自动控制原理

1、主讲: 黄 元 亮EMAIL: 自动控制原理 Theories of Automatic Control 第一章 自动控制的基本概念参考教材:1.自动控制原理 王建辉 清华大学出版社2. 自动控制原理 庞国仲 中国科技大学出版社3.自动控制原理 吴 麒 清华大学出版社第一章 自动控制的基本概念本课程与其它课程的关系第一章 自动控制的基本概念自动化的发展历史公元132年张衡研制的候风地动仪第一章 自动控制的基本概念1788年英国Watt发明的控制蒸汽机速度的离心式调速器 第一章 自动控制的基本概念1952年美国MIT研制出第一台数控机床月球车第一章 自动控制的基本概念经典控制理论 以传递函数为基

2、础研究单输入-单输出一类定常控制系统的分析与设计问题。这些理论由于其发展较早，现已臻成熟。现代控制 以状态空间法为基础，研究多输入-多输出、时变、非线性一类控制系统的分析与设计问题。系统具有高精度和高效能的特点。经典控制理论现代控制理论智能控制理论 智能控制 从“仿人”的概念出发。一般方法学习控制、模糊控制、神经元网络控制、专家控制等方法。 第一章 自动控制的基本概念一、自动控制技术及应用1、自动控制的定义：所谓自动控制，是指在没有人的直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称控制装置或控制器），使机器、设备或生产过程（统称被控制对象）的某个工作状态或参数（即被控制量）自动地按照预定的规律运行

3、。第一章 自动控制的基本概念2. 自动控制系统 是指实现上述控制目的，由相互制约的各部分按一定 规律组成的具有特定功能的整体。 例：交通控制、水位控制、 经济控制、人体控制自动化的核心是“控制” 自动化技术的两个方面： 人手（脚）的延伸动力方面的自动化技术：工业化 人脑的延伸信息处理方面的自动化技术: 信息化第一章 自动控制的基本概念一、开环系统与闭环系统被控制对象：炉子被控制量（输出量）： 炉温控制装置：调压器和电热丝，对 被控制量起控制作用。开环控制基本控制方式Uc电压变大第一章 自动控制的基本概念开环控制Uc电压变小电压变大第一章 自动控制的基本概念开环控制Uc电压变小电压变大第一章 自

4、动控制的基本概念开环控制Uc电压变小电压变大第一章 自动控制的基本概念开环控制Uc电压变小电压变大第一章 自动控制的基本概念开环控制Uc电压变小第一章 自动控制的基本概念第一章 自动控制的基本概念开环控制的特点控制装置只按照给定的输入信号对被控制量进行单向控制。输出量不参加控制.开环控制不具有修正能力, 抗干扰能力差。第一章 自动控制的基本概念闭环控制 闭环控制是指系统的被控制量（输出量）与控制作用之间存在着负反馈的控制方式。闭环控制（以转速调节为例）比较器功率放大Uc下一步闭环控制（ 负载变化）比较器功率放大Uc上一步负载减小，上升加快闭环控制（负载减小，转速加快）比较器功率放大Uc上一步电

5、机转速加快闭环控制（负载减小，转速加快，测速发电机转速加快）比较器功率放大Uc上一步测速发电机转速加快闭环控制（负载减小，转速加快，测速发电机转速加快，反馈电压增大）比较器功率放大Uc上一步反馈电压增大闭环控制（以转速为例）比较器功率放大Uc上一步比较结果减小闭环控制（以转速调节为例）第二节 基本控制方式比较器功率放大Uc上一步输出电压减小闭环控制（以转速调节为例）比较器功率放大Uc上一步电机转速减慢闭环控制（以转速调节为例）比较器功率放大Uc上一步上升速度减慢第一章 自动控制的基本概念扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外

6、扰。外扰是系统的输入量。第一章 自动控制的基本概念反馈控制第一章 自动控制的基本概念开环控制系统与闭环控制系统的主要区别1、信号传输通道的差别 ： 开环控制系统：只有正向传输通道， 闭环控制系统：有正向通道和反馈通道。 2、系统结构的差别： 开环控制系统：有给定环节 闭环控制系统：有给定环节、比较环节、检 测环节。3、控制方式的差别: 开环控制系统：有偏差,靠人工控制 闭环控制系统：对被控对象进行自动控制。第一章 自动控制的基本概念二、闭环控制系统的组成和基本环节第一章 自动控制的基本概念二、闭环控制系统的组成和基本环节（1）被控对象 ： 指要进行控制的设备或过程。（2）检测装置： 用来检测被

7、控量，并将其转换成与 给定量同一物理量。（3）给定环节： 是设定被控量给定值的装置。第一章 自动控制的基本概念（4）比较环节 ： 将检测的被控量和给定值进行比较，确定两者之间的偏差。（5）控制装置 ： 根据得到的误差信号，发出相应的控制信号（6）执 行 器： 直接作用于被控对象，使被控量达到所要求的数值。第一章 自动控制的基本概念三、自动控制系统的类型式中：r(t)系统输入量； c(t)系统输出量 主要特点是具有叠加性和齐次性。第一章 自动控制的基本概念 非线性的理论研究远不如线性系统那么完整，目前尚无通用的方法可以解决各类非线性系统。第一章 自动控制的基本概念第一章 自动控制的基本概念第一章

8、 自动控制的基本概念四、自动控制系统的性能指标第一章 自动控制的基本概念第一章 自动控制的基本概念第一章 自动控制的基本概念（1）单调过程 这一过程的输出量单调变化，缓慢地到达新的稳态值。暂态过程较长。（2）衰减振荡过程3、持续振荡过程4、发散振荡过程第一章 自动控制的基本概念第一章 自动控制的基本概念第一章 自动控制的基本概念第二章 控制系统的数学模型学习重点简单物理系统的微分方程和传递函数的列写及计算 非线性模型的线性化方法 结构图和信号流图的变换与化简开环传递函数和闭环传递函数的推导和计算1、控制系统的数学模型是描述系统内部物理量之间关系的数学表达式，它是在系统分析和设计中首先要作的工作

9、。 2、建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法两种。 第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型分析法： 是对系统内各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。 实验法： 是人为地施加某种测试信号，记录其输出响应并用适当的数学模型去逼近，为种方法现已发展成为一门独立的学科分支，叫做系统辩证法。第二章 控制系统的数学模型3、数学模型有多种形式，常用的有： 微分方程，差分方程，状态方程，传递函数，结构图，频率特性和信号流图等， 本章主要研究： 传递函数、结构图、信号流图和微分方程第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型例、如图所示是

10、一个简单的RC电路，求其微分方程。解：第二章 控制系统的数学模型例、如图所示是一个简单的RL电路，求其微分方程。解：取u为输出量，i为输入量，得第二章 控制系统的数学模型例、直流电动机电枢电路得电路平衡方程而ed与电动机的转速n成正比：ed=Cen消去中间变量得：第二章 控制系统的数学模型 例 图为机械位移系统。试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。F y(t)k fm整理得:解: 阻尼器的阻尼力:弹簧弹性力:第二章 控制系统的数学模型例 设有源网络如图所示，试求其传递函数。解： 根据放大器特性有： i0=i1 再由基尔霍夫电流定律有： ir=ic+i0并根据放大器负相输入端“虚地

11、”的概念有：第二章 控制系统的数学模型而由上两式可得：第二章 控制系统的数学模型非线性微分方程的线性化 严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。 如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。小偏差线性化： 用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。 第二章 控制系统的数学模型静态工作点附近的泰勒(Taylor)级数展开 1）将一个非线性函数y=f(x)，在其工作点展开成泰勒(Taylor)级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函数。忽略二阶以上各项，可写成 第二章 控制系统的数学模型

12、 2）对于具有两个自变量的非线性函数，设输入量为x1(t)和x2(t),输出量为y(t),系统正常工作点为y0 f(x10,x20)。 在工作点附近展开泰勒(Taylor)级数得 忽略二阶以上各项，可写成 第二章 控制系统的数学模型例:发电机励磁特性 励磁电流: If0 发电机电压:Uf0 显然If0和:Uf0不是线性关系。 但当If0变化较小时，我们可以用第二章 控制系统的数学模型 微分方程完全描述了一个系统的动态特性，在给一定外作用和初始条件下，完全可以得到系统的输出响应，这种方法非常直观，便于了解系统运动的全过程。 但是如果系统的结构和参数变化了，就要重新列写并求解微分方程，这样就不便于

13、系统的分析和设计。 因此就引入了复域数学模型传递函数。微分方程传递函数Laplace变换传递函数第二章 控制系统的数学模型 设f(x)在t0的每个有限区间上分段连续,称为f(x)的拉普拉斯变换,其中s为复变量。称为F(x)的反拉普拉斯变换。拉氏变换简介第二章 控制系统的数学模型拉氏变换的性质：1.线性性设则 2.延迟定理：3.衰减定理： 第二章 控制系统的数学模型4.标度变换5.微分定理6. 积分定理 第二章 控制系统的数学模型 1常用信号的拉氏变换： a. 单位脉冲b.单位阶跃c.斜坡信号 第二章 控制系统的数学模型d.指数函数：e.正余弦常用拉普拉斯函数表第二章 控制系统的数学模型 线性定

14、常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数 。系统微分方程为传递函数的定义两边拉氏变换，得第二章 控制系统的数学模型整理，得称G(S)输入函数C(t)和R(t)的传递函数。记成： C(t) =G(s) R(t) 或 Xc(t) =W(s) Xr(t) Xr(t) W(s) Xc(t)第二章 控制系统的数学模型1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子多项式的次数m 低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数；2) 传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关;但表示输入与输出的关系，可以有量纲。传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换;不同系统可以

15、有相同的传递函数，所以传递函数不能反映物理系统的结构和性质。传递函数的性质第二章 控制系统的数学模型传递函数的分子P(s)称为系统的特征多项式，称P(s)=0为系统特征方程， P(s)=0的根为系统的极点；称P(s)的阶数为该系统的阶数；称D(s)=0的根为系统的零点。记第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型已知R=1，C=1F，求零状态条件下阶跃响应uc(t) .因为对上式进行拉氏反变换：第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型 例 图为机械位移系统。试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程和传递函数。F y(t)k fm在零初始条

16、件下，对两边进行拉氏变换:解:运动方程为第二章 控制系统的数学模型 这里zi为系统的零点, pj为系统的极点, 均可为共轭复根和零根，称K为系统的增益或放大系数。第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型当输入量为单位阶跃时,其中第二章 控制系统的数学模型两边作初始条件为零的拉氏变换,得传递函数第二章 控制系统的数学模型系统的微分方程为:两边作初始条件为零的拉氏变换,得传递函数当RC1时,得理想微分传递函数:第二章 控制系统的数学模型其中TL=L/R,TC=RC.整理得:第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型测厚hc信号与厚差信号hd有下列关系

17、第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型系统的动态结构图 结构图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包括： 信号线：表示信号传递通路与方向。 方框：表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的传递函数。 比较点：对两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加，“-”表示相减。 引出点：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。R(s)C(s)E(s)W(s)H(s)(-)第二章 控制系统的数学模型 例 绘出RC电路的结构图。 R1 C1i1 (t)ur(t)uc(t)Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC1(-)第二章 控制系统的数

18、学模型例 绘出图示双RC网络的结构图。uiuouC2C1ici1R1R2i22.19U(s)I2(s) Uo(s)(d) (-)IC(s)U(s)(c) IC(s)I1(s)I2(s) (-)(b)Ui(s)I1(s) U(s) (-)(a)I2(s) Uo(s)(e)Ui(s)Uo(s) I2(s) U(s)IC(s) I1(s) (-) (-) (-)(f)第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型第

19、二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型设其分子分母均为有理多项式。于是称0(s)=B(s)N(s)为开环系统的特征多项式；zi(1jm)为开环系统零点， pi(1in)为开环系统极点。称为系统闭环传递函数。第二章 控制系统的数学模型对于单位反馈系统，有 5.系统对给定作用和扰动作用的传递函数原则：对于线性系统来说，可以运用叠加原理，即对每一个输入量分别求出输出量，然后再进行叠加，就得到系统的输出量。第二章 控制系统的数学模型（1）只有给定输入作用时的闭环传递函数和输出量为 （2）只有扰动作用时的闭环传递函数和输出量为 第二章 控制系统的数学模型两个输入量同

20、时作用时，输出量为第二章 控制系统的数学模型 信号流图是一种用节点和有向线段表示线性系统方程组的方法。 它可以方便系统传递函数的求解，但不能系统分析和设计。信号流图信号流图的基本性质： 1) 节点：标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用“O”表示； 2)支路：连接两节点间的有向线段。相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号； 3)信号在支路上沿箭头单向传递； 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。第二章 控制系统的数学模型1.信号流图中的术语(1)源点 只有输出支路的节点称为源点或称为输入节点 它一般表示系统的输入变量。(2)汇点（阱节点） 只有输

21、入支路的节点称为汇点或称为输出节点 它一般表示系统的输出变量。 第二章 控制系统的数学模型(3)混合节点 既有输入支点又有输出支点的节点称为混合节点(4)通路 从某一节点开始，沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径，称为通路。 通路中各支路传输的乘积称为通路传输（通路增益）。第二章 控制系统的数学模型(5)开通路 信号流图与任一节点相交不多于一次的通路称为开通路。(6)闭通路 如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的通路称为闭通路或回环。 (7)回环增益 回环中各支路传输的乘积称为回环增益（或传输）。第二章 控制系统的数学模型(8)前向通路 是指

22、从源点开始并终止于汇点且与其他节点相交不多于一次的通路，该通路的各传输乘积称为增益前向通路传递函数。(9)不接触回环如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环. 第二章 控制系统的数学模型由微分方程信号流图的绘制例 已知系统如图所示，其微分方程如下：C1 ui R1 R2 uo i1iUi(s)Ui(s)-Uo(s)Uo(s)Uo(s) uC(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C1第二章 控制系统的数学模型由系统结构图绘制信号流图1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。2) 用有向线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。注意信号流图的节点

23、只表示变量的相加。G(s) C(s) R(s)(节点)C(s)R(s) G(s)(节点)(支路)第二章 控制系统的数学模型信号流图的化简 见教材.G1(s)G2(s) H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s) (-)(a) 结构图C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s) -H(s) Y(s)D(s)V(s)11(b) 信号流图第二章 控制系统的数学模型2. 梅逊增益公式 第二章 控制系统的数学模型例 计算右图的传递函数.解: 该系统只有两条前向通道 n=2 T1=abcd T2=fd三个回环的传递函数为La=fdg, Lb=be, Lc=abcdg,所以 L1=( cde + b

24、cf + abcdg ） L2= La Lb= fdg be所以系统特征式为第二章 控制系统的数学模型进而有：得系统总传递函数为第二章 控制系统的数学模型例 求右图中下列传递函数解：第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型小 结1. 数学模型的基本概念。 数学模型是描述系统因果关系的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据2. 通过解析法对实际系统建立数学模型。 在本章中，根据系统各环节的工作原理，建立其微分方程式，反映其动态本质。3. 非线性元件的线性化。 针对非线性元件的非线性微分方程分析的难度，本章介绍采用小偏差线性化方法对非线性系统的线性化描述。第二章 控制系统的数学

25、模型4. 传递函数。 通过拉氏变换求解微分方程是一种简捷的微分方程求解方法。 本章介绍了如何将线性微分方程转换为复数 s 域的数学模型传递函数以及典型环节的传递函数。 第二章 控制系统的数学模型5. 动态结构图。 动态结构图是传递函数的图解化，能够直观形象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于求解系统的各种传递函数，进一步分析和研究系统。6. 信号流图。 信号流图是一种用图线表示系统中信号流向的数学模型，完全包括了描述系统的所有信息及相互关系。通过运用梅逊公式能够简便、快捷地求出系统的传递函数。 第三章 自动控制系统的时域分析学习重点了解典型信号和自动控制系统时域指标的定义 掌握一阶和二阶系

26、统分析与暂态性能指标计算方法 建立系统参数与系统暂态响应之间的对应关系 了解系统参数对系统暂态性能指标的影响，能够定性分析高阶系统的暂态响应过程 理解和掌握线性控制系统稳定的充要条件，会用劳斯判据判断系统的稳定性 理解稳态误差的概念，了解系统参数对系统误差的影响，熟练掌握误差传递函数和稳态误差的计算方法第三章 自动控制系统的时域分析 在确定系统的数学模型后，便可以用几种不同的方法去分析控制系统的动态性能和稳定性能，本章主要介绍时域分析法。 所谓时域分析法就是根据控制系统的时域响应来分析系统的稳定性、暂态性能和稳态精度。 与其它分析方法比较，时域分析法是一种直接的分析方法，具有直观和准确的优点，

27、并能提供系统时间响应的全部信息。第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析 实际中控制系统所受到外作用是各式各样的，对于不同的外作用信号，系统被控制量的变化情况也不相同。为了便于用统一的方法研究和比较控制系统的性能。（1）阶跃函数A=1时称为单位阶跃函数 第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析 单位脉冲函数可以认为是单位阶跃函数在间断点上对时间的导数，反之亦真。第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析一阶系统的微分方程为：其闭环传递函数为第三章 自动控制系统的时域分析取上式的反拉氏变换，得第三章 自动控制系统的时域分析响应曲线的初始斜

28、率为1/T。系统没有超调量，其性能指标主要是调节时间。ts=3T(s)， （对应5%误差带） ts=4T(s)， （对应2%误差带）第三章 自动控制系统的时域分析例 一阶系统的结构如下图所示。试求该系统单位阶跃响应的调节时间ts；如果要求ts(5%) 0.1(秒)，试问系统的反馈系数应取何值？得 T=0.1（s）因此得调节时间 ts=3T=0.3(s),（取5%误差带） 第三章 自动控制系统的时域分析由闭环传递函数可得 T = 0.01/Kt根据题意要求 ts (5%) 0.1（s）则 ts = 3T = 0.03/Kt 0.1(s)所以 Kt 0.3 第三章 自动控制系统的时域分析 二阶系统

29、标准形式的结构图如右。系统的特征方程为 第三章 自动控制系统的时域分析 特征方程的根与阻尼比有关，下面分几种情况来分析二阶系统的动态特性。第三章 自动控制系统的时域分析上式各系数分别为：第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析输出量的拉氏变换：第三章 自动控制系统的时域分析输出量的时间函数：第三章 自动控制系统的时域分析结论： 在 的情况下，二阶系统的暂态响应的暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时间函数；振荡程度与 有关： 越小，振荡越剧烈。 第三章 自动控制系统的时域分析系统的特征根为第三章 自动控制系统的时域分析输出量的时间函数：第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动

30、控制系统的时域分析综上所述，在不同的阻尼比时，二阶系统的暂态响应有很大的区别，因此阻尼比是二阶系统的重要参量。当=0时，系统不能正常工作；在1时，系统暂态响应进行的又太慢。所以，对二阶系统来说，欠阻尼（01 ）情况下，暂态特性为单调变化曲线，没有超调和振荡，但调节时间较长，系统反应迟缓。当0，输出量作等幅振荡，或发散振荡.系统不能稳定工作。第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析4、二阶工程最佳参数 在一些控制系统中常常采用所谓二阶最佳参数作为设计控制系统的依据，这种系统选择的参数使得：将此式代入二阶系统标准式，得开环传递函数为闭环函数为第三章 自动控制系统的时域分析最大超

31、调量：上升时间：调节时间：第三章 自动控制系统的时域分析例 有一位置随动系统，其结构图如下图所示，其中Kk = 4。求该系统的：1）自然振荡角频率；2）系统的阻尼比；3）超调量和调节时间；4）如果要求 ，应怎样改变系统参数Kk值。第三章 自动控制系统的时域分析 所以必须降低开环放大系数，才能满足二阶工程最佳参数的要求。但是降低开环放大系数将使系统稳态误差增大。第三章 自动控制系统的时域分析例 为了改善上例系统的暂态响应性能，满足单位阶跃输入下系统超调量 的要求，今加入微分负反馈s，如下图所示。求微分时间常数。第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析则 令第三章 自动控制系统

32、的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析得:第三章 自动控制系统的时域分析将上式整理,得:第三章 自动控制系统的时域分析上式中l、 的几何意义：第三章 自动控制系统的时域分析从而有：第三章 自动控制系统的时域分析二阶系统加极点后变成三阶系统传递函数为第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析结论：具有负实数极点的三阶系统，振荡性减弱，而上升时 间和调节时间增长，超调量减小，也就是相当于系统的惯性增强了。 第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析结论（1）高阶系统暂态响

33、应各分量衰减得快慢，取决于指数衰减常数。系统闭环极点的实部越小，即在S平面左侧离虚轴越近，则相应的分量衰减越慢，对暂态影响越大。（2）高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点在S平面中的位置有关，还与零点的位置有关。第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析 在设计一个高阶控制系统时，我们常常利用主导极点这一概念选择系统参数，使系统具有一对共轭复数主导极点，这样就可以近似地用一阶或二阶系统的指标来设计系统。第三章 自动控制系统的时域分析 一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须是稳定的。 用代数的方法判断线性系统的稳定性，分析系统参数变化对稳定性的影响，是本节要介绍的内容。自

34、动控制系统的代数稳定判据第三章 自动控制系统的时域分析 系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的极点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也就是所有的闭环特征根 pj分布在S 平面虚轴的左侧，即 Re pj a0a3.第三章 自动控制系统的时域分析3.赫尔维茨判据第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析拉氏变换终值定理： 第三章 自动控制系统的时域分析第三章 自动控制系统的时域分析1. 扰动稳态误差 扰动误差的拉氏变换： 扰动误差的传递函数： 称We(s)为误差传递函数 第三章 自动控制系统的时域分析根据拉氏变换的终值定理，扰动作用下的稳态误差为第

35、三章 自动控制系统的时域分析当给定量 时，以扰动量为输入量的系统结构图如下图所示 ：例 速度负反馈系统 第三章 自动控制系统的时域分析在负载电流作用下转速误差的拉氏变换为 式中： 系统开环放大系数。 当负载为阶跃函数时， 。则转速的稳态误差为 由于这一系统在负载扰动下存在稳态误差，所以称为有差系统。第三章 自动控制系统的时域分析 将上述调速系统中的比例调节器换成积分调节器，构成下图所示系统。 则速度误差的拉氏变换为 式中： 当负载电流作阶跃变化时，有 在开环传递函数中，串联积分环节，可以消除阶跃扰动的稳定误差。 该系统为无差系统。第三章 自动控制系统的时域分析2. 给定稳定误差和误差系数 误差

36、定义为 这个误差是可以量测的，但是这个误差并不一定反映输出量的实际值与期望值之间的偏差。 另一种定义误差的方法是取系统输出量的实际值与期望值的差，但这一误差在实际系统中有时无法测量。对于右图所示单位反馈系统，上述两种误差定义是相同的。并有误差传递函数 第三章 自动控制系统的时域分析单位反馈系统的开环传递函数可以表示为式中： N开环传递函数中串联的积分环节 的 阶次，或称系统的无差阶数； N个积分环节串联的等效传递函数 第三章 自动控制系统的时域分析N = 0， 0型系统；N = 1，型系统；N = 2 ，型系统。N 越高，系统的稳态精度越高，但系统的稳定性愈差。一般采用的是0型、型和型系统。

37、第三章 自动控制系统的时域分析典型输入情况下系统的给定稳态误差分析 单位阶跃函数输入 稳态误差为 令 ， 称为位置稳态误差系数，则 第三章 自动控制系统的时域分析对于0型系统，因N = 0，则位置稳态误差系数 因此0型系统的位置稳态误差为 第三章 自动控制系统的时域分析对于型或型系统，因N=1或2，则位置误差系数为故型或型系统的位置稳态误差为 由此而知，对于单位阶跃输入，型以上各型系统的位置稳态误差系数均为无穷大，稳态误差均为零。 第三章 自动控制系统的时域分析单位斜坡函数输入 令 ， 称为速度稳态误差系数。 由此得各型系统在斜坡输入时的稳态误差为第三章 自动控制系统的时域分析单位抛物线函数输

38、入 给定稳态误差为 令 ， 称为加速度稳态误差系数 由此得各型系统在抛物线输入时的稳态误差为第三章 自动控制系统的时域分析误差系数与稳态误差之间的关系 1t系统 0型00 型00 型00第三章 自动控制系统的时域分析动态误差系数 既可求出稳态值，又可以了解到进入稳态后，误差随时间变化的规律。 误差传递函数为 如果将分子和分母中的幂次相同的各项合并，则可写成 第三章 自动控制系统的时域分析 用分母多项式除分子多项式，可把上式写为如下的s的升幂级数 由此可得误差的拉氏变换为 式中： k0动态位置误差系数； k1动态速度误差系数； k2动态加速度误差系数。 第三章 自动控制系统的时域分析稳态误差值

39、进入稳态时的系统误差为 第三章 自动控制系统的时域分析例 有一单位反馈系统，其开环传递函数为试计算输入量为 和 时系统的稳态误差及其时间函数。 解 该系统为0型系统，系统的误差传递函数为 展开成s的升幂级数，得 第三章 自动控制系统的时域分析故动态误差系数为 当给定量为阶跃函数时 稳态误差为 稳态误差的时间函数为 第三章 自动控制系统的时域分析因为 ，（不计时间等于零时的脉冲值），故得 当给定量为单位斜坡函数时 稳态误差值为 稳态误差的时间函数为 第三章 自动控制系统的时域分析例 一单位反馈系统的开环传递函数为 试求输入量为 时，系统的稳态误差时间函数和稳态误差。 解 系统给定误差的传递函数为

40、 用分子多项式除以分母多项式，可得s的升幂级数 第三章 自动控制系统的时域分析故知 。误差的拉氏变换为 已知给定输入量为则第三章 自动控制系统的时域分析稳态误差的时间函数为 系统稳态误差为 第三章 自动控制系统的时域分析3 减小稳态误差的方法 增大系统的开环放大系数 值不能任意增大，否则系统不稳定。 提高开环传递函数中的串联积分环节的阶次N， N 值一般不超过2。 采用补偿的方法 指作用于控制对象的控制信号中，除了偏差信号外，还引入与扰动或给定量有关的补偿信号，以提高系统的控制精度，减小误差。这种控制称为复合控制或前馈控制。第三章 自动控制系统的时域分析复合控制系统结构图一闭环传递函数为 第三

41、章 自动控制系统的时域分析给定误差的拉氏变换为 如果选补偿校正装置的传递函数为 系统补偿后的误差 闭环传递函数为 即这种将误差完全补偿的作用称为完全补偿。式 称为按给定作用的不变性条件 第三章 自动控制系统的时域分析复合控制系统结构图二系统的扰动误差就是给定量为零时系统的输出量 第三章 自动控制系统的时域分析如果选取 则得到 这种作用是对外部扰动的完全补偿。 式 称为按扰动的不变性条件。 实际上实现完全补偿是很困难的，采取部分补偿也可以取得显著的效果。 第三章 自动控制系统的时域分析例 一随动系统 补偿前第三章 自动控制系统的时域分析当 时速度稳态误差系数为 系统的稳态误差为 系统的给定误差为

42、误差传递函数为第三章 自动控制系统的时域分析为了补偿系统的速度误差，引进了给定量的微分信号，如下图所示。补偿校正装置 的传递函数为 第三章 自动控制系统的时域分析由此求得系统的闭环传递函数为 复合控制的给定误差传递函数为 在输入量为单位斜坡函数的情况下 ，系统的给定稳态误差为 第三章 自动控制系统的时域分析今选取 ，则误差传递函数为误差的拉氏变换为 第三章 自动控制系统的时域分析由此可知，当加入补偿校正装置 （也称为前馈控制）时，可以使系统的速度稳态误差为零，将原来的型系统提高为型系统。 此时其等效单位反馈系统的开环传递函数为 应特别指出的是，加入这一前馈控制时，系统的稳定性与未加前馈相同，因

43、为这两个系统的特征方程式是相同的。 这样，提高了稳态精度，但系统稳定性不变第三章 自动控制系统的时域分析6. 相对稳定性和稳定裕量 应用代数判据只能给出系统是稳定还是不稳定，即只解决了绝对稳定性的问题。 在处理实际问题时，只判断系统是否稳定是不够的。 因为,对于实际的系统,所得到参数值往往是近似的,并且有的参数随着条件的变化而变化,这样就给得到的结论带来了误差。 为了考虑这些因素,往往希望知道系统距离稳定边界有多少余量，这就是相对稳定性或稳定裕量的问题。第三章 自动控制系统的时域分析应用代数判据只能给出系统是稳定还是不稳定，即只解决了绝对稳定性的问题。在处理实际问题时，只判断系统是否稳定是不够

44、的。因为，对于实际的系统，所得到参数值往往是近似的，并且有的参数随着条件的变化而变化，这样就给得到的结论带来了误差。为了考虑这些因素，往往希望知道系统距离稳定边界有多少余量，这就是相对稳定性或稳定裕量的问题。第三章 自动控制系统的时域分析方法：利用代数稳定判据，以 代入系统特征方程式，写出z的多项式，然后用代数判据判定z的多项式的根是否都在新的虚轴的左侧。第三章 自动控制系统的时域分析例 系统特征方程式为 劳斯表为可以看出，第一列中各项符号没有改变，所以没有根在S平面的右侧，系统是稳定的。第三章 自动控制系统的时域分析检查上述系统是否有 裕量。将 代入原特征方程式，得新的特征方程为由于零(s)

45、上面的系数符号与零(s)下面的系数符号相同，表明在右半平面没有根，但由于 s1 行的系数为零，故有一对虚根。这说明，原系统刚好有 的稳定裕量。 列出劳斯表第三章 自动控制系统的时域分析小 结1. 时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调整时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。2. 二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼比取值适当(如 =0.707左右)，则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因而在控制工程中常把二阶系统设计为欠阻尼。第三章 自动控制系统的时域分析3. 如果高阶系统中含有一对闭环主导极点，则

46、该系统的暂态响应就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。4. 稳定是系统能正常工作的首要条件。线性定常系统的稳定性是系统的一种固有特性，它仅取决于系统的结构和参数，与外施信号的形式和大小以及系统的初始状态无关。 不用求根而通过特征方程系数能够直接判别系统稳定性的方法，称为代数稳定判据。稳定判据只回答特征方程式的根在 s平面上的分布情况，而不能确定根的具体数值第三章 自动控制系统的时域分析5. 稳态误差是系统控制精度的度量,也是系统的一个重要性能指标.系统的稳态误差既与其结构和参数有关,也与控制信号的形式、大小和作用点有关.6. 系统的稳态精度与动态性能在对系统的类型和开环增益的要求上

47、是相矛盾的.解决这一矛盾的方法,除了在系统中设置校正装置外,还可采用前馈补偿的方法来提高系统的稳态精度.根轨迹法 一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部数值关系的方法。 1948年,由伊文思（W. R. Evans）提出.根轨迹法的任务 由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。 第四章 根轨迹法根轨迹 系统开环传递函数的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在 S 平面上的变化轨迹。 先用图解的方法在复数 s 平面上画出系统某一参数由零变化到无穷大时对应数值下的闭环特征方程所有的根, 即根轨迹, 然后再用图解的方法确定

48、该参数为某一特定数值时的一组闭环特征根, 分析出系统所具有的性能.4.1 根轨迹法的基本概念4.1 根轨迹法的基本概念 或反之, 在根轨迹上先确定出符合系统性能要求的闭环特征根, 再用图解的方法求出对应的参数值. 根轨迹是利用系统开环传递函数的零极点分布来研究闭环系统的极点分布.根轨迹法的基础是系统的传递函数，仅适用于线性系统。 例 二阶系统的根轨迹闭环传递函数4.1 根轨迹法的基本概念特征方程闭环极点 研究开环放大系数K与闭环特征根的关系。当取不同K值时，算得闭环特征根如下：K S1 S200-20.5-1-11-1+j-1-j2-1+j-1-j -1+j-1-j4.1 根轨迹法的基本概念K

49、由0变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。 根轨迹直观地表示了参数K变化时，闭环特征根的变化，并且还给出了参数K对闭环特征根在S平面上分布的影响。4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹方程控制系统结构图开环传递函数4.1 根轨迹法的基本概念式中： -Zi 开环零点； -pj 开环极点。闭环系统特征方程式为或可写作4.1 根轨迹法的基本概念 这个方程式表达了开环传递函数与闭环特征方程式的关系 ，该方程的解即为闭环特征根，因此该式又称为根轨迹方程。4.1 根轨迹法的基本概念令s=+j代入可得上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式，则根轨迹方程又可分别表示成幅值条件：辐

50、角条件：（充分必要条件）式中： i 开环有限零点到s点的矢量辐角； j 开环极点到s点的矢量辐角； 满足幅值条件和辐角条件的s值，就是特征方程式的根，也就是闭环极点。 4.1 根轨迹法的基本概念4.1 根轨迹法的基本概念 因为Kg 在0范围内连续变化，总有一个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的依据是辐角条件。 利用幅值条件计算Kg值比较方便，它可以作为计算Kg值的依据。 绘制根轨迹的一般步骤（1）算出Kg =0 和Kg = 时的特征根（2）根据绘制法则大致画出0 Kg0, z1p1p20 ，求分离点和会合点。解 由已知：N(s)=s+z1 N(s) =1D(s)=(s+p1)(s+p2) D

51、(s)=(2s+p1+p2)4.2 根轨迹的绘制法则 代入分离点和会合点方程，有由此得分离点和会合点分别为该系统的根轨迹图如下图所示4.2 根轨迹的绘制法则6 根轨迹的渐近线 研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。 当 nm 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。4.2 根轨迹的绘制法则无穷远处的特征根，到S平面上所有开环有限零点和极点的矢量辐角都相等，均为 ，即i=j=独立的渐近线只有（n-m）条代入辐角条件得即渐近线的倾角为4.2 根轨迹的绘制法则（1）渐近线的倾角当 时， ，即得（2）渐近线的交点由幅值条件4.2 根轨迹

52、的绘制法则 令上式中等式两边的项系数相等，即得渐近线的交点4.2 根轨迹的绘制法则例 设开环传递函数为试确定其根轨迹渐近线。解 （1）计算渐近线倾角。因为m=0, n=3, 所以可得渐近线倾角为4.2 根轨迹的绘制法则因为 n=3, m=0；所以渐近线交点为（2）计算渐近线交点。7 根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹离开S平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。入射角：根轨迹进入S平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。4.2 根轨迹的绘制法则例 已知开环传递函数为试计算起点（1+j1）的斜率。把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角为4.2 根轨迹的绘制法则解得解 令sk稍为增大，在

53、(-1+j1)附近的特征根sk 应满足辐角条件，即同理可得入射角的计算公式为通过这个例子，可以得到计算出射角的公式为4.2 根轨迹的绘制法则4.2 根轨迹的绘制法则8根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根 s=j，此时系统处于临界稳定状态，令此时的 Kg =Kl 。由此可计算对应的临界放大系数值。确定交点的方法： （1）把s=j 代入特征方程式； （2）利用劳斯判据。例设有开环传递函数为 试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。 假设 时根轨迹与虚轴相交,于是令上式中解 方法（1）根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为4.2 根轨迹的绘制法则 则得亦即 解得： ， ，对

54、应根轨迹的起点； ， ，对应根轨迹与虚轴相交。 交点处的（临界放大系数）为 4.2 根轨迹的绘制法则4.2 根轨迹的绘制法则方法（2）用劳斯判据计算交点和临界放大系数劳斯表特征方程4.2 根轨迹的绘制法则令上式中KK=3 ，即得根轨迹与虚轴的交点为 在第一列中，令s1行等于零，则得临界放大系数 KK=Kl=3 根轨迹与虚轴的交点可根据s2行的辅助方程求得，即3s2+2KK=04.2 根轨迹的绘制法则 9根轨迹的走向 如果特征方程的阶次nm0，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。说明：把特征方程式改为式中：a1=Rj 是一个常数，它是各特征根之和。这表明，随着Kg值改变，一些特征根增大时另一

55、些特征根必减小。4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹绘制法则归纳如下：(1)起点（Kg =0）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。（2）终点(Kg =)。根轨迹的终点即开环传递函数的零点(包括m个有限零点和（n-m）个无限零点)。（3）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为 max(n,m) ，根轨迹对称于实轴。（4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。4.2 根轨迹的绘制法则 （5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程 （6）根轨迹的渐近线。 渐近线的倾角 渐近线交点4.2 根轨迹的绘制法则 入射角出射角（7）根轨迹的出射角与入射角。（9）根轨迹走向。 如果特征方程的阶次nm2，

56、则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。(8)根轨迹与虚轴交点。把s=j代入特征方程式，即可解出交点处的临界Kl值和交点坐标。 利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。二阶系统：开环传递函数为闭环传递函数为共轭极点为：在s平面上的分布如右图：闭环极点的张角 为：所以称为阻尼角, 斜线称为等阻尼线。4.2 根轨迹的绘制法则4.2.2 自动控制系统的根轨迹4.2 根轨迹的绘制法则 1. 二阶系统 设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为二阶系统的根轨迹图如右图所示。如果要使得系统的阻尼比为 则从原点作阻尼线0R, 交根轨迹于R

57、（见右图）开环放大系数KK =KK/T应为 上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数相同 4.2 根轨迹的绘制法则 由幅值条件有: 2开环具有零点的二阶系统 二阶系统增加一个零点时，系统结构图如下图所示。 它的开环传递函数为4.2 根轨迹的绘制法则 其根轨迹是一个圆。 本例说明：正向通道内适当引进零点，将使根轨迹向左偏移，能改善系统动态品质。时的根轨迹图 4.2 根轨迹的绘制法则 根轨迹与实轴的交点即为分离点和会合点,为：3. 三阶系统 二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为 在a=4时，分离点为s1=-0.467和s2=-2.87。 因为在-14之间不可能有

58、根轨迹，故分离点应为 s1=-0.467 。4.2 根轨迹的绘制法则 其中Kg=aKk, a=1/T。渐近线的倾角为：-60，60 ，180 交点为：-5/3当 a=4 时，根轨迹与虚轴交点为 = 2对应的根轨迹放大系数为考虑到 Kg= 4Kl ，于是得临界开环放大系数为 Kl=204=5本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着 Kg 增大，根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。 4.2 根轨迹的绘制法则 根轨迹绘于右图。四阶系统类似，同学们自己学习 4 具有时滞环节的系统 假设, 时滞系统的结构如图所示,较大时对系统有明显的不良影响。 其开环传递函数为闭环系统的特征方程式为4.2

59、根轨迹的绘制法则 假设特征根 s = +j ，则满足特征根的幅值和辐角条件为 与前面介绍的根轨迹绘制法则相对比可知，时滞系统的根轨迹绘制法则要有所变化。4.2 根轨迹的绘制法则 为零时，与一般系统相同。 0时，其值将对轨迹的幅值和幅角产生影响。 4.2 根轨迹的绘制法则 时滞系统的根轨迹绘制法则：（1）起点(Kg=0)。当Kg=0 时，除开环极点pi是起点外， = 也是起点。（2）终点（Kg= ）。当Kg= 时，除开环有限零点zi 是终点外， =也是终点。（3）根轨迹数目及对称性。根轨迹有无限多条分支。根轨迹对称于实轴。（4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的开环零、极点之和为奇数。4.2 根

60、轨迹的绘制法则 （5）分离点与会合点。（6）渐近线。水平线，与虚轴交点为 4.2 根轨迹的绘制法则 （7）出射角与入射角。 （8）根轨迹与虚轴交点。临界根轨迹放大系数 4.2 根轨迹的绘制法则 （9）复平面上的根轨迹。 由辐角条件，假设=0得例 设系统的开环传递函数为 试绘制其根轨迹。4.2 根轨迹的绘制法则 解 （1）起点(Kg=0)为：p0=0, p1=1；其他起点为 =，其渐近线为 （2）终点Kg= 为 =，其渐近线同上。 （3）在实轴的 0 1区间有根轨迹。（4）分离点位置按式（4-25）计算，得 4.2 根轨迹的绘制法则 由此算得当 = 1时，得 s1= 0.382 ，s2= 2.6