newton冷却(加热)定律把温度为T的物体放人处于常温为m的介质中.T的变化速率正比于物体温度T与周围介质温度m的差. 定律的表达形式有连续型和离散型两种.分别如下:上一页下一页返回3.2 Newton冷却(加热)定律及应用其中.k为比例系数. 对上述问题利用冷却(加热)定律由式(3.2.2)得 2 5.2-20= k(20-m) 28.32-25.2=k(25.2-m) (3 .2.3)解式(3.2.3)易得m=33 即户外温度为3 3 .由此可见.我们的直觉推理与Newton冷却(加热)定律相吻合.事实上.Newton冷却(加热)定律是我们直觉想象思想的理论化和一般化.同

8、理由式(3. 2. 1)和已知数据亦可得到户外温度为33. 模型应用推广需要注意的是Newton冷却(加热)定律实际是一种实验定律.在一定范围内是正确的.上一页下一页返回3.2 Newton冷却(加热)定律及应用但在实际生活中.该定律具有较广泛的应用.例如当我们把冰柜中的冻肉拿出来化冻做菜时.可以把室温认为不变.根据做若干次温度测试得的估算值.就可以计算大约有多长时间能使冻肉化冻为可用的温度.同样夏天我们会把饮料放到冰箱中去降温.要多长时间才能使饮料降到我们满意的温度呢?甚至在公安刑侦人员侦破谋杀案件时.往往需要很快估算被害者死亡时间.从而可以缩小对作案者的调查范围.作为Newton冷却(加热

9、)定律的一个应用.上一页返回3.3车间空气清洁问题 设车间体积为v立方米.其中有一台机器每分钟能产生r立方米的二氧化碳(CO2).为清洁车间里的空气.降低空气中CO2的含量.用一台风量为k立方米/分钟的鼓风机通入含CO2为m%的新鲜空气来降低车间空气的CO2含量.假定通入的新鲜空气能与原空气迅速均匀混合.并以相同的风量排出车间.又设鼓风机开始工作时车间空气中含x0%的CO2.问经过r时刻后.车间空气中CO2的百分含量为多少?最多能把车间空气中CO2的百分比降到多少? 设t时刻(单位为分钟)车间每立方米空气中含CO2的百分比为x(t) %.考察时间段t, t+ t.并利用质量守恒定律:t, t+

10、 t内车间空气含CO2量的“增量”等于该时间内进入的新鲜空气中含CO2的量加上机器产生的CO2的量减去排出空气中CO2的量. 下一页返回3.3车间空气清洁问题用数学模型来表示则为于是令t0.则有 其中.A=(km+r)/ V.月B= k/ V该问题的求解可用积分因子法.对式(3.3.2)两边同乘以eBt.可得:从0到t积分.并利用初始条件x(0) =x0.于是得式(3. 3. 2)的解为上一页下一页返回3.3车间空气清洁问题该解就是所求r时刻空气中含CO2的百分比,一般情况.xo0).则式(3.3.4)表明随着时间无限延长.鼓风机最大可能将车间空气中CO2含量降到(km+ r)/ k%.上一页

11、返回3.4古物年代测定法 利用放射性元索C14可以测定部分考古文物的年代.这是W. Libby发明的C14年龄测定法.该方法测定精度很高.3. 4. 1模型机理 地球周围的大气层不断受到宁宙射线的轰击.宁宙射线使大气层产生中子.这些中子同氮发生作用产生C14.由于C14会发生放射性蜕变.故常称为放射性碳.放射性碳在大气中又结合成CO2 . CO2在大气中运动而被植物吸收.动物吃了植物随之把Cl带人动物机体组织中.在活的机体组织中摄取C14的速率与C14的蜕变速率相互平衡.然而且机体组织死亡后.则停止摄取C1.因此.C14的浓度会随C14的蜕变而减少.下一页返回3.4古物年代测定法3. 4. 2

12、基本物理假设 地球周围的大气被宁宙射线轰击速率始终恒定不变.该假设可使我们确定木炭样品的年龄.即利用木炭初始的蜕变速率等于现在对新鲜木炭测出来的蜕变速率来确定木炭样品的年龄.3. 4. 3建立模型 设N(t)表t时刻样品中存在的C14数量.N (t0)表T样品形成时刻所含C14的数量,表示C14的衰变常数.则有上一页下一页返回3.4古物年代测定法由此可以确定入=ln 2 /T 如果能测出样品目前C14的蜕变率R (t);并注意R (t0)等于新鲜木炭中C14的蜕变率.我们就能够测定木炭样品的年龄. 例如.1950年在巴比伦挖掘出一根刻有Hammurabi字样的木炭.经测定.样品中C14的衰减数

13、是每克每分钟2. 09个.而新砍伐烧成的木炭中C14的衰减数为每克每分钟6. 68个.已知C14的半衰期为T=5 568年.由此推断刻有Hammurabi字样的木炭的年龄.上一页返回3.5掷铅球问题 实际间题掷铅球问题是一个力学问题.它的历史背景为:运动员推铅球.一般是按铅球有效投掷距离的远近来计算成绩的.如何将铅球推得更远.这是运动员所关心的.也是体育教练所关心的.生活经验告诉我们.在掷铅球的过程中.投射角和初速度是两个重要因索.那么.在运动员的训练过程中.教练员应该如何指导运动员尽快提高成绩呢? 思想和启发该问题所涉及的背景知识和条件归纳起来有以下生点: (1)运动员的活动区域是直径为2.

14、 135 m的圆面.所谓有效投掷是指运动员在活动区域内.单手推出铅球.铅球落在合法区域之中; 下一页返回3.5掷铅球问题(2)为了加快推出时的速度.人体需要在圆面内转体; (3)铅球投射的投射角与初速度是否有关? (生)铅球在运动过程中.受到空气阻力如何? 模型假设为了使建模方便.钊对上述生点.我们可忽略一些次要因索.作如下几点假设: (1)铅球投射的投射角与投射初速度无关; (2)运动员的转体对铅球远近影响可以忽略; (3)铅球在运行过程中.空气阻力忽略不计. 模型建立及求解若令铅球投射角为0.投射初速度为v0.运动员的手离地面高度为h.铅球离手的时间为r.则整个投掷过程可用如下模型来描述上

15、一页下一页返回3.5掷铅球问题其中.x.y分别表示水平距离和垂直高度.g为重力加速度. 式(3.5.1)中消去时间1.可得若令y=0.则可得到水平距离x与投射角0及初速度v0之间的关系式.即 模型分析 下面我们来分析投掷效果如果取h=1. 8 m, g=9 .8m /s,投射初速度v0=11. 5 m/s.投射角0在38-25范围内变化.则由式(3. 53)可得到一组数据.见表3.2.上一页下一页返回3.5掷铅球问题 若取投射角0=41. 6.使初速度在11-12 m /s范围内变化.同样可得一组数据.见表3.3. 从这组数据我们会发现当投射角确定时.投射初速度发生很小一点变化(增加1 m/

16、s).可导致投掷距离发生较大的变化(2. 363 m).约增加16.8%. 综合上述分析.教练员在训练过程中.要提高运动员的投掷距离.应集中精力增加运动员的投掷初速度. 掷铅球问题建立模型的基础实质是牛顿运动定律.通过对运行中铅球的受力分析.进而刻了整个运动过程.通常状况下.反映物体机械运动状况.往往以牛顿运动定律为出发点.结合运动和受力情况口1建立刻问题的数学模型.上一页返回3.6森林救火的数学模型 实际间题火灾是无情的.森林作为人类赖以生存环境的一部分.经常会受到火灾的威胁且森林出现火情.往往会造成极大的损失.因此在火灾发生时如何能及时扑灭成为人们所关心的问题.也就是说如何派遣消防队员前去

17、救火能使森林损失和救援费用之和(称之为总费用)最小成为至关重要的问题. 思想和启发损失费通常正比于森林烧毁的面积.而烧毁面积与失火、灭火(指火被扑灭)的时间有关.灭火时间又取决于消防队员数目.队员越多灭火越快.救援费除与消防队员有关外.也与灭火时间长短有关.记失火时刻为t=0.开始救火时刻为t=to.灭火时刻为t=t1设在时刻l森林烧毁面积为S(t),则造成损失的森林烧毁面积为S(t1).建模要对函数S(t)的形式做出合理的简单假设.下一页返回3.6森林救火的数学模型研究dS/ dt比S(t)更为直接和方便，dS/ dt是单位时间烧毁面积，表示火势蔓延的程度，在消防队员到达之前，即0tt0,火

18、势越来越大，即dS/ dt随t的增加而增加;开始救火以后.即t0tt1.如果消防队员救火能力足够强.火势会越来小，即dS/ dt应减小，并且当t=t1时，dS/ dt=0. 救援费可分为两部分;一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金等.与队员人数及灭火所用的时间有关.另一部分是运送队员和器材等一次性支出.只与队员人数有关. 模型假设需要对烧毁森林面积的损失费、救援费及火势蔓延程度dS/ dt的形式做出假设. (1)损失费与森林烧毁面积S (t1)成正比.比例系数c1.c1即烧毁单位面积损失费.上一页下一页返回3.6森林救火的数学模型 (2)从失火到开始救火这段时间(0tt0)火势蔓延速度降为a

19、-xx.其中入为每个队员的平均灭火速度.显然应有axx. (1)派出每个消防队员单位时间的费用(薪金、装备费等)为c2于是每个队员的救火费用是c2( t1- t0);每个队员的一次性开支为、. 第二条假设可做如下解释:火势以失火点为中心.以均匀速度向四周呈圆形蔓延.所以蔓延的半径r与时间t成正比.又因为烧毁面积S与r2成正比.故S与r2成正比从而dS/ dt与t成正比模型建立及求解由假设总费用 C(x)=c1 S(t1)+ c2x (t1- t0)+ c3 x (3.6.1)上一页下一页返回3.6森林救火的数学模型根据假设条件(1),(4)森林损失费为c1S (t1).救援费为c2( t1 -

20、t0)+c3 x将式(3. 6. 2 )、式(3. 6. 3)代入式(3. 6. 1)则有上一页下一页返回3.6森林救火的数学模型问题归结为求x使C(x)达到最小.令C(x) =0，可求得使总费用最小时的消防队员人数 而由式(3. 6. 2)则有:limC(x)=0.事实上.这和实际情况不符合.当消防人员减少时.扑灭火的时间实际应该越长.因而由火灾所造成的损失费用也应该越多.而上述模型末能反映这些实际情况.故尚需做进一步的改进. 再建数学模型为了得到新的模型.我们假设火势是从某中心开始沿着着火区域的半径厂以匀速呈辐射状向外蔓延.则整个着火区域呈环形向外蔓延.故当0t t0时dr/ dt= a再

21、假设每个消防队员以常速;阻止火的蔓延。当t0 t t1时.有dr/ dt=a- xx (t- t0) (3 .6.5)上一页下一页返回3.6森林救火的数学模型上一页下一页返回3.6森林救火的数学模型 由式(3. 6. 6)及式(3. 6. 9)则有:lim t1 =t0 , limt1 = limC (x)= , limC (x)= .此生种极限式说明.当派遣消防队员人数无限增多时.火很快会被扑灭.但对每个消防队员的支付费用之和仍是很大的;当消防队员人数很少时.虽支付给消防队员的费用较小.但烧毁大面积森林.同样会造成不可估量的损失.由此.模型与实际基本吻合.式(3. 6. 10)是一个三次多项

22、式.可利用多项式的求根公式求得其解.从而可得出应派消防队员的最佳人数.进而也可求出火被扑灭后的总体损失费用.上一页下一页返回3.6森林救火的数学模型 模型检验当然模型(3.6.9)在建立过程中没有考虑风的影响.即模型(3.6.9)是在无风的情况下建立的.在有风情况下.只要注意到:此时火势是呈扇形向外蔓延.而救火的方法则可以是在火势的前方打一通道.使火势蔓延到此为止.从而可达到灭火的目的.一般来说只要选择合适的通道位置.使其满足通道打好的时间正是火势蔓延到的时间.这样也可得到与式(3. 6.助类似的目标函数.最终化为式(3. 6. 10)的形式求得最优解.这样在有风和无风情况下救火方式可以化为同

23、样的数学处理方法.上一页返回3.7肿瘤生长模型 实际间题肿瘤是危害人类健康的严重疾病之一.目前已发现的癌症共有200多种之多它们的成因与发展规律都各不相同.据统计.我国每年新患癌症人数大约有160万.每年因患癌症而死亡的人数达到130多万.约占死亡人数总量的1/5.在0-62岁的人口中.每死亡5人.其中即有一人死于癌症.在城市人口中.癌症已占死亡原因的首位. 思想和启发为了对付癌症.人们采用各种途径对其开展研究.其中也包括利用建立数学模型的方法来研究.肿瘤模型首先要描述的是肿瘤大小随时间而增长的函数关系.该函数关系应当满足以下要求: (1)对肿瘤增长速度的预测应具有一定的精度或与实验数据有较好

24、的拟合. (2)适用范围广.肿瘤虽有不同的类型.且不同类型的肿瘤发展速度可有很大的区别.下一页返回3.7肿瘤生长模型即使是同一类型的肿瘤.不同个体也可有较大的差异.但模型在应用于某类肿瘤时.应能较好地反映出此类肿瘤的平均发展情况. (3)参数应当尽可能少.且参数易于测得. 随着人们肿瘤生长研究的逐步深入.相关的数学模型也越来越多.然而.总的来讲.对肿瘤生长模型的研究目前还只能说是尚处于初等阶段.还有很多不尽如人意之处有待于进一步改进.本节介绍的只是其中少数几个模型.介绍它们的目的是展不一下人们是怎样运用数学知识来和疾病作斗争的.模型虽然初等.但研究结果对临床应用已经有了一定的参考价值. 模型1

25、(指数模型) 模型假设设肿瘤体积变化率与肿瘤当前的体积成正比.上一页下一页返回3.7肿瘤生长模型 模型建立及求解设肿瘤体积为V(t).自然增长率为常数入.从时刻t0开始观察.记V(t0)=V0.则有解微分方程(3.7.1)可得 此即肿瘤生长的指数式数学模型.即Malthu、模型.根据Malthu、模型的特征.肿瘤体积增大一倍所需的时间是一个常数K.K是肿瘤生长的一个重要参数.该模型只适于描述肿瘤旱期的生长过程.随着时间的增大.即当t,V(t).实际上这是不可能的.因为当V (t)足够大时.人体就会被破坏致死.上一页下一页返回3.7肿瘤生长模型 模型医学上的应用对研究肿瘤生长具有较大意义的是肿瘤

26、体积V(t)倍增时间E.如果测得某一肿瘤具有恒定不变的倍增时间E.将t=E.代入式(3. 7. 2 ).并令t0=0.即有临床上常用式(3. 7. 4 )推算肿瘤大小. E是一个重要参数.它的临床意义可概述如下: (l有助于分析肿瘤的性质和类型.如Nathan等人收集的177例原发性(或继发性)肺部恶性肿瘤.发现E 7天.465天.如果E465.则可能为良性肿瘤. (2)有助于分析预备.对可做手术的原发性肺癌. F.越长肿瘤存活时间也越长.上一页下一页返回3.7肿瘤生长模型 (3)引出肿瘤旱期诊断的概念. 所谓旱期诊断就是要在无症状的临床前期内尽旱诊断出来. 这里.暂且不管上述结论是否正确.但

27、可以看出.医学工作者已经开始试图将肿瘤增倍时间作为一个参数用于肿瘤的诊断和治疗.随着人们对肿瘤认识的不断加深.通过这种努力.也许真的有一天.人们会获得成功.从大堆的数据中破译出有助于攻克癌症的有用信息来. 例3. 3(及早发现及早治疗的重要性) 一个癌细胞的直径约为10 um重约0. 001ug.按指数增长模型恶性肿瘤由初始形成到临床上可检测出的直径1cm肿块约需经过30次倍增.而从直径1 cm到置人于死命的1 kg重的癌症肿块.体积约增大1 000倍.上一页下一页返回3.7肿瘤生长模型只需经10次倍增.这说明.癌症在发现前的平均增长期约为发现后的平均存活期的3倍.故及旱发现及旱治疗在癌症诊治

28、中起着至关重要的作用. 由于剂量过大.则毒性太大.病人身体将难以承受.故在实际进行放疗时总会分成若干个疗程.在两个疗程之间则会留下一个恢复期.让病人的免疫功能得以恢复.放疗的实际治疗效果与病人体内原有的肿瘤细胞数、每次治疗时的剂量(即几个对数杀灭)、两次放疗间的间隔时间以及肿瘤本身的生长速度都有关系.对每一个病人究竞应采用怎样的治疗方法才能达到最好的治疗效果.虽不是什么重要的理论研究课题.却是一个如何在最大程度上达到救死扶伤目的的应用型课题.相信任何一个病人都不会认为这是无所谓的事情.从基于对数模型的例3. 3和例3.生可以看出:上一页下一页返回3.7肿瘤生长模型 (1)癌症的医治必须坚持及旱

29、发现及旱治疗的原则.旱期癌细胞少.用放疗将体内癌细胞降到10个以下较易办到.对身体的伤害也较小(因为使用放疗的总剂量较小). (2)在病人可以承受的前提下.每一疗程的用药量应尽可能大(用较大的对数杀灭). (3)每次的剂量确定以后.两次放疗间的间隔时间应精确计算(间隔期间中免疫能力得以恢复.但肿瘤也将恢复增长).在病人可承受的前提下.间隔时间应尽量短些.尤其对倍增时间较短的肿瘤更应如此. (4)放疗结束后.病人体内一般仍残存有一定数量的癌细胞(并非所有病人都明白这一点).虽然病人自身的免疫功能有可能杀灭残存的癌细胞.但残存的癌细胞也有恢复增长的可能.上一页下一页返回3.7肿瘤生长模型病人切不可

30、认为已经得到了根治.可以万事大吉了.还应当定期进行检查.观察体内肿瘤究竞在向哪一方向发展.千万不可麻痹大意. 模型2 ( Gompertz数学模型) 指数式模型比较适合于描述肿瘤旱期生长情况.然而当t, V(t).这是不切合实际的.事实上.随着时间r的增长.V(t)的自然变化率入必然会减少.口1假设入是t的函数.记为(t).并设(t)的变化率与(t)成正比.即有上一页下一页返回3.7肿瘤生长模型上一页下一页返回3.7肿瘤生长模型 模型3(肿瘤增长的Logistic模型) 由于人体能供给肿瘤生长的营养是有限的.因此.肿瘤在自然生长过程中.会受到自身的环境阻力.由此我们可以用如下的Logistic

31、模型来描述肿瘤生长过程:解式(3. 7.9).可得上一页下一页返回3.7肿瘤生长模型模型4 ( Bertalanffy模型)1960年Bertalanffy在以下假设下建立了另一模型模型假设(1)肿瘤生长率=合成代谢率-分解代谢率;(2)肿瘤近似于球体.合成代谢率与V (t) 2/3下成正比;(3)总的体积消耗率(即分解代谢率的表征)与V(t)成正比由假设(1)-(3).则有将式(3. 7. 12)代入式(3. 7. 11)得 du/ dt +b/3u= a/3 (3. 7. 13)解式(3. 7. 13)易得上一页下一页返回3.7肿瘤生长模型上一页下一页返回3.7肿瘤生长模型 以上介绍的只是

32、最简单的几个肿瘤模型.事实上.肿瘤生长的机理极为复杂.例如.由于营养供应不足.当肿瘤体积达到一定程度时.其核心部位会发生坏死现象.此外.许多现象我们还无法解释或尚末发现.随着医学研究的日益深入.新的肿瘤模型将会不断诞生.有些模型甚至会在数学上无法求解.这也为数学本身提供了新的研究课题.人们对肿瘤的认识是与日俱增的.我们完全有理由相信.旱晚有一天.人们会找到控制癌症增长的办法.并最终攻克难关.想出治愈癌症的良策.到那时.癌症将不再是不治之症.而人们也就不必再“谈癌色变了”.上一页返回3. 8放射性废物的处理问题实际间题环境污染是人类面临的一大公害.放射性污染对人类生命安全和地球上生物的生存有严重

33、的威胁.所以特别为人们所关注.和平利用原子能.为人类造福不浅.但是核废物处置不好.又将对人类是一大危.玲.核废物如何处置为好.必须进行科学论证. 曾经有一段时间.美国原子能委员会为了处理浓缩的放射性废物.他们把废物装人密封的圆桶.然后扔到水深为91.5m的海里.一些生态学家和科学家为此表示担心.圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染?美国原子能委员会向他们保证:“圆桶绝不会破裂”.并做了许多种试验证明他们的说法是正确的.然而又有几位工程师提出了这样的问题:圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而发生破裂?美国原子委员会仍保证说:“决不会”.下一页返回3. 8放射性废物的处理问题这几个工程师进行

34、了大量的实验以后发现:当圆桶的速度超过12. 2 m/s.就会因碰撞而破裂. 思想和启发究竞谁的意见正确呢?看来只好让事实说话了.问题的关键在于圆桶到底能承受多大速度的碰撞.圆桶和海底碰撞时的速度到底有多大?即圆桶同海底碰撞时的速度.是否会超过12. 2 m/s? 建立模型如图3. 1选取坐标系.记W表示圆桶重量.使圆桶向下.W=239.46 N, W=mg, m表T质量g表重力加速度.g=9. 8 m/s2. B表示水作用在圆桶上的浮力.推圆桶向上.原子能委员会使用的是250. 25 I的圆桶.体积为0. 2 0 8 m3 , 1 m海水的重量为1 026. 52 N,所以B=1 026.

35、52 x 0.208=213. 5 N.上一页下一页返回3. 8放射性废物的处理问题 B表示水作用在圆桶上的阻力.它阻碍圆桶在水中的运动.与物体运动方向相反.通常与速度、少成正比.即D=cv ,c0为常数通过大量实验得出结论:圆桶方位对于阻力影响甚小.可以忽略不计.且c=0. 119 kg/ s.则作用在圆桶上的力为F=W - B- cv由牛顿第二定律:物体的加速度同作用在它上面的合力F成正比.即求解与分析 这是二阶常微分方程.作代换上一页下一页返回3. 8放射性废物的处理问题由式(3.8.3)知圆桶的速度为时间t的函数.要确定圆桶同海底的碰撞速度.就必须算出圆桶碰到海底所需的时间t,遗憾的是

36、.不可能作为y的显函数求出t.所以不能用方程(3. 8. 3)来求圆桶同海底的碰撞速度.上一页下一页返回3. 8放射性废物的处理问题 模型检验这一模型科学地论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的.从而改变了美国政府过去的错误做法.现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里.改为在一些废弃的煤矿中修建放置核废料的深井.这一模型为全世界其他国家处理核废料提供了经验教训.我国政府决定在甘肃、广西等地修建3个深井放置核废料.防止放射性污染.上一页返回3. 9人口增长预测模型实际间题人类社会进入20世纪以来.在科学技术和生产力飞速发展的同时.世界人口也以空前的规模增长.统计

37、数据见表3.4.由表3.4可知.世界人口每增加10亿的时间由100年缩短为十二三年.人类赖以生存的地球已经携带着它的60亿子民进入了21世纪. 长期以来.人类的繁殖一直在自发地进行着.只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化.人们才猛然醒悟.开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律.以及如何进行人口控制等问题. 认识人口数量的变化规律.建立人口模型.做出较准确的预报.是有效控制人口增长的前提.长期以来人们在这方面做了不少工作.下面介绍两个最基本的人口模型.并利用表3.5给出的近两个世纪的美国人口统计数据.对模型做检验.下一页返回3. 9人口增长预测模型模型1人口指数增长模型(马尔萨斯

38、人口模型)最简单的人口增长模型是:记今年人口为x0.k年后人口为xk.年增长率为r.则xk= x0(1十r)k ,k=1 ,2,.(3 .9.1)显然.这个公式的基本假设条件是年增长率厂保持不变. 思想和启发二百多年前英国人口学家马尔萨斯(Malthus, 1766-1832)调查了英国一百多年的人口统计资料.得出了人口增长率不变的假设.并据此建立了著名的人口指数增长模型. 模型建立及求解记时刻t的人口为x(t).当考察一个国家或一个较大地区的人口时.x(t)是一个很大的整数.为了利用微积分这一数学工具.将x(t)视为连续,微函数.记初始时刻(t=0)的人口为x0.假设人口增长率为常数r.即单

39、位时间内x(t)的增量等于r乘以x(t).考虑t到t十t时间内人口的增量.显然有上一页下一页返回3. 9人口增长预测模型x( t 十t) -x(t) = rx (t)t令t-0取极限.得到x(t)满足的微分方程dx/ dt=rx, x(0)=x0 (3 .9.2)由方程(3. 9. 2)很容易解出x(t)= x0 e (3 .9.3)当r0时.式(3. 9. 3)表示人口将按指数规律随时间无限增长.因此.式3. 9. 3)称为人口指数增长模型.也称为马尔萨斯人口模型. 由微分学的理论知.当/r/0.s0) (3 .9.8)上一页下一页返回3. 9人口增长预测模型这里r称为固有增长率.表示人口很

40、少时(理论上是x=0)的增长率.为了确定系数s的意义.引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm.称为人口容量.当x=xm时人口不再增长.即增长率r (xm)=0.代入式(3. 9. 8)得s=r/ xm .于是式(3. 9. 8)化为r(x)=r (1- x/ xm) (3 .9.9)式(3.9.9)的另一种解释是:增长率r(x)与人口尚末实现部分的比例(xm- x)/xm成正比.比例系数为固有增长率r. 将式(3.9.9)代入方程(3. 9. 7 )得dx/ dt=rx (1-x/ xm), x(0) =x0 (3.9.10)上一页下一页返回3. 9人口增长预测模型方程(3. 9.

41、10)右端因子rx体现人自身的，曾长趋势因子(1-x/ xm)则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用.显然二越大.前一因子越大.后一因子越小.人口增长是两个因子共同作用的结果.方程(3. 9. 10)称为人口阻滞增长模型也称为Logistic模型. 用分离变量法解方程(3.9.10)得方程(3.9.10)和模型(3. 9. 11)的图形见图3. 2和图3. 3.图3. 3是一条S形曲线一的增加是先快后慢当t时xxm 拐点在x= xm /2处 模型检验下面我们应用人口阻滞增长模型(3.9.11)对美国人口的增长进行预测.上一页下一页返回3. 9人口增长预测模型 由于模型(3.9.11)不能线性化

42、.因此不能运用线性回归分析理论进行参数估计.所以不采用式(3. 9.11).而是将方程(3. 9. 10)表为dx/ xdt= r- sx, s=r/xm (3 .9.12)令y=dx / x dt则式(3.9.12)线性化为y=r -sx (3 .9.13)由表3. 5可以直接得到二的数据.而y的数据口1根据表3. 5中数据运用数值微分的方法算出.在此基础上.应用线性回归分析的理论即可估计出模型(3. 9. 7 3)中参数r和xm.而模型(3. 9. 7 3)中参数r和xm的估计值.也是模型(3.9.11)中参数r和xm的估计值. 运用上述方法.并且仅利用表3. 5中1860年至1990年的数据.建立了对美国人口的增长进行预测的数学模型.即上一页下一页返回3. 9人口增长预测模型其中.x的单位为百万人.t的单位为10年.结果见表3. 7 由表3. 7可见.用预测模型(3.9.1生)对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算.除了19世纪中叶到20世纪中叶的拟合效果不很好外.其余部分拟合