工程力学(高教版)教案：6.5 截面的几何性质

1、第五节截面的几何性质一、面矩平面图形（图6-24），其面积为A，在坐标（y,z）处，取微面积dA,zdA称为微面积dA对y轴的面积矩，简称面矩（或静矩）。则将zdA遍及整个图形面积A的积分，称为图形对y轴的面矩。用S表示，即y同理有S=fzdAyPaS=JydAzA(6-18)zc=-AAy:cA由上式和式(6-18)得SAz，SAyycz（6-19）由式（6-19）可知，图形对过其形心坐标轴的面矩为零；面矩不仅与图形面积有关，而且还与参考轴的位置有关。面矩可以是正值、负值或零，面矩的常用单位为毫米3（mm3）。例6-3求半径为r的半圆形对过其直径的轴z的面矩及其形心坐标y（图6-25）c解过

2、圆心O作与z轴垂直的y轴，并在任意y坐标取宽为dy的微面积dA，其面积为dA2.Jr2一y2dy由式(6-18)有S=JydA=JrzA22yfr2一y2dyr303将S3r3代入式(6-19),z3SyzcA3兀惯性矩与极惯性矩4r如图6-24,z2dA称为微面积dA对y轴的惯性矩。则将z2dA遍及整个图形面积A的积分，称为图形对y轴的惯性矩。用I表示，即yI=Jz2dAyAI=Jy2dAzA如图6-24，当采用极坐标系时，其面积为A，在坐标(y,z)处，取微面积dA,zdA称为微面积dA对y轴的面积矩，p2dA称为微面积dA对坐标原点O的极惯性矩，则将P2dA遍及整个图形面积A的积分，称为

3、图形对坐标原点O的极惯性矩，用Ip表示，即I=Jp2dAPA同理有(6-20)(6-21)将p2=z2+y2代入上式，得了.I=pI=I+1Pyz丨P2dA=J+y2力A=Jz2dA+Jy2dAAAAA(6-22)由式(6-22)可知，图形对其所在平面内任一点的极惯性矩Ip,等于其对过此点的任一对正交轴y、z的惯性矩I、I之和。yz由式(6-20)和(6-21)可知，惯性矩和极惯性矩总是正值。其常用单位为毫米4(mm4)。例6-4试计算图6-26所示的矩形对其对称轴y、z的惯性矩。解先求对轴y的惯性矩。取平行于轴y的狭长矩形作为微面积dA，则dA=bdzI=fz2dA=；bz2dz=bh3yA

4、h12用同样的方法可求得2=hb3z=12图6-26图6-27例6-5试计算图6-27所示的圆形对过形心轴的惯性矩及对形心的极惯性矩。解取图中狭长矩形作为微面积dA，则dA=2ydz=2、.R2Z2dzI=Jz2dA=2JRz2R2Z2dz=rR4=-D!yar464由对称性有”兀D464由式（6-22）有兀D3I-1+1-Pyz32例6-6性矩。试计算图6-28所示的空心圆形对过圆心的轴y、z的惯性矩及对圆心O的极惯1?D-*图6-28解首先求对圆心O的极惯性矩IP。取图中所示的环形微面积dA，则dA=2兀pdpI=Jp2dA=2兀J：p3dp=r4-dJPAd322因I=I+1，且I=I，则有Pyzyz/、I二I=11=rD4-d4）yz2P64三、惯性积与形心主惯性矩如图6-23，zydA称为微面积dA对轴y、z的惯性积。则将zydA遍及整个图形面积A的积分，称为图形对轴y、z的惯性积。用I表示，即zyI=JzydA（6-23）yzA由式（6-23）可知，惯性积可以是正值、负值或零；且轴惯性积中只要有一个为图形的对称轴，则图形对轴y,z的惯性积必等于零。若图形对某对正交轴的惯性积等于零，则