矩阵理论-第四讲最小多项式的定义和应用

1、上节内容回顾化方阵A为Jordan标准形特征向量法初等变换法多项式矩阵（ 矩阵）多项式矩阵的Smith标准型不变因子、初等因子行列式因子法 的相似变换矩阵P的求法在A的Jordan矩阵中构造k个以 为对角元素的Jordan块k个Jordan块的阶数之和等于1Hamilton-Cayley定理任一方阵都是它的特征多项式的根Hamilton-Cayley定理设 ， ，则证明：由于显然运算结果是一个多项式运算结果是一个数运算结果是一个矩阵运算结果是一个零矩阵2Hamilton-Cayley定理任一方阵都是它的特征多项式的根证明：考察J：3Hamilton-Cayley定理将J写成如下形式：上式中 是

2、A 的n个根，所以将矩阵A代入上式，形成一个矩阵多项式，：将 代入上式：4Hamilton-Cayley定理5Hamilton-Cayley定理6Hamilton-Cayley定理7Hamilton-Cayley定理任一方阵都是它的特征多项式的根证明：仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义，定义多项式矩阵的伴随矩阵：设其中： 是 的行列式的第i行第j列元素的代数余子式，那么与常数矩阵类似：8Hamilton-Cayley定理设 是矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵，那么 是次数为n的多项式：再考察 ，其每个元素的次数均不超过n 1:9Hamilton-Cayley定理令:利用矩阵加法的定义 将 分解10Hami

3、lton-Cayley定理考察等式 的右边：考察其左边：比较两边的系数：11Hamilton-Cayley定理以 依次右乘这些等式：+=12Hamilton-Cayley定理的应用化简矩阵多项式的计算：当n阶方阵的矩阵多项式 中A的最高次幂超过n时，可用多项式的带余除法，将此矩阵多项式对应的多项式 表示为 与商 的积，再加上余式 的形式：那么根据Hamilton-Cayley定理这样可简化 的计算多项式的带余除法设 ， 为任意多项式， 不恒等于0，则必有两个多项式 和 ，使得式中 或 13Hamilton-Cayley定理的应用举例：给出：求 ； ； ； 14Hamilton-Cayley定理

4、的应用商： 15Hamilton-Cayley定理的应用所以：第2个问题第3个问题：待定系数法16方阵的零化多项式和最小多项式方阵的零化多项式设 ， 是多项式，如果 成立，则称 为方阵A的零化多项式 是A的零化多项式 不恒等于零， 是A的零化多项式方阵的最小多项式设 ，在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式，记为设 ， 且 ， 成立，且 是唯一的 证明：采用反证法设 是A的任一零化多项式，假设 不能整除 ，则根据多项式的带余除法：17方阵的零化多项式和最小多项式而 是A的最小多项式：与假设矛盾再证最小多项式的唯一性假设 也是A的最小多项式首先， 、 均成立其次， 与 次数相

5、同，否则其中一个不是最小多项式因此， 、 的商为常数因子又因为 与 都是首一的，此常数因子必等于1所以18方阵的零化多项式和最小多项式定理矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根；A的最小多项式的根必定是A的特征根证明：根据矩阵多项式的特征值的定理，即设 是 的特征值 ，矩阵多项式 的特征值为并且，若 则A的任一特征值满足 是A的次数最低的、首一的零化多项式： 即：A的特征根也必定是A的最小多项式的根 又：设 是 的根，即 ，可得 是A的特征根19方阵的零化多项式和最小多项式矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根，由此可得到求最小多项式的一个方法：设 的所有不同的特征值为 ，则其特征多项式可

6、写为：那么A的最小多项式应该具有如下形式：这就是下述定理所描述的内容：定理设 ， 是A的所有互不相同的特征值，则其中 是A的Jordan标准形中含 的Jordan块的最高阶数20方阵的零化多项式和最小多项式可能相同21方阵的零化多项式和最小多项式定理设 ， 是A的特征矩阵 的n 1阶行列式因子，则A的最小多项式为：22方阵的零化多项式和最小多项式举例：求的最小多项式方法1最小多项式只能有以下形式次数从低到高依次验证所以23方阵的零化多项式和最小多项式举例：求的最小多项式方法2 (Jordan标准形法) ：A的Jordan标准形中含 的Jordan块的最高阶数24方阵的零化多项式和最小多项式举例

7、：求的最小多项式方法1 (第n阶不变因子)25方阵的零化多项式和最小多项式举例：求的最小多项式方法2 (Jordan标准形法)：A的Jordan标准形中含 的Jordan块的最高阶数26多项式矩阵的逆多项式矩阵的逆设 ，若 ，使得 成立则称 是可逆的，或称 是单模矩阵多项式矩阵的逆是唯一的设 也是 的逆，则多项式矩阵可逆的充要条件 可逆证明：必要性假设 可逆，则 ， 成立27多项式矩阵的逆 充分性设 ，则 使得其中， 是 的伴随多项式矩阵28初等矩阵及多项式矩阵的等价结论： 对多项式方阵，满秩未必可逆初等多项式矩阵都是可逆的初等多项式矩阵都是单模的 初等阵，使得29多项式矩阵的等价 与 有相同

8、的行列式因子，或相同的不变因子证明：必要性多项式矩阵的Smith标准形的唯一性 与 有相同的不变因子多项式矩阵的行列式因子和不变因子之间的关系 与 有相同的行列式因子30多项式矩阵的等价 充分性设 与 有相同的不变因子（因而有相同的行列式因子），则它们与同一个Smith标准形等价，即矩阵的相似与其特征矩阵的等价之间的关系定理相似矩阵有相同的最小多项式证明：多项式矩阵等价的传递性31多项式矩阵的互质性简介右公因子(Right Common Factor)：设 与 ，如果存在多项式矩阵 、 以及 ，使得 及 成立则称多项式矩阵 是 与 的右公因子左公因子(Left Common Factor)设

9、与 ，如果存在多项式矩阵 、 以及 ，使得 及 成立则称多项式矩阵 是 与 的左公因子最大右公因子(greatest common right decomposition factor, gcrd ?) 是 与 的右公因子； 与 的任一其它的右公因子 都是 的右乘因子通过转置关系：研究其中之一即可32多项式矩阵的互质性简介gcrd的存在性 及 ，其gcrd都存在。gcrd的构造定理若存在单模矩阵 ，使得则 即为 与 的一个gcrd证明：先证 是右公因子。为此，把 的逆矩阵 写成分块矩阵：nnmgcrd33多项式矩阵的互质性简介以 左乘定理中的等式两边，可得比较等式里边分块矩阵中的每一个分块，可

10、知 是 与 的右公因子再证 是gcrd，即若 为 与 的另一右公因子，证明 是 的右乘因子，将代入 34多项式矩阵的互质性简介可得gcrd的求法若对分块多项式矩阵进行一系列初等行变换，使其下面的m n分块成为零多项式块则就是求 与 的gcrd的变换矩阵， 就是所求的gcrdnnm35多项式矩阵的互质性简介求gcrd举例给出求36多项式矩阵的互质性简介求gcrd举例12237多项式矩阵的互质性简介gcrd的基本性质不唯一性。 单模矩阵 满秩 满秩 单模 单模 若 ，则38多项式矩阵的互质性简介gcrd的基本性质 对 及 ，若则 可表示为事实上，由gcrd的构造定理取 ， 即可39多项式矩阵的互质

11、性简介多项式矩阵的互质称 与 是右互质的，若 为单模矩阵多项式矩阵的互质的Bezout判别准则 与 右互质 使Bezout等式 成立证明：必要性 与 右互质 为单模矩阵，以其逆 左乘构造定理中的上分块矩阵等式可得40多项式矩阵的互质性简介令则充分性得证充分性设Bezout等式成立：给定一个则 及 ，使得 成立代入Bezout等式从而 是单模矩阵 与 右互质 41多项式矩阵的互质性简介多项式矩阵的互质的Smith标准形判别准则 与 右互质 分块多项式矩阵的Smith标准形为即： 证明：必要性 42多项式矩阵的互质性简介由gcrd构造定理有： (1)其中， 是单模矩阵若 与 右互质 是单模矩阵设

12、的逆为 ，以其右乘(1)式由于等价的多项式矩阵具有相同的Smith标准形必要性得证Smith标准形43多项式矩阵的互质性简介充分性 若成立 与 （均为单模阵），使得成立，设 的逆为 ，以其右乘上式，可得由构造定理， ，且单模 与 右互质Smith标准形44多项式矩阵既约性简介多项式矩阵的行次数和列次数 对多项式矩阵 ，定义分别为 的第i行次数和 的第j列次数，分别记为：举例:45多项式矩阵既约性简介多项式矩阵的列次表示式 多项式矩阵 可用其列次数表示为列次表示式其中， 是一对角阵； ：列次系数矩阵，其第j列为 的第j列中相应 于 项的系数组成的列 ； ：低次剩余多项式矩阵，且46多项式矩阵既约

13、性简介多项式矩阵的行次表示式 多项式矩阵 可用其行次数表示为行次表示式其中， 是一对角阵； ：行次系数矩阵，其第i行为 的第i行中相应 于 项的系数组成的行 ； ：低次剩余多项式矩阵，且 47多项式矩阵既约性简介多项式方阵的行列式与其列次的关系 多项式方阵 的行列式可表示为如下形式多项式方阵的行列式与其行次的关系 多项式方阵 的行列式可表示为如下形式多项式方阵的行次和与列次和的关系 多项式方阵的行次和等于列次和48多项式矩阵既约性简介多项式矩阵的既约性 列既约设 ，若则称 是列既约的行既约设 ，若则称 是行既约的49多项式矩阵既约性简介举例 是列既约的，但不是行既约的50多项式矩阵既约性简介定理 对 ，则 是列既约的 是行既约的 证明：先证第一项由于故当且仅当 时（即 满秩），有根据列既约的定义， 为