课件第八章空间曲线sun

1、第四节空间曲线一、空间曲线二、空间直线页第八章(, y, z一、空间曲线1、空间曲线方程（1）空间曲线的一般方程S1S2LL, y, z (空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组z例如,方程组C2表示圆柱面与平面的交线C.o1yx页又如,方程组z表示上半球面与圆柱面的交线C.a yx页x2 x2 z例.两直交圆柱在第一卦限交线。aoooayx页（2）空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:z称它为空间曲线C的参数方程.例如,圆柱螺旋线 的参数方程为o t vxy,令 2, 称为螺距 .上升高度页 a2例 1 如果空间一点 M 在圆柱面上以角速度绕 z

2、轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中、v 都是常数），那么点 M图形叫做螺旋线试建立其参数方程的取时间t为参数，并设 t=0 时动点M解z位于 A(a,0,0)点。于是，在t时刻，转过的弧度为 =t ，上M(x,y,z)升的高度为 vt，MoxAy页例2.将下列曲线化为参数方程表示:解: (1)根据第一方程引入参数,得所求为故所求为(2) 将第二方程变形为页2、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为, y z 0(y消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程x( , z x 0( , z y 0消

3、去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程页zC例如,C : z 2( 11xy1)z222x (C在xoy 面上的投影曲线方程为1yz 0y 0 x在yoz、zox 面上的投影曲线方程分别为 y z 1x2 2z2 2z 0y 0 x 0页又如,和锥面在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在上半球面所围的xoy 面上的投影曲线所围之域.z二者交线在 xoy 面上的投影曲线Cy1x 1.x所围圆域:页空间或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面页二、空间直线方程1. 一般式方程直线可视为两平面交线，因此其一般式方程(不唯一)zL1o2yx页A1xB yC1 02. 对称式方程已知直线上一点 M 0

4、 (x, yz0和它的方向向量(, yz设直线上的动点为则(, yz故有M(x, yz00此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.m 0时,例如, 当直线方程为00页0 y y00mnp3. 参数式方程 y y000 t设mnp得参数式方程:页0t0t0t例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.2 0,2,得令 x = 1, 解方程组是直线上一点.再求直线的方向向量s .交已知直线的两平面的法向量为s21,页jik(4,1 snn1)3x 1 y故所给直线的对称式方程为14参数式方程为解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.页

5、4、线面间的位置关系（1）两直线的夹角两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)设直线L11 ,的方向向量分别为2s1L2 满足则两直线夹角s2cos 21m1m2n1npp22212222p2p1122页特别有: Ls s1()L2 1n2 p1 p2 0m1/m12()/ n1p1m2n2p2页例2.求以下两直线的夹角: L2解: 直线的方向向量为i11jk 2, 2, 1的方向向量为 s2直线二直线夹角 的余弦为1 2 ) )2(1(1)cos 12)24)2) 从而4页（2） 直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;当直线

6、与平面垂直时,规定其夹角设直线 L 的方向向量为 s m, n, p平面 的法向量为 n A, B,C则直线与平面夹角 满足Lnssin cos(,)AnC p页snm2 n2p2A2特别有:1() LABCmn/pn C p 0垂2( ) L / A例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面直的直线方程.n解: 取已知平面的法向量 n 2, 3, 1为所求直线的方向向量.则直线的对称式方程为x 41页,1,3)且与 L: x 1 1 例 4.求过M2(垂直相交的直线3方程.解法1. 先作过点M且与已知直线L垂直的平面L3(x 2) 2( y 1) (z 3) 0再求已知直线与该平面的交点N,

7、NMt 3 , 交点N 2 ,13 , 3 77 由代入平面方程，得77， 2 2, 13 1, 3 3z t取方向向量MN 7 677 7 , 所求直线方程为 页解法2.设N是所求直线与L的交点N 3t 1, 2t 1, t NM 3t 3, 2t, t 3Ls 3, 2, 1NMNM sNM s 03 0 得 t 3 ,33t 3 2 2t 1 t724126交点N , 3 2 13 , ,NM77 7 77 7 所求直线方程为页解法3L3(x 2) 2( y 1) (z 3) 0sM,1,0) L： MM00Ln / /M0 M s 3, 0,33, 2, 1 61, 2,1 : ()2

8、 2( 1) (z 3) 0所求直线：3( 2) 2( 1) (z 3) 0 x ) 2( y 1) (z 3) 0页再求过M与L的平面先做过点M (2,1, 3)且与已知直线L : x 1 y 1 z垂直的平面 : 321(3) 平面束 0 0 A1xB yCC12过直线 L :A x B y 2的平面束方程1( A1xB yC1)By 2 ( A2 xC2不全为0 ,或( A1xB yC1)B ( A2 xy C2 为实数 页例5. 求直线在平面上的投影直线方程.解：过已知直线的平面束方程x y z 1 (x即从中选择 使其与已知平面垂直：y z 1) 0得 1,从而得投影直线方程z 0这

9、是投影平面xy页例6.求直线在平面上的投影直线方程.解：求过已知直线与平面垂直的平面其法向量为 1, 1,1得平面方程x y 2 z 5 0从而得投影直线方程 x y z 0页z 0例7. 求过直线L: 5面84z且与平12 0 夹成角的平面方程.nn1 4解:过直线 L 的平面束方程5, 11,n.4, 8 其法向量为1n已知平面的法向量为选择 使 cos 3414 nn17z 12 .020从而得所求平面方程页x z 4 0另外平面与已知平面夹角11 04 181cos 12 42 8221212 4 7z 12 0及x z 4 0 20B y因此所求平面为( A1xC1)B注：在平面束

10、( A2 xy C2中并不包含平面A2 x B2 y C2 z D2 0到直线(4)点M 0 (x , ydz0的距离为 (M, n , p)d sM1(x , yz1jikz1 z0p1x1x02pnm页例8.求点到直线的距离s 2,5, 1M1(1,3,11)解:ij15k131 64, 20, 28 s 6M M102642 202 282M M sd 10 411s 52 1222页且与两直线例9. 求过点都相交的直线L.L2L1;,提示:思路:先求交点M 0M2再写直线方程.的方程化为参数方程M1设 L 与它们的交点分别为t1 M1(, 2),M2 (t2 , 21) .页M三点共线

11、0/02L2 0L121MM 20 (,2,23)M1L :(00,1), M 2M11 1 z 1112页1.平面基本方程:( A2 Cz D 0)0一般式AxBy点法式xyzcabc 1)截距式axbx1z z1z1y y2 yy1 0三点式页内容小结2.平面与平面之间的关系n1 A1, B1,C 1n2 A2 , B2 ,C2C2 0y y ,0,0: A1x: A2 xBBCC平面1平面2A1 A2B1垂直:A1 B1 C1 0平行:12A2B2C2cos 夹角公式:21页1. 空间直线方程 A1x B y 0 0CC1一般式A xBy22对称式xt t tp000 y 参数式z2 (

12、)0内容小结2.线与线的关系 y y1直线 L ：11 ,1mnp111 y y222 ,直线L ：2mnp222 0mnp111 0/2121m2n2p2夹角公式: cos 21页3. 面与线间的关系n A, B,Cs m, n, p,0平面 :直线 L :Axx x0ByC y y0 z z0,mn 0 0pm n pLABCL / m A nC 0Lsin 夹角公式：sn页z y2x 0练习题求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面z 1 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.解：z x2y2,它与所给平面的旋转曲面方程为z 交线为z 1此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为x y x2 y2 1

13、此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为x y x2 y2 1z 0页2.求内切于平面x + y + z = 1 与三个坐标面所四面体的球面方程.0 (, yz0,则它位于第一卦限,且解:设球心为z0 1 R z半径z0002 1 xyz000M0从而y因此所求球面方程为x页绕z 轴旋转一周, 求此旋转3. 直线转曲面的方程.提示:在 L 上任取一点旋转轨迹上任一点, 则有 zzrMoL2 2rM0得旋转曲面方程x2 y2 z2y 1x页4.求直线与平面的关系( A)L在上;(C) L ;5.两直线(B) L平行但不在上 ;(D)一般斜交与的关系(A)(C)(B) 相交但不垂直平行;垂直相交;(

14、D)异面直线 .页1 z 1,6.一直线过点A(1L:,1) 且垂直于直线11: x y z又和直线 L相交,求此直线方程.2解：方法1 利用叉积.设直线Li的方向向量为, 2), 过 A 点及 L2 的平i,面的法向量为n, 则所求直线的方向向量n, 所以因原点A2jikL2 3 i2 OA21s2O21页待求直线的方向向量jik33(3 i)s13x 1 2 1故所求直线方程为 2 53方法2利用所求直线与L2 的交点.设所求直线与L2的交点为B(z0 ),A(1,1)L2x0 z0 y则有0B(,z0 x0 y0即页AB (x0 1 2(1) L1 2) (z0 )1,而 03(y0y)100将 x0 上式代入, 得 8 ,16 ,87077AB 9 , 6 , 15 3 3, 2, 57777A(1,1)L2z0由点法